f111
| 11 |
|---|
Δυνητικά προβλήματα που προκαλεί η επιλογή συντεταγμένων.
...Θα αναφερθούμε στους κινδύνους που συνεπάγεται η επιβολή ενός συστήματος συντεταγμένων σε μία γεωμετρική λύση, εκφράζοντας αυτή τη λύση σε αυτό το συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων: προϋπόθεση είναι ότι το σύστημα αυτό είναι κατάλληλο. Όταν αναλύουμε τη λύση που φαίνεται παραπάνω, υποθέτοντας ότι αυτή η γεωμετρία είναι λύση μίας εξίσωσης πεδίου, η χρήση ενός συστήματος συντεταγμένων (r, q) υπονοούσε ότι η τοπολογία ήταν "τοπικά σφαιρική", βέβαια σε δύο διαστάσεις. Δηλαδή, μέσα σε κάθε κύκλο "κεντραρισμένο" σε αυτό το υποθετικό γεωμετρικό κέντρο, μπορούσε πάντα να εγγραφεί ένας μικρότερος κύκλος, μέχρι να γίνει ένα σημείο. Μαθηματικά θα λέγαμε ότι κάθε κύκλος ακτίνας r περικλείει μία "συ contrακτική κύτταρο".
...Σε 3δ, τοπικά, το σύμπαν θα ήταν "σαν ρωσικά παιχνίδια". Μέσα σε μία σφαίρα μπορούσε πάντα να εγγραφεί μία σφαίρα με μικρότερη επιφάνεια. Σε 3δ, πρόκειται για μία τοπολογία τοπικά σφαιρική.
Μπορεί να είναι διαφορετικά;
Ναι, αν η τοπολογία της επιφάνειας είναι "τοπικά τορική". Σε 2δ αυτό δίνει το εξής:
...Παρατήρηση: Το αντικείμενο της παραπάνω εικόνας είναι μία 2δ επιφάνεια στο νόημα ότι χρειάζονται δύο παράμετροι για να καθοριστεί η θέση ενός σημείου σε αυτή. Με αυτή την έννοια, μία καμπύλη είναι μία "επιφάνεια μίας διάστασης". Όταν ο γεωμέτρης αναφέρεται στον κύκλο, θα χρησιμοποιήσει την έκφραση "σφαίρα S1", δηλαδή "σφαίρα μίας διάστασης": αρκεί ένας μόνο παράμετρος, η συντεταγμένη, για να καθοριστεί ένα σημείο σε μία καμπύλη, ένα αντικείμενο μίας διάστασης. Η σφαίρα S2, η "συνηθισμένη" σφαίρα και ο κύκλος, η σφαίρα S1, έχουν κάτι κοινό: είναι αντικείμενα "κλειστά" (έννοια που προέρχεται από την τοπολογία).
...Αυτός ο αριθμός των ποσοτήτων που χρειάζονται για να καθοριστεί η θέση ενός σημείου σε ένα χώρο είναι ακριβώς η ορισμός της διάστασης αυτού του χώρου. Έτσι, θα θεωρήσουμε τον χώρο-χρόνο (x,y,z,t) ως μία υπερεπιφάνεια τεσσάρων διαστάσεων, επειδή χρειάζονται τέσσερις ποσότητες για να καθοριστεί ένα σημείο, το "γεγονός".
Τέλος αυτής της παρατήρησης για την έννοια της διάστασης.
...Πρέπει να κρατήσουμε στο μυαλό μας μία σημαντική παρατήρηση. Ο γεωμέτρης που κατασκευάζει μία συγκεκριμένη λύση μίας εξίσωσης πεδίου είναι τυφλός· δεν μπορεί να δει το γεωμετρικό αντικείμενο που προκύπτει. Μπορεί μόνο να το εξερευνήσει, μέσω των γεωδαισιακών του, περιγράφοντας αυτές σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Οι πολικές συντεταγμένες που αναφέρθηκαν προηγουμένως αντιστοιχούσαν στην τομή της επιφάνειας με μία οικογένεια συγκεντρικών κυλίνδρων:
και με μία οικογένεια επιπέδων που διέρχονται από το κοινό άξονα των κυλίνδρων.
Σε 3δ θα αντιστοιχούσε στην τομή του χώρου με μία οικογένεια συγκεντρικών σφαιρών.
...Αλλά τι συμβαίνει αν κόψουμε την επιφάνεια που έχει αυτή τη μορφή σωλήνα με μία οικογένεια συγκεντρικών κυλίνδρων; Όσο οι κύλινδροι τέμνουν την επιφάνεια, όλα πάνε καλά. Αλλά όταν το περίμετρό τους γίνει μικρότερο από το περίμετρο του "κύκλου της λαιμού", οι τομές γίνονται ... φανταστικές καμπύλες. Έστω p το περίμετρο του κύκλου της λαιμού. Αντιστοιχήστε του μία μήκος Rg ώστε p = 2πRg.
...Είναι σαφές ότι κάθε κύλινδρος της οικογένειας για τον οποίο r < Rg δεν τέμνει την επιφάνεια. Όταν ο γεωμέτρης θα ασχοληθεί με τη μορφή των γεωδαισιακών της επιφάνειας για r < Rg, θα βρει γεωμετρικά αντικείμενα που είναι φανταστικά.
...Όταν αναζητούμε την τομή δύο σημείων με μία ευθεία, π.χ. x = xo, βρίσκουμε δύο πραγματικές τιμές για το y, όταν η ευθεία πραγματικά τέμνει τον κύκλο. Διαφορετικά, αυτές οι τιμές είναι καθαρά φανταστικές.
...Αν ένας άνθρωπος, που εξερευνά μία επιφάνεια στο σκοτάδι, χωρίς να μπορεί να δει τη μορφή της, και δεν γνωρίζει ότι η τοπολογία της είναι τοπικά τορική, μπορεί να είναι πολύ συγκλονισμένος. Η επιφάνεια μπορεί να καθοριστεί με δύο οικογένειες καμπύλων:
...Κάθε καμπύλη ορίζεται από ένα παράμετρο. Ένα σημείο M, στη διασταύρωση αυτών των δύο καμπύλων, καθορίζεται ακριβώς από δύο ποσότητες (a,b), τις δύο τιμές των καμπύλων που περνούν από το M.
...Η πρώτη οικογένεια αποτελείται από κύκλους που δεν είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας (εκτός από τον κύκλο της λαιμού), ενώ η δεύτερη αποτελείται από γεωδαισιακές με υπερβολική μορφή, κάθετες σε αυτούς τους κύκλους. Οι υπερβολικές καμπύλες υποδηλώνουν τροχιές που βυθίζονται, που επιτρέπουν τη μετάβαση από ένα φύλλο σε ένα άλλο. Φυσικά, μπορεί να υπάρχει η ίδια κατάσταση και σε 3δ χώρο, τοπικά υπερτορικό. Οι κύκλοι θα αντικατασταθούν από μία οικογένεια σφαιρών, μεταξύ των οποίων θα βρεθεί μία σφαίρα της λαιμού, με ελάχιστη επιφάνεια. Οι γραμμές που αποτελούν τις τροχιές κάθετες σε αυτή την οικογένεια σφαιρών αποτελούν τροχιές που βυθίζονται, επιτρέποντας τη μετάβαση μέσω αυτού του υπερτορικού σωλήνα και την επανεμφάνιση σε ένα άλλο φύλλο (ή στρώμα) 3δ.
...Αυτή η παρατήρηση δεν είναι ακατάλληλη. Θα έχουμε την ευκαιρία να την επανέλθουμε όταν εξετάσουμε το μοντέλο του schwarzshild. Πράγματι, σε αυτό το μοντέλο, όταν εισχωρήσουμε "μέσα στη σφαίρα ορίζοντα", η μάζα μίας σωματιδίου γίνεται... καθαρά φανταστική (και πολλά άλλα πράγματα). Έτσι, έχουμε δικαίωμα να ρωτήσουμε αν εξακολουθούμε να βρισκόμαστε στην υπερεπιφάνεια χώρο-χρόνου. Η ειδική επιλογή συντεταγμένων (t, r, q, j), που υπονοεί μία τοπολογία τοπικά υπερσφαιρική (ύπαρξη μίας ακτινικής συντεταγμένης r, που μπορεί να πάρει τιμές μικρότερες από την ακτίνα της σφαίρας ορίζοντα, της σφαίρας Schwarzschild) είναι κατάλληλη;
Ένας γνωστός αστροφυσικός έγραψε πριν από μερικά χρόνια:
- Γνωρίζουμε τώρα πολύ περισσότερα για το εσωτερικό των μαύρων τρυπών.
Αλλά αν οι μαύρες τρύπες υπάρχουν, έχουν πραγματικά εσωτερικό; Ή αντιπροσωπεύουν μία τοπολογία τοπικά υπερτορική;
...Βλέπουμε πόσο μπορεί να προκαλέσει η επιλογή ενός συστήματος συντεταγμένων. Η γεωμετρική λύση υπάρχει. Διαθέτει γεωδαισιακές. Αλλά δεν μπορούμε να "διαβάσουμε" αυτά όλα παρά μόνο με την προβολή στον εγκεφαλικό μας χώρο αναπαράστασης: έναν ευ