f104
| 4 |
|---|
Συνολική καμπυλότητα.
** **...Μπορούμε να κατασκευάσουμε μια σφαίρα τοποθετώντας δίπλα-δίπλα μικρές ποσικόνες. Ωστόσο, κατά τη διαδικασία αυτή, αυτή η επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα (ή πυκνότητα καμπυλότητας ή τοπική καμπυλότητα) θα κλείσει. Έτσι περιέχει μια ορισμένη καμπυλότητα, αλλά ποια;
...Αν σχεδιάσω ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε μια σφαίρα, θα περικλείσει ένα συγκεκριμένο αριθμό μικρών ποσικόνων, μια συγκεκριμένη "ποσότητα καμπυλότητας", η οποία είναι ένας γωνιακός όρος. Αυτή θα είναι απλά ανάλογη με την επιφάνεια του τριγώνου, ή πιο ακριβώς με το λόγο μεταξύ της επιφάνειας s του τριγώνου και της επιφάνειας S της σφαίρας.
...Αλλά έχουμε δει, παραπάνω, ότι όταν σχεδιάζουμε ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε μια επιφάνεια που κατασκευάστηκε από συνδεδεμένες ποσικόνες, το απόκλιση από το ευκλείδειο άθροισμα είναι ίσο με το άθροισμα των συγκεντρωμένων καμπυλοτήτων που σχετίζονται με κάθε κορυφή κώνου που υπάρχει στο τρίγωνό μας. Αρκεί λοιπόν να μετρήσουμε το άθροισμα των γωνιών a, b, γ του τριγώνου παραπάνω, που κατασκευάστηκε από τρία τόξα γεωδαισιακά της σφαίρας, για να πάρουμε μια μέτρηση της ποσότητας της γωνιακής καμπυλότητας που περιέχεται σε αυτό το τρίγωνο. Οι γεωδαισιακές της σφαίρας είναι τα "μεγάλα κύκλα" της.
...Κόψτε τη σφαίρα σε οκτώ ίσα τμήματα. Θα πάρουμε οκτώ τρίγωνα που αποτελούνται από γεωδαισιακά τόξα, των οποίων οι τρεις γωνίες θα είναι ορθές.
...Κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα περιέχει λοιπόν μια καμπυλότητα ίση με π/2. Επειδή υπάρχουν οκτώ, η συνολική καμπυλότητα της σφαίρας είναι 4π.
...Αυτή η μικρή παρατήρηση για να δείξει ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά αποτελέσματα με πολύ απλές σκέψεις.
...Επιστρέφοντας στο θέμα του σφαιρικού κώνου, βλέπουμε ότι το πλάι του αντικειμένου εξαρτάται από την ποσότητα της "καμπυλότητας που περιέχεται μέσα", αυτή η καμπυλότητα μπορεί να είναι σημειακή (σημειακός κώνος) ή κατανεμημένη σε μια σφαιρική κορώνα. Μπορούμε να κάνουμε την κορώνα να τείνει σε ένα σημείο, με μια ομοιόθετη μείωση (τέτοια ώστε να περιέχει πάντα την ίδια "ποσότητα καμπυλότητας").
Διαδρομές.
...Στη Γενική Σχετικότητα η κεντρική ιδέα είναι απλή: να θεωρήσουμε τις διαδρομές των αντικειμένων, των σωματιδίων, των φωτονίων ή της ύλης ως γεωδαισιακές γραμμές. Βεβαίως, είναι γεωδαισιακές μιας υπερεπιφάνειας τεσσάρων διαστάσεων. Έτσι, εδώ έχουμε επίσης μόνο εικόνες διδακτικές.
Αν πάρουμε τον σφαιρικό κώνο μπορούμε να τον σχεδιάσουμε γεωδαισιακές γραμμές και να τις προβάλουμε σε ένα επίπεδο.
...Όλα τα σωματίδια ακολουθούν γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας: τα σωματίδια της ύλης, αλλά και τα φωτόνια και τα νετρίνα. Γι' αυτό είχαμε διασκεδάσει να απεικονίσουμε μια γεωδαισιακή που διατρέχει το αντικείμενο πλήρως. Ένα νετρίνο μπορεί να διατρέξει τον Ήλιο χωρίς πρόβλημα.
...Αλλά τι είναι αυτό το επίπεδο στο οποίο προβάλλουμε αυτές τις γεωδαισιακές; Είναι ο τρόπος με τον οποίο αναπαριστούμε το χώρο. Το "σύμπαν της νόησής μας" είναι εντελώς ευκλείδειο και η σκέψη μας "επίπεδη". Όταν βλέπουμε μια κομήτη να περνάει κοντά στον Ήλιο, δεν θα μας έρθει ποτέ στο νου ότι στην πραγματικότητα πηγαίνει "ευθεία", δηλαδή ακολουθεί μια γεωδαισιακή της υπερεπιφάνειας. Η αντίληψή μας του κόσμου είναι η εικόνα 24', όπου ένα ουράνιο σώμα "ελκύει" τα αντικείμενα που περνούν στη γειτονιά του.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Περιεχόμενα άρθρου Περιεχόμενα Επιστήμης Σελίδα Αρχής
Προηγούμενη Σελίδα Επόμενη Σελίδα
**
Αριθμός επισκοπήσεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004** :