| 23 |
Γεωμετρικό πλαίσιο.
Μια σφαίρα είναι ένα δισδιάστατο γεωμετρικό αντικείμενο. Χρειαζόμαστε δύο
ποσότητες, δύο αριθμούς, δύο βαθμωτά μεγέθη, για να εντοπίσουμε ένα σημείο πάνω της.
Μια σφαίρα είναι μια επιφάνεια που κατέχει μια τοπολογία. Η τοπολογία της διαφέρει από
αυτήν του τόρου.
Και οι δύο κατέχουν γεωδαιτικά συστήματα. Όπως επισημάνθηκε σε μια προηγούμενη
ενότητα, μπορούμε να φανταστούμε δύο διακριτά σημεία M1 και M2 πάνω σε μια σφαίρα και μια καμπύλη
που τα συνδέει. Τότε μπορούμε να μετρήσουμε το μήκος κατά μήκος αυτής της ιδιόμορφης διαδρομής.
Είναι ένα αναλλοίωτο ως προς τις συντεταγμένες μέγεθος. Μια S2-σφαίρα υπάρχει ανεξάρτητα από
οποιονδήποτε τρισδιάστατο αντιπροσωπευτικό χώρο. Αλλά μπορούμε να τη φανταστούμε στον οικείο μας ευκλείδειο
τρισδιάστατο χώρο, στον οποίο υποτίθεται ότι ζούμε. Τότε μπορούμε να δώσουμε ένα κέντρο σε αυτή
τη σφαίρα και να ενώσουμε όλα τα σημεία της με αυτό. Βλέπε σχήμα (116). Κάθε σημείο αντιστοιχεί
σε δύο γωνίες : q και
j.
(116)
Έχουμε ανοίξει μια τρύπα στη σφαίρα για να δείξουμε
τα διανύσματα OM, όπου O είναι το κέντρο και M ένα σημείο της σφαίρας.
Τώρα, το σχήμα (117) κρατά τα διανύσματα και ξεχνά τη σφαίρα.
(117)
Αυτές οι ημιευθείες είναι άπειρες, αλλά τις σχεδιάσαμε
κομμένες, σε ένα δεδομένο μήκος, που αντιστοιχεί στην ακτίνα R της σφαίρας μας.
Κάθε ευθεία γραμμή αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος ( q
, j ).
Η μετρική δομή έχει εξαφανιστεί. Καμία γεωδαισιακή, κανένα μήκος. Τι απομένει;
Οποιαδήποτε από αυτές τις ημιευθείες έχει γείτονες, οι οποίοι
σχηματίζουν τη γειτονιά της. Κάθε ημιευθεία θα μπορούσε να παρασταθεί ως περικλεισμένη
σε μια διαδοχή κώνων ( σχήμα (118) ) .
(118)
Γύρω από οποιαδήποτε γραμμή μπορούμε να βάλουμε όσες γραμμές κώνων θέλουμε.
Μεταξύ δύο από αυτούς τους κώνους μπορούμε πάντα να βάλουμε έναν άλλον. Αυτό υποδηλώνει διαισθητικά
την έννοια της διαφορισιμότητας . Σε ένα τέτοιο γεωμετρικό αντικείμενο δεν
υπάρχει ασυνέχεια.
Τώρα, ξεχάστε τη σφαίρα και πάρτε μια επίπεδη επιφάνεια. Είναι
ένα σύνολο σημείων. Όποιο σύστημα συντεταγμένων κι αν επιλέξω, μπορώ να ορίσω
τα σημεία με δύο ποσότητες : (x,y), (r,q),
και ούτω καθεξής.
Ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών. Αυτοί επιλέγονται από το R2, δηλαδή
από το σύνολο των πραγματικών αριθμών, όπως (3,8705 , - 17,56).
Οποιοδήποτε ζεύγος πραγματικών αριθμών ( x ; y ) κατέχει ένα άπειρο αριθμό
γειτόνων ( x + Dx
; y + D y ) .
Αυτά τα "προ-μετρικά" αντικείμενα ονομάζονται από τους μαθηματικούς
πολλαπλότητες .
Είναι αρκετά δύσκολο να σκεφτεί κανείς ένα τέτοιο "εύκαμπτο" μέσο.
Στο (119) έχουμε σχεδιάσει μια άκαμπτη, επίπεδη επιφάνεια, με μετρικές ιδιότητες και,
παρακάτω, τη σκιά των σημείων της.
(119)
Μια σκιά δεν έχει δικό της σχήμα, ούτε έκταση. Εξαρτάται από
την οθόνη και την παραγωγή των ακτίνων φωτός. Στο σχήμα (120) υποδηλώνουμε τη σχετικότητα
της σκιάς, ως προς το αντικείμενο.
(120)
Αυτές οι "παράλληλες γραμμές" είναι παρόμοιες με εκείνες τις ακτίνες που εισαγάγαμε,
για να συνδέσουμε τα σημεία μιας σφαίρας με το κέντρο της. Εδώ τα σημεία του επιπέδου
"συνδέονται" με μια "πηγή" που βρίσκεται στο άπειρο.
Εγκαταλείψτε αυτή την τελευταία ιδέα των ευθειών γραμμών. Θεωρήστε ένα δεμάτι
μαγειρεμένων σπαγγέτι ( αν δεν είναι, θα πρέπει να είναι άκαμπτα και εύθραυστα ).
Μπορούμε να το λυγίσουμε. Αλλά επιβάλλουμε στα σπαγγέτι να μείνουν ενωμένα. Η
γειτονιά τους δεν πρέπει να τροποποιηθεί.
(121)
Όλα αυτά είναι πολύ χονδροειδή, το ξέρω, και όχι απολύτως αυστηρά.
Απλώς προσπαθώ να υποδείξω στον αναγνώστη τι μπορεί να είναι μια πολλαπλότητα, ένα γεωμετρικό
αντικείμενο χωρίς μετρική, όπου η κύρια ιδιότητα είναι ότι οποιοδήποτε σημείο έχει γείτονες.
Μια πολλαπλότητα είναι ένα σύνολο σημείων m
. Μπορώ να φανταστώ ότι συσχετίζω οποιοδήποτε σημείο μιας πολλαπλότητας με ένα ζεύγος (M1 , M2)
σημείων, που ανήκουν σε πραγματικές επιφάνειες, οι οποίες κατέχουν μετρικές ιδιότητες, μήκος,
και ούτω καθεξής....
Ονομάζω την n-διάστατη πολλαπλότητα πολλαπλότητα-σκελετό
και τις σχετιζόμενες n-διάστατες επιφάνειες απλώς πτυχώσεις. Τότε κατασκευάζω το
διπλό κάλυμμα μιας πολλαπλότητας.
Στο σχήμα (122) το διπλό κάλυμμα μιας πολλαπλότητας m2
(δύο διαστάσεων).
(122)
Στο (122) έχω σχεδιάσει πανομοιότυπες, παράλληλες ευκλείδειες
πτυχώσεις ( επίπεδα ) με τις ίδιες μετρικές. Αλλά μπορώ να κατασκευάσω το σχήμα (123) :
Θα ονομάσουμε τα M και M* συζυγή σημεία. Η κατασκευή αυτών
των δύο πτυχώσεων από μια "πολλαπλότητα-σκελετό" έχει σαφή σημασία : σε οποιοδήποτε σημείο
M της πτύχωσης F μπορούμε να συσχετίσουμε ένα και μόνο ένα συζυγές σημείο M*. Υπάρχει
μια απεικόνιση σημείου προς σημείο. Τότε μπορούμε να ξεχάσουμε την πολλαπλότητα-σκελετό.
Στη γειτονιά οποιουδήποτε σημείου της πτύχωσης F αντιστοιχεί
η γειτονιά του συζυγούς σημείου του M*. Βλέπε σχήμα (124). Αυτό σημαίνει ότι
σε οποιαδήποτε κανονική περιοχή της F αντιστοιχεί μια συζυγής κανονική περιοχή που ανήκει
στην F*.
(124)
Αυτό δείχνει ειδικότερα ότι τα συζυγή σημεία M
και M* περιγράφονται από το ίδιο σύνολο συντεταγμένων.
