f103
| 3 |
|---|
Η καμπυλότητα (θετική).
...Όταν σχεδιάσαμε το τρίγωνό μας, που αποτελείται από γεωδαισικές γραμμές, σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των γωνιών του ήταν π. Ένα επίπεδο... είναι μια επίπεδη επιφάνεια, "μη καμπυλωμένη", Ευκλείδεια. Το άθροισμα των γωνιών αυτού του τριγώνου είναι επομένως το Ευκλείδειο άθροισμα. Στην προηγούμενη πείραμα είδαμε ότι αν ένα τρίγωνο δεν περιέχει την κορυφή του κώνου μας, το άθροισμα παραμένει Ευκλείδειο. Ωστόσο, όταν το τρίγωνο περιέχει την κορυφή S, τότε αυτό το άθροισμα παρουσιάζει ένα υπερβάλλον q, ανεξάρτητα από το τρίγωνο, όσον αφορά το σημείο αυτό. Θα πούμε ότι η κορυφή του κώνου είναι ένα σημείο συγκεντρωμένης καμπυλότητας.
...Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε σε άλλα πειράματα. Μετά την κατασκευή δύο κώνων, με κοπές q1 και q2 μπορούμε να κολλήσουμε αυτά τα δύο τμήματα επιφάνειας το ένα στο άλλο.
...Μια πιο απλή μέθοδος είναι να κάνουμε δύο κοπές σε ένα φύλλο πλαστικού και να κατασκευάσουμε την ακόλουθη επιφάνεια:
Μπορείτε τότε να σχεδιάσετε όσα τρίγωνα γεωδαισικά θέλετε σε αυτή την επιφάνεια:
-
Που δεν περικλείουν ούτε S1 ούτε S2: Άθροισμα των γωνιών: π
-
Που περικλείουν μόνο το S1: Άθροισμα των γωνιών π + q1
-
Που περικλείουν μόνο το S2: Άθροισμα των γωνιών: π + q2
-
Που περικλείουν και τα δύο σημεία S1 και S2: Άθροισμα των γωνιών: π + q1+ q2
...Φαντάζεστε εύκολα ότι μπορείτε να κατασκευάσετε ένα μεγάλο αριθμό μικρών κωνικών τμημάτων με μικρή γωνία Dq και να τα κολλήσετε το ένα στο άλλο. Μπορείτε ακόμα να τα διατάξετε έτσι ώστε να υπάρχει σταθερή πυκνότητα καμπυλότητας ανά μονάδα επιφάνειας, θεωρώντας αυτή την καμπυλότητα ως το άθροισμα των Dq που σχετίζονται με κάθε κορυφή αυτών των μικρών κωνικών τμημάτων.
...Κάνοντας τα μικρά κωνικά τμήματα όλο και μικρότερα (όπως και η στοιχειώδης γωνία Dq που τους αντιστοιχεί) μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε ένα τμήμα επιφάνειας με σταθερή πυκνότητα καμπυλότητας.
Η σφαίρα είναι μια επιφάνεια με σταθερή πυκνότητα καμπυλότητας. Θα πούμε απλούστερα ότι έχει σταθερή τοπική καμπυλότητα.
Ένα αυγό είναι μια καμπυλωμένη επιφάνεια, με μεταβλητή πυκνότητα καμπυλότητας. Θα πούμε απλούστερα ότι έχει μεταβλητή τοπική καμπυλότητα.
...Η Γενική Σχετικότητα αποτελεί την αναγνώριση της πυκνότητας μάζας r και της τοπικής καμπυλότητας. Φυσικά, η Γενική Σχετικότητα ασχολείται όχι με επιφάνειες δύο διαστάσεων, ούτε ακόμα με τρεις, αλλά με υπερεπιφάνειες τεσσάρων διαστάσεων. Δεν πρέπει να απαιτήσουμε πολύ από αυτό που προηγείται και θα πρέπει να θεωρήσουμε αυτές τις εικόνες μόνο ως διδακτικές εικόνες, προκειμένου να σταθεροποιήσουν τις ιδέες. Ωστόσο, δεν είναι τόσο κακές όσο φαίνονται.
Διδακτική εικόνα 2d ενός ουρανικού σώματος.
Ένα ουρανικό σώμα, όπως το ηλιακό σύστημα, είναι μια συσσώρευση ύλης, περικυκλωμένη, είτε από κενό, είτε τουλάχιστον από ένα πολύ χαμηλής καμπυλότητας περιοχή. Σε δύο διαστάσεις η διδακτική εικόνα θα είναι αυτή ενός σφαιρικού κώνου.
...Ένας σφαιρικός κώνος κατασκευάζεται με τη βοήθεια δύο τμημάτων: μιας σφαιρικής κορώνας, με σταθερή καμπυλότητα (ή "σταθερή πυκνότητα καμπυλότητας") και ενός τμήματος κώνου. Αυτό το τμήμα του κώνου είναι "επίπεδο", η πυκνότητα καμπυλότητας του είναι μηδενική. Είναι μια Ευκλείδεια επιφάνεια. Είναι η διδακτική εικόνα 2d ενός ουρανικού σώματος με σταθερή πυκνότητα μάζας r.
...Στο παρελθόν θα μπορούσαμε να ρωτήσουμε πώς να συνδεθούν τέλεια ένα τμήμα κώνου και μια σφαιρική κορώνα, ώστε το εφαπτομενικό επίπεδο να είναι συνεχές.
...Είναι απλό. Το τμήμα του κώνου κατασκευάζεται από έναν κώνο, ο οποίος προϋποθέτει μια κοπή γωνίας q. Η σφαιρική κορώνα περιέχει μια συγκεκριμένη "ποσότητα καμπυλότητας", η οποία είναι επίσης μια γωνία. Είναι το άθροισμα όλων των γωνιών των μικρών κωνικών τμημάτων που την αποτελούν. Πρέπει αυτές οι δύο γωνίες να είναι ίσες.
Αλλά πώς να εκτιμήσουμε την ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται σε μια συγκεκριμένη σφαιρική κορώνα;
../../../bons_commande/bon_global.htm ...
Περιεχόμενο άρθρου Περιεχόμενο Επιστήμης Σελίδα Αρχής
Προηγούμενη Σελίδα Επόμενη Σελίδα
**
Αριθμός επισκέψεων σε αυτή τη σελίδα από την 1η Ιουλίου 2004** :