a123

Συζυγείς καμπυρότητες.

Πώς μπορούμε να κατανοήσουμε τους τρισδιάστατους χώρους, με τοπική θετική ή αρνητική καμπυρότητα;

Ξεκινήστε με τις δισδιάστατες επιφάνειες. Θεωρήστε μια σφαίρα και固定 (fix) ένα καρφί κάπου σε αυτήν, όπως φαίνεται στο σχήμα (125). Δέστε ένα νήμα, μήκους L, που ενώνει το καρφί και ένα μολύβι. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό για να σχεδιάσουμε έναν κύκλο, μια παράλληλη της σφαίρας. Μια παράλληλη της σφαίρας είναι το σύνολο των σημείων που βρίσκονται στην ίδια απόσταση L από ένα δεδομένο σημείο S.

Μπορούμε να κάνουμε παρόμοιες λειτουργίες (σχήματα (125)):

• Σε ένα άμαξα (horse saddle)

• Σε ένα επίπεδο.
  (125)

Στην επίπεδη επιφάνεια, η περίμετρος είναι 2πL, ενώ η επιφάνεια του δίσκου είναι πL².

Στη σφαίρα, η περίμετρος και η επιφάνεια του δίσκου είναι μικρότερες. Στο άμαξα, αντιθέτως, είναι μεγαλύτερες.

Θεωρήστε μια σφαίρα και μια παράλληλη που ταυτίζεται με τον ισημερινό της. Δείτε το σχήμα (126). Οι τιμές αντιστοιχούν στο σχήμα (126).

(126)

Η επιφάνεια του δίσκου είναι 3,875 φορές μεγαλύτερη από την αντίστοιχη (γκρίζα) portion της σφαίρας. Η περίμετρος του είναι 1,57 φορές μεγαλύτερη από το μήκος του ισημερινού.

Παρόμοιες δοκιμές θα έδειχναν την αρνητική καμπυρότητα του άμαξα. Αν σχεδιάσουμε μια κλειστή καμπύλη, σύνολο σημείων στην ίδια απόσταση L από ένα δεδομένο σημείο, σε ένα άμαξα, η επιφάνεια αυτού του δίσκου αρνητικής καμπυρότητας είναι μεγαλύτερη από την επιφάνεια ενός επίπεδου δίσκου πL². Ομοίως, η περίμετρος του δίσκου αρνητικής καμπυρότητας είναι μεγαλύτερη από αυτή του επίπεδου δίσκου: 2πL.

Η γεωμετρία είναι μια επιστήμη για τους τυφλούς. Οι γεωμέτρες προσπαθούν να κατασκευάσουν δοκιμές που οι κάτοικοι ενός δεδομένου χώρου θα μπορούσαν να εκτελέσουν προκειμένου να ανακαλύψουν από μόνοι τους τις γεωμετρικές του ιδιότητες. Από τα προηγούμενα σχήματα, οι κάτοικοι μιας δισδιάστατης επιφάνειας, αδύναμοι να τη δουν από μια εξωτερική οπτική γωνία (για τη ζωή τους), θα μπορούσαν να ανακαλύψουν, μέσω της μέτρησης επιφάνειας και μήκους, αν το portion της επιφάνειας στο οποίο ζουν έχει θετική τοπική καμπυρότητα, αρνητική τοπική καμπυρότητα ή μηδενική τοπική καμπυρότητα (ευκλείδειος χώρος).

Σημειώστε ότι υπάρχουν επιφάνειες των οποίων η τοπική καμπυρότητα μπορεί να είναι θετική, μηδενική ή αρνητική. Παράδειγμα: ένας τόρος.

(126ter)

Παρόμοιες μέθοδοι ισχύουν για τους τρισδιάστατους χώρους. Επιλέξτε ένα σημείο O, κάπου. Πάρτε ένα νήμα, ένα «μολύβι», και χρησιμοποιήστε το για να σχεδιάσετε το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε δεδομένη απόσταση L από το θεωρούμενο σημείο. Παίρνετε μια σφαίρα και μπορείτε να μετρήσετε την επιφάνειά της. Αν αυτή η επιφάνεια έχει κατασκευαστεί σε έναν ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο, αυτή η επιφάνεια θα είναι: 4πL².

Αν αυτή η επιφάνεια βρεθεί μικρότερη, αυτό σημαίνει ότι αυτός ο τρισδιάστατος χώρος δεν είναι ευκλείδειος. Είναι ένας Riemannian τρισδιάστατος χώρος, με θετική καμπυρότητα. Αν μετρήσουμε τον όγκο, θα τον βρούμε μικρότερο από:

(127)

Η κατάσταση θα αντιστραφεί αν ασχοληθούμε με έναν τρισδιάστατο χώρο αρνητικής καμπυρότητας. Η επιφάνεια της σφαίρας, θεωρούμενη ως το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε δεδομένη απόσταση L από ένα σταθερό σημείο O, θα είναι μεγαλύτερη από 4πL². Ο όγκος, μέσα σε αυτή την κλειστή επιφάνεια, θα είναι μεγαλύτερος από (127).

Η κοσμολογία δεν θεμελιώνεται σε απλούς τρισδιάστατους χώρους, αλλά σε τετραδιάστατες υπερεπιφάνειες (με «υπεβολική υπογραφή»), ώστε μια τέτοια παρουσίαση είναι περιορισμένη. Πρέπει να τη θεωρήσουμε ως ένα χονδρό διδακτικό μοντέλο.

Η Riemannian, βαθμωτή καμπυρότητα ενός n-διάστατου χώρου είναι somewhat different (κάπως διαφορετική).

Στο παρόν κοσμολογικό μας μοντέλο, θα υποθέσουμε ότι η τοπική βαθμωτή Riemannian καμπυρότητα, στα συζυγή σημεία (M, M) είναι αντίθετα:* (127bis)

R* = - R

Ο ειδικός θα βρει περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο:

J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics.
2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics
A , 5 , march 1998.

Στη συνέχεια, μια χρήσιμη δισδιάστατη διδακτική εικόνα, που αντιστοιχεί στο σχήμα 39.

(128)

Πάνω: ένας λείος posicone (θετικός κώνος). Μηδενική τοπική (γωνιακή) καμπυρότητα στο portion του posicone. Σταθερή θετική (γωνιακή) πυκνότητα καμπυρότητας στο (γκρίζο) portion μιας σφαίρας.

Κάτω: ένας «λείος negacone» (αρνητικός κώνος). Μηδενική τοπική (γωνιακή) πυκνότητα καμπυρότητας στο portion του negacone που περιβάλλει το άμαξα. Σταθερή αρνητική (γωνιακή) πυκνότητα καμπυρότητας στο portion του άμαξα, facing (αντιπρόσωπο) το portion μιας σφαίρας.

Οι καμπυρότητες είναι συζυγείς. Αντιπρόσωπο (face to face), με αντιστοιχία σημείο προς σημείο, portions μηδενικής τοπικής καμπυρότητας του posicone και του negacone.

Αντιπρόσωπο (face to face), με αντιστοιχία σημείο προς σημείο, μια επιφάνεια σταθερής θετικής καμπυρότητας (ένα portion σφαίρας) και μια επιφάνεια αρνητικής καμπυρότητας (άμαξα). Οι πυκνότητες καμπυρότητας είναι ίσες και αντίθετες. Τα κυκλικά όρια είναι συνδεδεμένα, σημείο προς σημείο.

Αυτή είναι μια διδακτική εικόνα του κοσμολογικού μας μοντέλου. Για περισσότερες μαθηματικές λεπτομέρειες, δείτε:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics.
1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation.
Geometrical Physics A, 4 , march 1998.