α126

Συμπέρασμα αυτού του πρώτου μέρους που είναι αφιερωμένο στη γεωμετρία.

Μια λέξη για τη Γεωμετρική Φυσική B και τη θεωρία ομάδων.

(Στοιχεία θεωρίας ομάδων, εφαρμοσμένα στη φυσική, δίνονται στην αρχή
του υπο-τόπου Γεωμετρική Φυσική B, «Δυναμικές Ομάδες της Φυσικής»).

Έχουμε εισαγάγει νέες γεωμετρικές έννοιες.

• Δίδυμες γεωμετρίες, εμπνευσμένες αρχικά από την ιδέα του Αντρέι Σαχάροφ: Δεν
  υπάρχει μόνο ένα σύμπαν, αλλά δύο, τα οποία ο Α. Σαχάροφ ονόμασε, το 1967,
  «δίδυμα σύμπαντα».

• Αυτά τα δύο σύμπαντα δεν βρίσκονται σε μακρινούς τόπους, αλλά κείνται «στο ίδιο
  μέρος». Δώσαμε την (πρωτόγονη) διδακτική εικόνα της ντάμας, με δύο παιχνίδια,
  το ένα να παίζεται στα μαύρα τετράγωνα και το άλλο στα άσπρα.

• Αυτή είναι μια διδακτική εικόνα μιας πιο εκλεπτυσμένης γεωμετρικής δομής, στην οποία
  το σύμπαν, ως σύνολο, αποτελείται από δύο διακριτές (αλλά αλληλεπιδρώσες) πτυχές.
  Αυτές οι πτυχές είναι 4δ υπερεπιφάνειες, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως «το
  διπλό κάλυμμα ενός σκελετού-πολλαπλότητας».

• Όπως στη γενική σχετικότητα, υποθέτουμε ότι τα σωματίδια ακολουθούν γεωδαισιακές καθεμιάς
  υπερεπιφάνειας. Η μία από αυτές υποτίθεται ότι είναι ο χωρόχρονός μας. Η άλλη
  υποτίθεται ότι είναι ο δίδυμος χωρόχρονος.

A priori τρία είδη σωματιδίων υποτίθεται ότι ταξιδεύουν κατά μήκος γεωδαισιακών
σε κάθε πτυχή, τα οποία είναι, σχηματικά:

• ύλη

• αντι-ύλη.

• φωτόνια.

Έτσι ώστε, στη δεύτερη πτυχή, το δεύτερο σύμπαν, που μπορούμε να ονομάσουμε φαντασματική πτυχή,
ή φαντασματικό σύμπαν, θα βρίσκαμε:

• φαντασματική ύλη

• φαντασματική αντι-ύλη

• φαντασματικά φωτόνια.

(όλα αυτά εξηγούνται λεπτομερώς στη «Γεωμετρική Φυσική B: Δυναμικές
Ομάδες στη Φυσική»).

-Οι δύο πτυχές είναι διακριτές και οι γεωδαισιακές γραμμές τους είναι επίσης διακριτές. Έτσι
ώστε ένα φωτόνιο, που ταξιδεύει σε μια γεωδαισιακή της πτυχής μας F, δεν μπορεί να πηδήξει και να ακολουθήσει
μια «φαντασματική γεωδαισιακή», η οποία ανήκει στο φαντασματικό σύμπαν, τη φαντασματική πτυχή F*.
Ως συμπέρασμα, το φως που εκπέμπεται από ύλη (ή αντι-ύλη) στην πτυχή μας, δεν μπορεί
να φτάσει στο άλλο σύμπαν και να ληφθεί από κάποιο φαντασματικό σωματίδιο. Αν υπάρχουν
ζωντανά πλάσματα στην πτυχή F*, δεν μπορούν να δουν τα αστέρια μας, τους γαλαξίες μας, οτιδήποτε
κείται στην πτυχή μας, για καθαρά γεωμετρικούς λόγους.

• Αντιστρόφως, ένα φαντασματικό φωτόνιο, που εκπέμπεται από ένα σωματίδιο φαντασματικής ύλης (ή φαντασματικής
  αντι-ύλης) στη φαντασματική πτυχή F* (ή φαντασματικό σύμπαν), ταξιδεύει σε μια γεωδαισιακή
  αυτής της πτυχής και δεν μπορεί να πηδήξει στην άλλη πτυχή, τη δική μας. Έτσι ώστε δεν μπορεί να
  ληφθεί, να συλληφθεί από οποιοδήποτε μαζικό σωματίδιο που βρίσκεται στο σύμπαν μας. Ως συμπέρασμα,
  οι δομές του δίδυμου σύμπαντος, ή σκιώδους σύμπαντος, ή φαντασματικού σύμπαντος,
  όποιο όνομα κι αν επιλέξουμε, είναι βασικά αόρατες σε εμάς. Αν υπάρχουν
  δομές οποιουδήποτε είδους σε αυτό το δεύτερο σύμπαν, δεν μπορούμε να το παρατηρήσουμε,
  με οπτικά μέσα, για τον ίδιο λόγο: για καθαρά γεωμετρικούς λόγους.

• Αυτή η ιδέα είναι κοντά στην προχωρημένη ιδέα των υπερχορδών. Πολλοί ερευνητές,
  από την κοινότητα των υπερχορδών, είναι τώρα πεπεισμένοι ότι υπάρχουν δύο κόσμοι, οι οποίοι
  επικοινωνούν μόνο μέσω του βαρυτικού πεδίου.
  Ο Witten (νικητής του Μεταλλίου Φιλντς), ο Duff, ο Green, ο Schwarz, ο νικητής του Νόμπελ
  Abdus Salam.....
  βλέπε μια πρόσφατη εργασία του Michael Duff, στο Scientific American, με τίτλο «η
  νέα θεωρία των υπερχορδών», μεταφρασμένη στα γαλλικά (Pour la Science Journal, Απρίλιος
  1998).
  Ο Duff φαντάζεται ύλη «σε έναν τοίχο» και κάποια αόρατη ύλη «σε έναν άλλο τοίχο,
  παράλληλο με τον πρώτο.
  Η ιδέα των δύο συμπάντων, δύο οντοτήτων, ανίκανων να δουν η μία την άλλη και να επικοινωνήσουν
  μόνο μέσω της βαρυτικής δύναμης, οφειλόταν αρχικά στους Green, Schwarz και τον
  νικητή του Νόμπελ Abdus Salam.

Η γενική ιδέα είναι να επεκταθεί ο αριθμός των διαστάσεων. Στην κλασική φυσική,
αυτός ο αριθμός είναι τέσσερα: (x , y , z , t), που αντιστοιχεί στον χωρόχρονο. Η σύγχρονη
θεωρητική φυσική τείνει να επεκτείνει αυτόν τον αριθμό, γενικά σε δέκα.

Τότε όλα βασίζονται σε θεωρίες ομάδων και συμμετρίες. Μια συμμετρία δεν
είναι μόνο οι γνωστές συμμετρίες του 2δ ή 3δ χώρου, όπως

• Συμμετρία ως προς ένα σημείο.

• Συμμετρία ως προς ένα επίπεδο

• Συμμετρία ως προς μια ευθεία γραμμή.

• ή περιστροφική συμμετρία (περιοδικά αντικείμενα, κρύσταλλοι).

Ένα αντικείμενο που παραμένει αμετάβλητο μέσω μιας μεταφοράς κατέχει αυτό το «είδος
συμμετρίας».

Υπάρχουν επίσης, για παράδειγμα, συμμετρίες ως προς τον χρόνο. Θεωρήστε την
κίνηση ενός σωματιδίου δοκιμής, που βρίσκεται σε απόσταση r από ένα σημείο μάζας M.

Με G τη σταθερά της βαρύτητας, η κίνηση υπακούει, στη
νευτώνεια δυναμική, στην ακόλουθη διαφορική εξίσωση:
(142)

η οποία έχει μια ιδιαίτερη λύση:
(143)

αυτή η τελευταία είναι αντιστρέψιμη ως προς τον χρόνο . Παίρνουμε
μια συμμετρία ως προς τον χρόνο, μια T-συμμετρία.

Τα σωματίδια κατέχουν ένα σύνολο ιδιαίτερων συμμετριών. Αυτό σχηματίζει
ένα σύνολο ισχυρών περιορισμών, αν κάποιος θέλει να κατασκευάσει την ομάδα που διέπει τα
«πράγματα».
Την παρούσα στιγμή οι άνθρωποι των υπερχορδών αντιμετωπίζουν έναν τοίχο.
Η εργαλειοθήκη τους προσφέρει πάρα πολλές δυνατότητες, έτσι ώστε να μη μιλούν για
θεωρία, αλλά για θεωρίες. Πολλοί συνηθίζουν να λένε: «ανάμεσα στο εκατομμύριο των πιθανών
θεωριών...»

Με τον συνάδελφό μου Pierre Midy έχουμε προσεγγίσει το πρόβλημα
από διαφορετική γωνία, χρησιμοποιώντας ένα εργαλείο που ονομάζεται «η συζυγής δράση μιας ομάδας
στον χώρο ορμής της». Βλέπε το βιβλίο του Jean-Marie Souriau:
«Structure of Dynamical Systems», Birkhauser Ed. 1997».

(Βλέπε επίσης Γεωμετρική Φυσική B, Δυναμικές ομάδες στη
Φυσική).

Με ένα τέτοιο εργαλείο κατέστη δυνατό να γεωμετρικοποιηθούν στοιχειώδη
σωματίδια όπως το πρωτόνιο, το νετρόνιο, το ηλεκτρόνιο, το φωτόνιο, τα νετρίνα, και τα
αντίστοιχά τους. Αλλά δεν ασχολούμαστε με βαθύτερη δομή (κουάρκ). Βλέπε την εργασία μας:

J.P.Petit and P.Midy: Geometrization of matter and
anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1:
Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting
on a 10d-space. Geometrical definition of anti-matter. Geometrical Physics
B, 1, 1998.

Αυτή η εργασία περιέχει έναν γεωμετρικό ορισμό της αντι-ύλης
.

Εν συντομία, στον κλασικό χωρόχρονο: { x , y , z , t } προσθέτουμε
έξι ακόμη διαστάσεις, πρόσθετες διαστάσεις:

{ z
1, z 2,z
3,z 4,z
5,z 6
}

Μπορούμε να συνδέσουμε αυτά τα βαθμωτά με ένα διάνυσμα z
. Παρομοίως μπορούμε να ορίσουμε το διάνυσμα χωρόχρονου:
(144)

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ένα σωματίδιο «ζει» σε έναν δεκαδιάστατο
χώρο:
(145)

(146)

Ή, απλώς:

z ---> - z

που σημαίνει:

z 1 -----> - z
1

z 2 -----> - z
2

z 3 -----> - z
3

z 4 -----> - z
4

z 5 -----> - z
5

z 6 -----> - z
6

Όλες οι πρόσθετες διαστάσεις αντιστρέφονται.

Η εισαγωγή πρόσθετων διαστάσεων τροποποιεί τη
Δυναμική Ομάδα. Βλέπε το βιβλίο του Souriau, Birkhauser Ed. 1997.

Στη μη κβαντική σχετικιστική φυσική η δυναμική ομάδα
είναι η ομάδα του Poincaré. Κάποιος επεκτείνεται στον κβαντικό κόσμο, εισάγοντας
μια πέμπτη διάσταση z (Souriau,
1964). Επιπλέον η μέθοδος Kostant-Kirilov-Souriau καθιστά δυνατό να
κατασκευαστεί η εξίσωση Klein-Gordon από την «Κεντρική επέκταση της ομάδας Poincaré»,
τη νέα δυναμική ομάδα.

Ασχολούμαστε με μια γενικευμένη εκτεταμένη ομάδα
Poincaré («ομάδα του Petit»), της οποίας η συζυγής δράση στην ορμή της δίνει τους
έξι κλασικούς κβαντικούς αριθμούς:

q : ηλεκτρικό φορτίο

cB : βαρυονικός αριθμός

cL : λεπτονικός αριθμός

cm
: μιονικός αριθμός

ct
: ταονικός αριθμός

v :
γυρομαγνητική σταθερά.

Τότε ένα σωματίδιο ορίζεται από το σύνολο:

{ q , cB , cL
, cm , ct
, v ,
E , px , py, pz, s }

E είναι η ενέργειά του

{ px , py, pz} είναι το
διάνυσμα ορμής του

s είναι το σπιν του.

Για παράδειγμα, ένα ηλεκτρόνιο αντιστοιχεί σε:

q : ηλεκτρικό φορτίο = - 1

cB : βαρυονικός αριθμός
= 0

cL : λεπτονικός αριθμός
= 1

cm
: μιονικός αριθμός = 0

ct
: ταονικός αριθμός = 0

v : γυρομαγνητική σταθερά.
= ve

s = 1/2

και το αντι-πρωτόνιο σε:

q : ηλεκτρικό φορτίο = - 1

cB : βαρυονικός αριθμός
= -1

cL : λεπτονικός αριθμός
= 1

cm
: μιονικός αριθμός = 0

ct
: ταονικός αριθμός = 0

v : γυρομαγνητική σταθερά.
= - ve

s = 1/2

ένα φωτόνιο σε:

q : ηλεκτρικό φορτίο = 0

cB : βαρυονικός αριθμός
= 0

cL : λεπτονικός αριθμός
= 0

cm
: μιονικός αριθμός = 0

ct
: ταονικός αριθμός = 0

v : γυρομαγνητική σταθερά.
= 0

s = 1

Στην αντι-ύλη του Dirac όλα τα φορτία αντιστρέφονται (
συμπεριλαμβανομένου του ηλεκτρικού φορτίου).

Καθώς όλα τα φορτία των φωτονίων είναι μηδέν, αυτό εξηγεί γιατί
το φωτόνιο είναι το δικό του αντισωματίδιο, διότι:

• 0 = + 0

Τότε αυτή η μέθοδος δίνει μια πρώτη γεωμετρικοποίηση των (συνήθων)
στοιχειωδών σωματιδίων. Η περιγραφή περιορίζεται στα συστατικά των
πυρήνων.