f108
| 8 |
|---|
Αναλλοίωση με αλλαγή συντεταγμένων.
...Αυτό είναι ένα κεντρικό έννοια της Γενικής Σχετικότητας, το οποίο δεν είναι εύκολο να παρουσιαστεί. Είπαμε ότι η αναζήτηση μιας "κοσμολογικής λύσης", σταθερής ή μη σταθερής, σημαίνει να κατασκευάσουμε μια υπερεπιφάνεια τεσσάρων διαστάσεων η οποία είναι "λύση της εξίσωσης πεδίου".
...Πάρτε για παράδειγμα ένα αντικείμενο από χάλυβα που έχει την τοπολογία της σφαίρας. Είναι "μια σφαίρα από χάλυβα". Εκεί πάλι φανταστείτε εύκολα ότι μπορείτε να παραμορφώσετε αυτή την επιφάνεια θερμαίνοντας και ψύχοντας σε συγκεκριμένες περιοχές. Για παράδειγμα, θερμαίνοντας σε ένα σημείο και ψύχοντας την αντίποδα περιοχή θα μετατρέψετε αυτή τη σφαίρα σε αυγό. Ένα αυγό είναι ένα αντικείμενο που έχει την τοπολογία της σφαίρας, αλλά είναι μια επιφάνεια με μεταβλητή καμπυλότητα.
...Θερμαίνοντας σε ένα σημείο και ψύχοντας σε άλλο, θα δημιουργήσετε τάσεις στο μέταλλο. Φυσικά, αφού αυτό το υλικό είναι αγωγιμό, αν σταματούσαμε να θερμαίνουμε και να ψύχουμε, η θερμοκρασία θα ομογενοποιούνταν και το αντικείμενο θα επανερχόταν στη σφαιρική του μορφή. Αυτό που έχει σημασία είναι ότι μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σταθερή κατάσταση με ένα πεδίο θερμοκρασίας που δεν είναι ομοιόμορφο. Αυτό το πεδίο προκαλεί τάσεις και θα μπορούσαμε να υλοποιήσουμε αυτές τις τάσεις σε μορφή μαθηματικού αντικειμένου T, που ονομάζεται τανυστής.
Κάτι περιγράφει τη γεωμετρία του αντικειμένου. Αυτό ονομάζεται μετρική. Από αυτό το δεύτερο μαθηματικό αντικείμενο μπορούμε να:
- Υπολογίσουμε τον γεωμετρικό τανυστή S - Υπολογίσουμε τις γεωδαισιακές της επιφάνειας.
Η γεωμετρία αυτής της επιφάνειας μπορεί να υπολογιστεί από μια εξίσωση παρόμοια με την εξίσωση του Αϊνστάιν, της μορφής:
S = a T
όπου a είναι μια σταθερά. Με τη γνώση του πεδίου θερμοκρασίας στο χάλυβα, δηλαδή του τανυστή των τάσεων, θα μπορούσαμε να αποδείξουμε τη γεωμετρία του. Η καλύτερη τρόπος για να "διαβάσουμε" αυτή τη γεωμετρία θα ήταν να αναλύσουμε το σύστημα των γεωδαισιακών. Γνωρίζουμε τις γεωδαισιακές της σφαίρας (τα "μεγάλα κύκλους" της). Οι γεωδαισιακές ενός αυγού είναι διαφορετικές.
...Για να περιγράψουμε αυτές τις γεωδαισιακές θα χρειαστούμε να ορίσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων στην επιφάνεια. Για τη σφαίρα, μπορούμε να πάρουμε το κλασσικό σύστημα αζιμούθιο-πλάτους.
...Σε αυτό το συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων, οι γεωδαισιακές της σφαίρας θα αντιστοιχούσαν σε ορισμένες εξισώσεις.
Σε αυτή τη σφαίρα, οι καμπύλες q = Σταθ. αντιπροσωπεύουν την οικογένεια των γεωδαισιακών που περνούν από δύο σημεία. Αντίθετα, οι καμπύλες j = Σταθ. (παράλληλοι) δεν είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας.
...Μπορούμε επίσης να ορίσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων παρόμοιο και να γράψουμε τις εξισώσεις των γεωδαισιακών της επιφάνειας "αυγού". Ωστόσο, παρατηρούμε αμέσως μια ουσιαστική πράξη: οι γεωδαισιακές της επιφάνειας είναι ανεξάρτητες από τις συντεταγμένες που επιλέγουμε για να τις περιγράψουμε, όπως και τα σημεία μιας σφαίρας ή ενός αυγού υπάρχουν, ανεξάρτητα από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να τα προσδιορίσουμε.
...Ομοίως, σε ένα επίπεδο μπορούμε να παραστήσουμε σημεία με καρτεσιανές συντεταγμένες ή πολικές συντεταγμένες. Οι ευθείες του επιπέδου είναι γεωδαισιακές.
Μια ευθεία μπορεί να περιγραφεί σε δύο συστήματα συντεταγμένων:
...Πρόκειται για την ίδια γεωδαισιακή, με δύο τελείως διαφορετικές περιγραφές. Οι ευθείες του επιπέδου υπάρχουν ανεξάρτητα από το πώς τις περιγράφουμε, από την επιλογή των συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε. Και μπορούμε να φανταστούμε... άπειρες.
...Τι είναι λοιπόν ανεξάρτητο; Απάντηση: η απόσταση s που μετράται σε μια ευθεία (ή κατά μήκος οποιασδήποτε καμπύλης). Μεταξύ δύο σημείων M1 και M2 μιας επιφάνειας, ο μικρότερος δρόμος είναι μια γεωδαισιακή.
...Ομοίως, η απόσταση που χωρίζει δύο σημεία, σε μια γεωδαισιακή των αντικειμένων "σφαίρα" ή "αυγό", είναι επίσης μια ποσότητα που είναι ανεξάρτητη από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγουμε. Αν πάρουμε δύο σημεία M1 και M2 σε μια επιφάνεια και σχεδιάσουμε το γεωδαισιακό τόξο που τα συνδέει, η απόσταση s που μετράται κατά μήκος αυτού του τόξου θα είναι η ίδια, ανεξάρτητα από το σύστημα των συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να προσδιορίσουμε τα σημεία.
...Το ίδιο ισχύει και για την υπερεπιφάνεια τεσσάρων διαστάσεων που ονομάζουμε "κόσμος". Έχει το δικό της σύστημα γεωδαισιακών, το οποίο είναι επίσης ανεξάρτητο από τις αλλαγές συντεταγμένων. Δεν ζούμε σε ένα χώρο (x, y, z, t) με συντεταγμένες θέσης και μια συντεταγμένη χρόνου, αλλά σε μια υπερεπιφάνεια τεσσάρων διαστάσεων που μπορεί να περιγραφεί πλήρως από το δίκτυό της γεωδαισιακών. Σε αυτές τις γεωδαισιακές υπάρχει μια απόσταση s που είναι επίσης ανεξάρτητη από τις αλλαγές συντεταγμένων. Τα σημεία αυτής της υπερεπιφάνειας δεν είναι πλέον σημεία του χώρου, αλλά σημεία μιας υπερεπιφάνειας χώρου-χρόνου. Τα ονομάζουμε γεγονότα. Έτσι, δύο διαφορετικά γεγονότα είναι χωρισμένα από κάτι που ονομάζουμε s. Αλλά τι είναι αυτό;
Αυτό είναι το ιδιοχρόνο .
...Μια γεωδαισιακή διαδρομή σε αυτή την υπερεπιφάνεια χώρου-χρόνου χωρίζει δύο γεγονότα M1 και M2. Αυτό που μπορώ να πω είναι ότι αν είχα χρησιμοποιήσει ένα μεταφορικό μέσο για να κάνω αυτή τη διαδρομή στο χώρο-χρόνο, θα είχε περάσει ένα χρονικό διάστημα s στο ρολόι μου.
Ένας επιλογή συντεταγμένων σημαίνει να προσδιορίζουμε τα σημεία του χώρου-χρόνου με συντεταγμένες χώρου (x, y, z) και μια συντεταγμένη χρόνου t. Ωστόσο, αφού αυτή η επιλογή είναι τυχαία, ο χώρος και ο χρόνος δεν έχουν υπόσταση που να είναι ιδιοχρονική. Είναι μόνο τρόποι "διάβασης" της επιφάνειας, για να την περιηγηθούμε. Μόνη περιορισμός: με βάση την υπόθεση που έχουμε κάνει, μπορούμε να κινηθούμε μόνο κατά μήκος γεωδαισιακών και σε αυτές, το μόνο αξιόπιστο πράγμα στο οποίο μπορούμε να αναπαύσουμε είναι το "ιδιοχρόνο που έχει περάσει" s, όχι αυτός ο χρόνος t, που είναι απλώς ένα σύστημα παραπομπής χρονικής (χρονικός δείκτης).
Για κάθε επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, �