f107
| 7 |
|---|
Συζυγείς Γεωμετρίες.
...Θα συνδέσουμε τότε ένα αμβλύ κώνο και έναν "αρνητικό αμβλύ κώνο", που έχουν την ίδια ποσότητα καμπυλότητας, αλλά με αντίθετο πρόσημο: +q και -q. Μπορούμε να τους τοποθετήσουμε αντικριστά (δημιουργώντας κατά τη διαδικασία μια "αντιστοιχία σημείο προς σημείο": βιενδική, ενδιάμεση). Υπάρχουν τότε δύο φλοιοί. Να τους ονομάσουμε F και F*. Σε κάθε σημείο του F αντιστοιχεί ένα σημείο του F*.
...Προσπαθήστε να εξασφαλίσετε ότι τα κυκλικά περίγραμμα των "αμβλύων μέρη", που φέρουν καμπυλότητα (θετική σε ένα φλοιό, αρνητική στον άλλο), να αντιστοιχούν σημείο προς σημείο. Αυτό εξηγείται με την προβολή όλου του συστήματος σε ένα επίπεδο. Παίρνουμε δύο επιφάνειες με συζυγείς καμπυλότητες.
...Τα κώνικα πλευρά είναι "μη καμπυλωμένα", είναι στοιχεία ευκλείδειων επιφανειών. Θα πούμε ότι σε κάθε σημείο αυτών των επιφανειών η τοπική καμπυλότητα είναι μηδέν. Η σφαιρική καπέλα και η "καρδιά άλογου" αντιστοιχούν σημείο προς σημείο. Οι καμπυλότητές τους είναι αντίθετες.
Η Γενική Σχετικότητα.
...Το σημείο εκκίνησης είναι η ιδέα ότι η γεωμετρία του κόσμου καθορίζεται από το περιεχόμενό του σε "ενέργεια-ύλη". Προσέξτε ότι χρησιμοποιούμε τον όρο ενέργεια-ύλη και όχι μόνο ύλη, που δείχνει σαφώς ότι κάθε περιεχόμενο του κόσμου έχει επίδραση στη γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένης της ακτινοβολίας, των φωτονίων (ή των νετρίνων). Προηγουμένως είδαμε ότι ένα φωτόνιο δημιουργεί μια μικρή θετική καμπυλότητα στο χώρο.
...Θα σκεφτούμε πρώτα σε στατική κατάσταση. Μια επίπεδη, ελεύθερη επιφάνεια είναι μια επιφάνεια όπου η τάση είναι μηδέν. Μπορούμε να αλλάξουμε τη γεωμετρία της δημιουργώντας τάσεις, θετικές ή αρνητικές (το πρόσημο εξαρτάται από συμβάσεις). Αν π.χ. θερμάνω ένα πλαστικό φύλλο, μπορώ να δημιουργήσω μια "φούσκα", δηλαδή μια περιοχή με θετική καμπυλότητα.
...Μπορώ επίσης να τοποθετήσω στην επιφάνεια ενός χαρτιού ένα προϊόν που, καθώς στεγνώνει, συστέλλεται. Η τάση θα δημιουργήσει μια περιοχή με αρνητική καμπυλότητα.
...Ένας χαλκούργος γνωρίζει πώς να εκμεταλλευτεί αυτές τις τάσεις για να διαμορφώσει ένα φύλλο. Πάρτε, για παράδειγμα, ένα μεταλλικό σωλήνα. Θερμαίνω από τη μία πλευρά και ψύχω από την άλλη. Τι θα συμβεί;
Ο σωλήνας θα καμπυλωθεί, η θερμαινόμενη περιοχή θα διασταλεί και η ψυχρή θα συσταλεί.
...Κατά τη διαδικασία αυτή, δημιουργήσαμε τάσεις στο μέταλλο. Αυτή είναι η προέλευση της λέξης τανσόρ, στα μαθηματικά και τη γεωμετρία. Ο ειδικός στην αντοχή των υλικών θα μιλάει για τανσόρ των τάσεων. Ο γεωμέτρης θα μιλάει για τανσόρ καμπυλότητας.
Η παραπάνω μικρή εμπειρία εξηγεί την ιδέα:
Το τοπικό περιεχόμενο σε ενέργεια -----> η τοπική γεωμετρία
...Στη Γενική Σχετικότητα κάνουμε το ίδιο. Η διαφορά είναι ότι αυτό το τοπικό περιεχόμενο σε ενέργεια-ύλη καθορίζει τη γεωμετρία μιας υπερεπιφάνειας με τέσσερις διαστάσεις, όχι όπως εδώ, τη γεωμετρία μιας επιφάνειας με δύο διαστάσεις. Αλλά η ιδέα είναι παρόμοια.
...Ο μαθηματικός θα χρησιμοποιήσει τότε μια τανσορική γραφή. Δεν μπορούμε να πούμε περισσότερα εδώ για έναν μη μαθηματικό. Αλλά ο τανσόρ του Αϊνστάιν S (θα χρησιμοποιήσουμε παχιές γράμματα) αντιπροσωπεύει τη γεωμετρία. Στην εξίσωση του Αϊνστάιν, τον ταυτίζουμε με έναν άλλο τανσόρ T, που περιγράφει το περιεχόμενο σε ενέργεια-ύλη, με μία πολλαπλασιαστική σταθερά, τη "σταθερά του Αϊνστάιν c".
Η διάσημη εξίσωση του Αϊνστάιν γράφεται λοιπόν:
**S **= c T
...Στον τανσόρ T συμμετέχει η όγκος πυκνότητα r και η πίεση p (στην πραγματικότητα ο πιο γενικός τανσόρ T είναι πιο περίπλοκος, αλλά θα περιοριστούμε σε αυτή τη συνήθη έκφραση). Σε μια στατική διάταξη θα δώσουμε μια συγκεκριμένη κατανομή πυκνότητας και πίεσης r(x,y,z), p(x,y,z). Με αυτά γνωρίζουμε πώς να κατασκευάσουμε τον τανσόρ T, που περιέχει έτσι όλα τα στοιχεία του προβλήματος. Το ερώτημα είναι: "Ποια είναι η γεωμετρία που αντιστοιχεί σε αυτόν τον τανσόρ T, που ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση;".
...Με άλλα λόγια, ο φυσικός, γνωρίζοντας το τοπικό περιεχόμενο του κόσμου, προσπαθεί να καθορίσει τη γεωμετρία της υπερεπιφάνειας του κόσμου.
Όταν λέμε γεωμετρία, λέμε γεωδαισιακές. Εδώ εισέρχεται η δεύτερη υπόθεση της Γενικής Σχετικότητας:
Υποθέτουμε ότι τα αντικείμενα που κινούνται στον κόσμο
ακολουθούν γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας χώρου-χρόνου.
Με αντικείμενο εννοούμε σωματίδια (σωματίδια που ονομάζονται στοιχειώδη, φωτόνια, νετρίνα) αλλά επίσης και πλανήτες, αστέρες κ.λπ.
Σε αυτό το σημείο μια παρατήρηση: πού βρίσκονται τα σωματίδια σε όλη αυτή τη διαδικασία;
...Απάντηση: ο ειδικός στη Γενική Σχετικότητα εργάζεται στο μακροσκοπικό. Οι συναρτήσεις-εισόδου του προβλήματος, η όγκος πυκνότητα r και η πίεση p, αντιπροσωπεύουν μια μακροσκοπική περιγραφή του κοσμικού περιεχομένου. Το ίδιο ισχύει για τη "έξοδο". Και ο γεωμέτρης προσθέτει:
- Μου δώσατε συναρτήσεις r(x,y,z) και p(x,y,z), σας κατασκεύασα την υπερεπιφάνεια που αντιστοιχεί, με τις οικογένειές της γεωδαισιακών. Αλλά δεν μπορώ να κάνω περισσότερα. Είμαι ειδικά ανίκανος να σας φτιάξω σωματίδια, άτομα κ.λπ. Γι' αυτό το σκοπό, δείτε ένα άλλο υπηρεσία...
Σαφώς: ο γέφυρα μεταξύ της Γενικής Σχετικότητας και της φυσικής των σωματιδίων δεν έχει ακόμη κατασκευαστεί.
Αλλά ο αστρονόμος θα πει:
- Ποιο είναι το πρόβλημα; Αυτή η υπόθεση ότι τα φωτόνια ακολουθούν συγκεκριμένες γεωδαισιακές αυτής της υπερεπιφάνειας λειτουργεί. Η απόδειξη: μπορώ να κάνω παρατηρήσεις. Αν υποθέσω ότι οι πλανήτες, όπως σημειακές μάζες, ακολουθούν επίσης γεωδαισιακές αυτής της υπερεπιφάνειας, μπορώ να κατασκευάσω τις τροχιές τους. Υπάρχουν επίσης τα φαινόμενα της βαρυτικής λήψης....
Έχει δίκιο.
...Ας πούμε λίγα λόγια για αυτά τα φαινόμενα της βαρυτικής λήψης. Φυσικά, αυτή η εικόνα του αμβλύ κώνου είναι μόνο μια διδακτική εικόνα. Ένας πλανήτης που περιφέρεται κυκλικά γύρω από έναν ήλιο ακολουθεί επίσης μια γεωδαισιακή του χώρου-χρόνου. Αλλά ένας κύκλος που σχεδιάζεται σε έναν αμβλύ κώνο δεν είναι γεωδαισιακή:
Αυτό δείχνει απλώς τα όρια των διδακτικών εικόνων, ακόμη