f122
| 22 |
|---|
Το γεωμετρικό πλαίσιο.
...Μία σφαίρα είναι ένας χώρος δύο διαστάσεων. Χρειάζονται δύο παράμετροι για να τοποθετηθεί ένα σημείο σε αυτόν. Είναι ένας χώρος με τοπολογία (για περισσότερες λεπτομέρειες για τη σημασία της λέξης τοπολογία, δείτε την κομική μου "Topologicon", Εκδόσεις Belin). Μία σφαίρα δεν έχει την ίδια τοπολογία, την ίδια "μορφή", με έναν τόρο. Η σφαίρα διαθέτει γεωδαισιακές γραμμές. Μπορούμε να την περιγράψουμε με μία διαδρομή που συνδέει δύο σημεία M1 και M2 και να μετρήσουμε το μήκος s που διανύθηκε. Αυτό το μήκος είναι ανεξάρτητο από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγουμε για να τοποθετήσουμε τα σημεία, όπως και οι γεωδαισιακές γραμμές που γεμίζουν την επιφάνεια.
...Συνδέουμε το κέντρο αυτής της σφαίρας με όλα τα σημεία της. Παίρνουμε μία άπειρη ποσότητα ημιευθειών. Αυτές μπορούν να τοποθετηθούν με το ίδιο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για τα σημεία, για παράδειγμα με δύο γωνίες q και j.
Εδώ η σφαίρα μας. Έχουμε κάνει μία τρύπα για να δείξουμε το σύνολο των διανυσματικών ακτίνων.
Τώρα αφαιρούμε τη σφαίρα και κρατάμε μόνο τις διανυσματικές ακτίνες.
...Έχουμε κόψει αυτές τις ημιευθείες, αλλά στην πραγματικότητα είναι άπειρες. Κάθε μία ορίζεται μόνο με τη δοσμένη τιμή δύο παραμέτρων, για παράδειγμα δύο γωνιών. Η μετρική δομή έχει εξαφανιστεί. Δεν υπάρχουν πλέον γεωδαισιακές γραμμές, δεν υπάρχει μήκος. Τι απομένει;
-
Κάθε ημιευθεία έχει μία περιοχή γειτονίας. Μπορούμε να επιλέξουμε ημιευθείες γειτονικές για να την περικλείσουμε σε ένα είδος κώνου. Μέσα σε αυτόν τον κώνο μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν πιο στενό, που να περιέχει την ημιευθεία. Είναι όπως τα συγκεντρικά κύκλα ή τα ρωσικά παιχνίδια, αλλά με συστοιχίες ημιευθειών. Αλλά δεν πρόκειται για τη σχεδίαση γεωδαισιακών γραμμών σε αυτούς τους κώνους. Κάθε μία από τις γενέτειρες τους είναι απλώς ένα σύνολο δύο παραμέτρων, για παράδειγμα δύο γωνίες.
-
Διακρίνεται μία εμπειρική έννοια της διαφορικότητας. Δεν υπάρχει ασυνέχεια σε αυτή τη "υφή".
Πάρτε μία επίπεδη επιφάνεια, με γεωδαισιακές γραμμές, μήκος κ.λπ...
...Όποιο σύστημα συντεταγμένων επιλέξω, θα πρέπει πάντα να τοποθετήσω τη θέση των σημείων μου με δύο πραγματικούς αριθμούς (x,y), (r,q) κ.λπ...
Αυτοί οι πραγματικοί αριθμοί παίρνονται από το R², δηλαδή από το σύνολο των ζευγών πραγματικών αριθμών, όπως (3,8705, -17,56). Κάθε ζεύγος σημείων που παίρνεται από αυτό το χώρο των ζευγών πραγματικών αριθμών έχει μία γειτονιά. Είναι "συνεχής".
Αυτά τα αντικείμενα "προ-μετρικά" ονομάζονται πολλαπλότητες (οι μαθηματικοί έχουν τον τρόπο να επιλέγουν λέξεις που δεν έχουν καμία εικόνα για τον συνήθη άνθρωπο).
...Σε αυτό το στάδιο μπορούμε λοιπόν να παραλείψουμε αυτό το βήμα που σημαίνει να θεωρήσουμε ένα σύνολο n πραγματικών αριθμών (χώρος n διαστάσεων), χωρίς να του προσδίδουμε αυτόματα την έννοια μήκους ή γεωδαισιακών γραμμών.
...Είναι λίγο σαν να θεωρούμε μία επιφάνεια στην οποία τα σημεία δεν έχουν καμία άλλη περιοριστική συνθήκη παρά να διατηρούν την επαφή με τους γείτονές τους. Θα ήταν απείρως ελαστική και παραμορφώσιμη. Κατά σύμβαση, αν αναπαριστούμε μία επιφάνεια με το περίγραμμά της (ή το όριό της, ή το φαινόμενο περίγραμμά της), θα επικαλεστούμε αυτή τη "κινητή" έννοια της πολλαπλότητας απλώς αφαιρώντας το περίγραμμα:
...Αυτή η εικόνα υπενθυμίζει επίσης τη σκιά του αντικειμένου. Και μία σκιά δεν έχει ούτε πυκνότητα, ούτε μορφή. Η γεωμετρία της εξαρτάται από το αντικείμενο στο οποίο προβάλλεται.
Μπορούμε επίσης να φανταστούμε την πολλαπλότητα (στα αγγλικά manifold), χωρίς τη μετρική, ως μία οικογένεια ευθειών.
...Εδώ έχουμε τοποθετήσει ευθείες που φαίνονται παράλληλες. Αλλά θα έπρεπε αυτές οι ευθείες να είναι... όπως θέλουμε, με τη διατήρηση των σχέσεων γειτονίας, πλησιότητας.
...Τελικά, μία καλή εικόνα μίας πολλαπλότητας V2 είναι ένα πακέτο σπαγκιών που πρώτα βράζουμε, και μετά τα μπορούμε να λυγίσουμε και να τα περιστρέψουμε όπως θέλουμε, αλλά χωρίς να αλλάξουμε τη σειρά των σπαγκιών μεταξύ τους.
Παρόλα αυτά, μπορούμε να εφαρμόσουμε σε μία πολλαπλότητα μία επικάλυψη δύο φύλλων, η οποία εξοπλίζεται με μετρικές, όπως προτείνει η ακόλουθη εικόνα:
Εδώ δύο δισδιάστατα φύλλα με την ίδια μετρική (ευκλείδεια). Αλλά μπορούμε επίσης να κάνουμε:
...Θα ονομάσουμε M και M* συζυγή σημεία. Το γεγονός ότι τα δύο συζυγή χώροι κατασκευάζονται ως επικάλυψη δύο φύλλων μίας πολλαπλότητας σημαίνει απλώς ότι υπάρχει μία αμφίπλευρη αντιστοιχία μεταξύ των δύο φύλλων F και F*, αλλά, για παράδειγμα, οι αποστάσεις μεταξύ ζευγών ομόλογων σημείων (M1,M2), (M1, M2) μπορεί να είναι διαφορετικές. Η μόνη περιοριστική συνθήκη είναι τελικά ότι οι γειτονίες των σημείων να αντιστοιχούν και ότι σε κάθε μη ιδιαίτερη περιοχή του ενός φύλλου αντιστοιχεί μία επίσης μη ιδιαίτερη περιοχή στο άλλο.
...Ξαναβλέπουμε το πακέτο ελαστικών νουνιών από πριν. Η δομή της "πολλαπλότητα-σκελετού" υπάρχει μόνο για να κατασκευάσει την εναπόθεση αντιστοιχίας μεταξύ των δύο γεωμετρικών αντικειμένων. Η παρακάτω εικόνα έχει σκοπό να καταστήσει πλήρως φανερές ερωτήσεις όπως "πώς είναι τοποθετημένα τα φύλλα F και F* μεταξύ τους; Αν το F είναι ένας κόσμος, πού είναι το F*;". Τα φύλλα αυτά είναι απλώς συζυγή, με μία αμφίπλευρη αντιστοιχία και αυτά τα συζυγή σημεία μπορούν να περιγραφούν με τις ίδιες συντεταγμένες.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Περιεχόμενο άρθρου Περιεχόμενο Επιστήμης Αρχική Σελίδα
Προηγούμενη Σελίδα Επόμενη Σελίδα
Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004:**