α111

Χώρος εκπροσώπησης.

Έχουμε δει, σε μια προηγούμενη ενότητα, ότι ένας κύλινδρος
μπορεί να τεθεί επίπεδος. Τώρα, πάρτε ένα φύλλο χαρτί, ένα επίπεδο φύλλο. Είναι μια ευκλείδεια
επιφάνεια. Μπορείτε να σχεδιάσετε γεωδαιτικές πάνω σε αυτό. Τώρα ζουλίστε το.
(64)

Αν μπορούσατε να κάνετε αυτή την ζουλιμένη επιφάνεια άκαμπτη και να σχεδιάσετε
γεωδαιτικές πάνω σε αυτή, με κολλητική ταινία, θα συναντούσατε ξανά το ίδιο σύστημα!
Η επιφάνεια δεν άλλαξε πραγματικά. Αν κάποιος κάτοικος ζει σε μια τέτοια «Επίπεδη Χώρα»
ίσως δεν μπορεί να συνειδητοποιήσει τη διαδικασία ζουλιώματος. Όλα θα παραμένουν φυσιολογικά
για αυτόν, όπως είναι η ζωή για αυτόν σήμερα: ακολουθώντας τις γεωδαιτικές του δισδιάστατου
επιφανειακού χώρου-χρόνου, για παράδειγμα.

Ζουλώντας το φύλλο, έχετε απλώς τροποποιήσει το σύστημα εκπροσώπησης, τον τρόπο με τον οποίο η δισδιάστατη
επιφάνεια ενσωματώνεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο.

Μια απλούστερη τροποποίηση είναι να μετατρέψετε ένα επίπεδο φύλλο μετάλλου
σε μια κυματοειδής επιφάνεια. Δείτε το σχήμα (65)
(65)

Πριν από πολλά χρόνια ήμουν σε μια μεγάλη αγορά στην Αdditis Αμπάμπα, Αιθιοπία.
Εκεί, το μέταλλο είναι σπάνιο. Βρίσκουν εργοστάσια όπου νεαροί άνδρες μετατρέπουν κυματοειδείς
επιφάνειες σιδήρου σε επίπεδες πλάκες, χρησιμοποιώντας ένα απλό σφυρί. Αν ένας από αυτούς
είχε σχεδιάσει μια γεωδαιτική πριν την λειτουργία, θα είχαμε διαπιστώσει ότι το σύστημα
γεωδαιτικών θα παρέμενε αμετάβλητο.

Αλλά, για να είμαι ειλικρινής, δεν είμαι σίγουρος ότι αυτός ο τύπος
γνωρίζει τι είναι μια γεωδαιτική, από μαθηματική άποψη, φυσικά.
Οποιοσδήποτε κατασκευαστής καλάθιων χρησιμοποιεί γεωδαιτικές γραμμές, φυσικά.

Θυμάμαι ότι ήμουν καθηγητής υφαντικής (καλαθοπλεκτικής), σε ένα κατασκήνωση διακοπών,
κοντά στο Βερλινγκτον και τη λίμνη Τσαμπλέιν, Βερμόντ... πολλά χρόνια πριν.

Λάβετε υπόψη ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα έχουν τη δική τους ύπαρξη
και ιδιότητες, οι οποίες είναι ανεξάρτητες από τον τρόπο με τον οποίο τις απεικονίζετε, σε έναν χώρο
με μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων. Ζουλιμένο ή όχι, ένα φύλλο είναι φύλλο, δηλαδή μια ευκλείδεια
επιφάνεια.

Υποτίθεται ότι ζούμε σε μια τετραδιάστατη υπερεπιφάνεια. Όλοι υποτίθεται
ότι ζούμε το ίδιο, παρεμπιπτόντως. Αλλά η σύζυγός μου Κλερ, που είναι μια πολύ γοητευτική
προσωπικότητα, είναι πεπεισμένη ότι εγώ ζω σε έναν χώρο με περισσότερες διαστάσεις (πέντε,
νομίζει). Αυτό προκαλεί, μερικές φορές, δυσκολίες στην επικοινωνία όταν βρίσκομαι κάπου στη
προσωπική μου πέμπτη διάσταση.

Αλλά ζουν πραγματικά οι γυναίκες σε μια τετραδιάστατη υπερεπιφάνεια; Μερικές φορές
είμαι σκεπτικός για αυτό, αλλά αυτό είναι άλλο θέμα.

Αναγνωρίστε ότι ζείτε σε μια τετραδιάστατη υπερεπιφάνεια και ακολουθείτε τις γεωδαιτικές
αυτού του χώρου-χρόνου, τις οποίες ακολουθείτε σαν βόδι που ακολουθεί το αυλάκι του.

Τώρα υποθέστε ότι είστε ο Θεός. Θέλετε μια πλήρη αναπαράσταση
αυτής της τετραδιάστατης υπερεπιφάνειας. Τότε χρειάζεστε τουλάχιστον μία ακόμη διάσταση. Προσωπικά,
νομίζω ότι, αν ο Θεός υπάρχει, πρέπει να ζει σε ένα δεκαδιάστατο υπέρκοσμο.
Τα επόμενα επιχειρήματα θα αναπτυχθούν στη Γεωμετρική Φυσική Β, και
προέρχονται από τη θεωρία ομάδων.

Διαθέτει ο Θεός μια δομή ομάδας;

Πρακτικά, ο ειδικός της γενικής σχετικότητας υπολογίζει
μια λύση μιας εξίσωσης πεδίου (η λύση του Αϊνστάιν). Τότε εξετάζει το σύστημα
γεωδαιτικών. Είναι «ευθείες τετραδιάστατες γραμμές». Στον χώρο-χρόνο, καθώς ακολουθείτε
γεωδαιτικές, η γενική τάξη είναι:

• Πηγαίνετε ευθεία! Μην στρίβετε αριστερά ή δεξιά.

Υπακούετε, απλώς επειδή δεν μπορείτε να κάνετε κάτι άλλο. Το στρίβειν
είναι παράλογο, στον χώρο-χρόνο. Τα πάντα, όλοι «πηγαίνουν ευθεία».

Αλλά τα πράγματα, οι διαδρομές, οι τροχιές, φαίνονται καμπυλωμένες για τα τρισδιάστατα
μάτια μας. Το διαβάζουμε στην νοητή μας αναπαράσταση του χώρου. Βρισκόμαστε μπροστά από τον τοίχο
του σπηλαίου του Πλάτωνα, κοιτάζοντας χορεύοντες τρισδιάστατες σκιές.

Ας επιστρέψουμε στην δισδιάστατη διδακτική εικόνα μας, στον blunt cone (κωνικό σχήμα με επίπεδο άκρο).
Υποτίθεται ότι απεικονίζει τον χώρο κοντά σε μια συγκέντρωση μάζας (γκρίζα
περιοχή). Υποθέτουμε ότι αντιστοιχεί σε μια σταθερή κατάσταση.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες (r, q, j) ως δείκτες χώρου (στο 3d). Στο 2d έχουμε μόνο
δύο: (r, q).

Τότε μπορούμε να προβάλουμε το σχήμα σε ένα επίπεδο και να χρησιμοποιήσουμε
το ίδιο σύνολο πολικών συντεταγμένων. Δείτε το επόμενο σχήμα.

(66)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η επιφάνεια του blunt cone είναι ένα χονδρικό διδακτικό
μοντέλο, που υποδηλώνει μια peculiar (ιδιόμορφη) λύση της εξίσωσης πεδίου του Αϊνστάιν

(67)

S = c T

κατασκευασμένη το 1917 από τον Schwarzschild. Αυτή
είναι μια λαμπρή και έξυπνη εργασία. Απλώς για να πούμε ότι, τότε, ο Αλβέρτος δεν ήταν
ένα μοναχικό genius (ταλέντο), χαμένο σε ένα ερημικό νησί. Πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο
μεγάλος Γερμανός μαθηματικός Hilbert εφεύρε την «Εξίσωση του Αϊνστάιν». Κάποιοι
άλλοι έχουν προτείνει ότι η κυρία Αϊνστάιν θα μπορούσε να έχει contributed (συμβάλει) αποτελεσματικά
στην κατασκευή της ειδικής σχετικότητας, η οποία προέρχεται φυσικά από τα έργα του
Poincaré και του Lorentz (αν κοιτάξετε τα έργα του Αϊνστάιν, θα
δείτε ότι σπάνια αναφέρει άλλους ανθρώπους).

Η λύση του Schwarzschild είναι ένα ορόσημο της γενικής σχετικότητας.
Χρησιμοποιείται για να υπολογιστούν οι σχετικιστικές τροχιές των πλανητών γύρω από
τον ήλιο, επιβεβαιώνοντας την μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή.

Οποιοσδήποτε θα έλεγε αμέσως:

• Γιατί ο Schwarzschild δεν το υπολόγισε αυτό ο ίδιος;

Υπήρχε ένας πολύ καλός λόγος για αυτό: Ήταν νεκρός.

Ο Schwarzschild ήταν πατριώτης και επέμεινε να πάει στο μέτωπο,
το 1917. Εκεί δηλητηριάστηκε με αέριο και πέθανε αργότερα. Ο Αϊνστάιν συνέχισε την εργασία, η οποία
έγινε «η θεωρία του Αϊνστάιν».

Ήταν μια λύση σταθερής κατάστασης. Αργότερα ο Αϊνστάιν προσπάθησε να κατασκευάσει
ένα μοντέλο του σύμπαντος, όπου η καμπυλότητα θα μπορούσε να ταυτιστεί με το περιεχόμενο ενέργειας-ύλης.
Αλλά, τότε, κανείς δεν ήξερε ότι το σύμπαν δεν ήταν σταθερό. Ο Αλβέρτος
προσπάθησε να κατασκευάσει ένα μοντέλο σταθερής κατάστασης, αλλά τα πράγματα δεν ήταν τόσο καλά. Τότε επισκέφτηκε
τον Elie Cartan, έναν μεγάλο Γάλλο μαθηματικό, ο οποίος σύστησε να προσθέσει μια σταθερά
στην εξίσωση πεδίου, κάτι που έκανε ο Αϊνστάιν.

Τότε ένας Ρώσος ιπτάμενος ονομαζόμενος Friedmann εφεύρε μια μη-σταθερή
λύση. Περίπου την ίδια περίοδο ο Edwin Hubble ανακάλυψε την red shift (μετατόπιση προς το ερυθρό) και
τα μη-σταθερά χαρακτηριστικά του Σύμπαντος. Ο Αϊνστάιν ήταν πολύ απογοητευμένος και είπε:

• Αν ήξερα ότι το Σύμπαν δεν ήταν σταθερό, θα είχα
  βρει τη λύση πριν τον Friedmann!

«Αν», έλεγε ο Λακεδαιμόνιος.

Αλλά αυτή η ιστορία δεν τελείωσε εκεί. Αρχικά, ο Friedmann είχε
κατασκευάσει την κυκλική λύση, μία από τις τρεις που αποτελούν τα «Μοντέλα του Friedmann».

Ο Αϊνστάιν保持 (保持) σιωπηλός για χρόνια. Τότε, μετά τον θάνατο του Friedmann,
δημοσίευσε το «Μοντέλο Αϊνστάιν-de Sitter», «την παραβολική λύση του Friedmann».

Αργότερα ένας νεαρός Πολωνός ερευνητής ονομαζόμενος Kaluza υπέβαλε ένα άρθρο
στον «Καθηγητή Αϊνστάιν», ο οποίος αρνήθηκε να το δημοσιεύσει για περισσότερο από ένα χρόνο. Ο Kaluza
παράπονα στον Αϊνστάιν, ο οποίος απάντησε:

• Θα πρέπει να κοιτάξετε πιο closely (στενά) αυτή τη θεωρία. Είμαι skeptical (σκεπτικός).....

Πολλά χρόνια αργότερα η ιδέα του Kaluza (προσθέτοντας μια πέμπτη διάσταση στον
χώρο-χρόνο) έγινε το σημείο εκκίνησης προηγμένων εργασιών (συμπεριλαμβανομένης της προσέγγισης superstring).
Δείτε Γεωμετρική Φυσική Β.

Λοιπόν, ο Αλβέρτος δεν ήταν τόσο sport (αθλητής/καλός)...

Ας επιστρέψουμε στο 3d μοντέλο σταθερής κατάστασης που αντιστοιχεί
στην γεωμετρία του χώρου-χρόνου γύρω από τον ήλιο. Ο υπολογισμός δίνει γεωδαιτικές που βρίσκονται
σε επίπεδα. Αν η επίδραση της καμπυλότητας είναι moderate (μέτρια), και η ταχύτητα μικρή σε σχέση
με την ταχύτητα του φωτός c, η προβολή τους, σε έναν εκπροσωπητικό ευκλείδειο χώρο-χρόνο, αντιστοιχεί σε quasi-keplerian (σχεδόν κεπλεριανές) τροχιές και τους νόμους του Kepler. Μπορούμε
να ξεχάσουμε τον χρόνο και να απεικονίσουμε αυτές τις γεωδαιτικές σε επίπεδα, χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες.

r = f (q).

Στη λύση του Schwarzschild, υπάρχει
πραγματικά δύο συνδεδεμένες «μετρικές λύσεις», όπως αναφέρεται στο σχήμα (68). Εντός
του «μαζικού σώματος» η πυκνότητα μάζας r υποτίθεται ότι είναι σταθερή. Εκεί ο τανυστής ενέργειας-ύλης T είναι μη-μηδενικός.
Αλλά, εκτός, r και T είναι μηδενικά.

(68)

Αυτή είναι μια σύνθετη γεωμετρία. Στο 3d η
πυκνότητα μάζας δείχνει μια abrupt (απότομη) discontinuity (ασυνέχεια) στην επιφάνεια (που υποτίθεται ότι είναι μια σφαίρα)
της «συγκέντρωσης μάζας». Αυτό είναι παρόμοιο με την discontinuity (ασυνέχεια)
της angular curvature density (πυκνότητας γωνιακής καμπυλότητας) στην επιφάνεια (μη-μηδενική στην γκρίζα περιοχή, μηδενική εκτός. Το όριο γίνεται μια S1 σφαίρα, δηλαδή ένας... κύκλος).

Στο 4d ο μαθηματικός link (σύνδεσμος) μπορεί να κατασκευαστεί,
ώστε να διασφαλιστεί η continuity (συνέχεια) των γεωδαιτικών γραμμών. Αυτό είναι παρόμοιο με
το linkeage portion (τμήμα σύνδεσης) μιας portion (τμήματος) σφαίρας-portion (τμήματος) posicone (κωνοειδούς).

Όταν η μάζα γίνεται important (σημαντική) (που
δεν μπορεί να περιγραφεί από το χονδρικό 2d διδακτικό μας μοντέλο) οι κλειστές paths (διαδρομές) δεν είναι
πλέον elliptical (ελλειπτικές).

Δείτε το σχήμα (69). Αυτό το drawing (σχέδιο) αντιστοιχεί
στην trajectory (τροχιά) ενός spacecraft (διαστημοπλοίου) γύρω από ένα neutron star (αστέρα νεutron).

Η trajectory (τροχιά) του Mercury (Ερμή) γύρω από τον ήλιο
είναι παρόμοια αλλά η precession (μετάπτωση) του perihelion (περιηλίου) των elliptic (ελλειπτικών) paths (διαδρομών) είναι 0.15
° ανά century (αιώνα).

(69)

Κάποια μέρα θα συμπεριλάβουμε τις formulas (τύπους) και
το program (πρόγραμμα) που καθιστά δυνατή την ενασχόληση με αυτό το πρόβλημα. Δεν είναι πολύ δύσκολο.

Μερικές μαθηματικές πληροφορίες στο τέλος αυτής της σελίδας
και στην επόμενη, αν θέλετε μπορείτε να πάτε directly (ευθείως)
στη σελίδα 13