f123
| 23 |
|---|
Συζυγείς καμπύλες.
...Πώς να αντιληφθούμε την έννοια της τοπικής καμπυλότητας, θετικής ή αρνητικής, σε ένα χώρο τριών διαστάσεων. Πάρτε μια σφαίρα. Κολλήστε ένα καρφί πουθενά. Προσαρμόστε ένα νήμα μήκους L και στερεώστε το στο άλλο άκρο ένα μολύβι. Θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε ένα κύκλο, ο οποίος θα είναι ένας παράλληλος. Εκτελέστε την ίδια ενέργεια με ένα επίπεδο και με ένα ιπποτικό ιπποτικό.
...Σε ένα επίπεδο το περίμετρο είναι 2 p L και η επιφάνεια του δίσκου p L2.
...Στη σφαίρα το περίμετρο και το εμβαδόν της σφαιρικής κορώνας είναι μικρότερα. Σε ένα ιπποτικό ιπποτικό το περίμετρο και το εμβαδόν που περικλείεται από αυτή την κλειστή καμπύλη είναι μεγαλύτερα. Παράδειγμα: αν πάρουμε μια σφαίρα ακτίνας R και μήκος L ίσο με το τέταρτο του ισημερινού περιμέτρου, δηλαδή p R/2:
...Η επιφάνεια του δίσκου είναι 3,875 φορές μεγαλύτερη από την επιφάνεια της σφαιρικής κορώνας. Το περίμετρό του είναι 1,57 φορές μεγαλύτερο από τον ισημερινό.
...Κάνοντας παρόμοιες μετρήσεις σε μια επιφάνεια μπορείτε να ξέρετε αν η τοπική καμπυλότητα είναι θετική ή αρνητική. Παρόμοια κατάσταση στις 3 διαστάσεις. Παίρνουμε τότε ένα σημείο, ένα νήμα ακτίνας L και σχεδιάζουμε... μια σφαίρα. Αν η επιφάνεια αυτής της σφαίρας είναι μικρότερη από την ευκλείδεια επιφάνεια 4 p L2 θα συμπεράνουμε ότι η τοπική καμπυλότητα είναι θετική. Αν αυτή η επιφάνεια είναι μικρότερη από την ευκλείδεια επιφάνεια 4 p L2 θα συμπεράνουμε ότι η τοπική καμπυλότητα είναι αρνητική. Το ίδιο συμπέρασμα για τον όγκο. Αρκεστείτε σε αυτές τις ιδέες ποιοτικές. Σε τρεις και τέσσερις διαστάσεις μπορεί να οριστεί μια ακτίνα R, που ονομάζεται αριθμητική καμπυλότητα, η οποία υπολογίζεται από ένα τανυστή καμπυλότητας.
...Στο κοσμολογικό μοντέλο που παρουσιάζουμε, αποφασίζουμε να συζυγήσουμε δύο φύλλα του κόσμου τέτοια ώστε οι τιμές των τοπικών αριθμητικών καμπυλοτήτων σε συζυγή σημεία να είναι αντίστροφες :
R* = - R
...Αυτό είναι το τρόπο που θα μπορούσαμε να τα δούμε με τον καθαρά γεωμετρικό τρόπο. Είναι τότε εύκολο να δώσουμε μια διδακτική εικόνα 2d, με τις κατάλληλες προειδοποιήσεις για την πραγματική αξιοπιστία αυτών των αναπαραστάσεων. Αυτό είναι το σχέδιο της παρακάτω εικόνας:
Στην κορυφή, ένας πασσαλοειδής που έχει χάσει την οξύτητά του. Η τοπική καμπυλότητα είναι μηδενική στο κορμί του κώνου και θετική στη σφαιρική κορώνα.
Στον κάτω μέρος ένας "αρνητικός κώνος". Η καμπυλότητα είναι μηδενική στο κορμί του αρνητικού κώνου και αρνητική στην ιπποτική σέλα.
...Έχουμε προβάλει το αντικείμενο και τις γεωδαισιακές γραμμές σε δύο επίπεδα-χώρους ευκλείδειας αναπαράστασης. Το πρώτο είναι αυτό ενός φυσικού παρατηρητή που βρίσκεται στο φύλλο F, ο οποίος θα μπορεί να δει το μαζικό αντικείμενο, αλλά όχι το σωματίδιο-μάρτυρας που κινείται στο φύλλο F*.
...Η αόρατη φύση ενός αντικειμένου που βρίσκεται σε ένα φύλλο από έναν παρατηρητή που βρίσκεται στο άλλο είναι καθαρά γεωμετρική. Υποθέτουμε ότι τα φωτόνια ακολουθούν γεωδαισιακές (ιδιαίτερες) κάθε φύλλου. Φωτόνια j κινούνται στο φύλλο F (το φύλλο μας του κόσμου) και φωτόνια j, τα οποία μπορούν να ονομαστούν "φωτόνια φαντάσματα" (φαντασματικά φωτόνια), κινούνται στο φύλλο F, το "φαντασματικό κόσμο" (φαντασματικός κόσμος). Το γεγονός ότι τα δύο φύλλα αποτελούν ένα σύνολο ξένο, μη συνεχόμενο, απαγορεύει σε οποιοδήποτε φωτόνιο από ένα φύλλο να περάσει στο άλλο.
...Ο "λειτουργικός" τρόπος ενός τέτοιου γεωμετρικού συστήματος είναι λιγότερο περίπλοκο από ό,τι φαίνεται.
...Το φύλλο F έχει τη δική του γεωμετρία, η οποία περιγράφεται πλήρως από μια "μετρική" g, από την οποία κατασκευάζουμε το σύστημα των γεωδαισιακών του. Από αυτή τη μετρική g μπορεί να κατασκευαστεί ένας γεωμετρικός τανυστής S και να ταυτιστεί με έναν τανυστή T, ο οποίος είναι "πηγή του πεδίου", η αιτία αυτής της καμπυλότητας, γράφοντας την εξίσωση του Einstein:
S = c T ** **
Η γεωμετρία του δεύτερου φύλλου, η οποία έχει αντίστροφη αριθμητική καμπυλότητα, αντιστοιχεί σε μια μετρική g*, από την οποία μπορεί να κατασκευαστεί ένας γεωμετρικός τανυστής S*. Η αντιστροφή της καμπυλότητας προκύπτει απλά από:
S* = - **S = **- c T
...Αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι g* = -** g** . Οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές. Η μετρική g* παράγει επίσης γεωδαισιακές γραμμές.
...Ας θεωρήσουμε μια γεωδαισιακή του φύλλου F και να σχεδιάσουμε την καμπύλη που αντιστοιχεί στα συζυγή σημεία, στο άλλο φύλλο. Δεν είναι γεωδαισιακή αυτού.
Αντίστροφα:
...Σε αυτό το σημείο, πού βρισκόμαστε; *Έχουμε εξοπλίσει τον κόσμο (υποθέτουμε ότι είναι το φύλλο F, το δικό μας χωροχρόνο) με ένα αδελφό του. *Η ύπαρξη ύλης στον κόσμο μας (ο τανυστής T) καθορίζει τη γεωμετρία του, αλλά καθορίζει επίσης και τη γεωμετρία του αδελφού του. Υποθέτουμε ότι ο κόσμος μας περιέχει μόνο θετικές μάζες και, γενικότερα, σωματίδια που διαθέτουν θετικές ενέργειες. Δεν εξετάζουμε την πιθανότητα ύπαρξης αρνητικών μαζών στο φύλλο χωροχρόνου μας. Ο τανυστής T είναι επομένως είτε θετικός, εκεί που υπάρχει ενέργεια-ύλη, είτε μηδενικός, εκεί που υπάρχει κενό. Έτσι η τοπική καμπυλότητα του F είναι είτε μηδενική, είτε θετική, αλλά δεν μπορεί να είναι αρνητική.
...Αντίθετα, η καμπυλότητα του φύλλου F* (θα την ονομάσουμε τότε επαγόμενη καμπυλότητα) είναι είτε μηδενική, είτε αρνητική.
...Αν υπάρχουν σωματίδια σε αυτό το φύλλο, υποθέτουμε ότι ακολουθούν επίσης γεωδαισιακές γραμμές αυτού. Τι παρατηρούμε όταν κοιτάξουμε την παραπάνω εικόνα; Το γκρι αντικείμενο, αυτή η μάζα που υπάρχει στον κόσμο μας, στο φύλλο F, συμπεριφέρεται ως ένα αντικείμενο απωθητικό (βλέπε την καμπυλότητα της γεωδαισιακής πορείας) στο φύλλο F*.
...Έχουμε κατασκευάσει μια ακριβή μαθηματική λύση που αντιστοιχεί σε αυτό το ζεύγος "μετρικών συζυγών" (g, g*). [Δείτε στο ιστότοπο: έγγραφο Geometrical Physics B], . Η λύση g είναι ίδια με αυτή που ονομάσαμε τις εξωτερικές μετρικές Schwarzschild (στο εξωτερικό του αστέρα) και εσωτερικές (στον ίδιο αστέρα). Προτείνουμε να ονομάσουμε τη δεύτερη μετρική "Anti-Schwarzschild". [Δείτε στο ιστότοπο: Geometrical Physics A,* 7, το έγγραφο 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. *]
Με "φαντασματική ύλη".
Σε αυτή την προσέγγιση των συζυγών γεωμετριών, μπορούμε να αντιστρέψουμε την κατάσταση και να υποθέσουμε ότι μια μάζα (θετική) υπάρχει κάπου στο φύλλο F*. Αυτή δημιουργεί τότε μια θετική καμπυλότητα και η διδακτική εικόνα 2d αυτής της γεωμετρίας αντιστοιχεί στον κώνο που έχει χάσει την οξύτητά του, σε μια λύση Schwarzschild, αλλά στο φύλλο F*.
...Ίδια παρατήρηση για τον τρόπο με τον οποίο οι παρατηρητές από διαφορετικά φύλλα αντιλαμβάνονται το αποτέλεσμα αυτής της μάζας σε ένα σωματίδιο-μάρτυρα που κινείται στο δικό τους κόσμο.
...Η μελέτη του παραπάνω σχήματος μας επιτρέπει να αποκαλύψουμε τους νόμους αλληλεπίδρασης μεταξύ της ύλης και της φαντασματικής ύλης (ghost-matter), που βρίσκεται στο δεύτερο κόσμο, το ghost universe.
-
Δύο σωματίδια ύλης τα έλκουν.
-
Δύο σωματίδια φαντασματικής ύλης τα έλκουν.
-
Η ύλη και η φαντασματική ύλη τα απωθούν.
...Φαίνεται ότι διαφέρει από το σχήμα που προτείνει ο Souriau, σύμφωνα με το οποίο τα σωματίδια της δεύτερης κατηγορίας, όχι μόνο απωθούνται από εκείνα που αποτελούν την ύλη μας, αλλά και απωθούνται μεταξύ τους.
...Η δεύτερη γεωμετρία αντιστοιχεί στην παρουσία θετικών μαζών m*, στο φύλλο F*. Μπορούμε να ορίσουμε μια πυκνότητα ύλης r* > 0 (ή πιο ακριβώς από ghost energy-matter, καθώς το δεύτερο φύλλο, το ghost universe, περιλαμβάνει επίσης "ακτινοβολία φαντάσματος", φωτόνια φαντάσματος και νετρίνα φαντάσματος). Η ενέργεια των ghost σωματιδίων είναι θετική, όπως και η πίεση p*.
...Από αυτές τις ποσότητες μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν τανυστή ενέργειας-ύλης φαντάσματος T* (ο γενικότερος τανυστής ενέργειας-ύλης είναι λίγο περισσότερο από αυτό, αλλά αυτή η σχηματική περιγραφή επαρκεί "για τις συνηθισμένες ανάγκες").
Η εξίσωση πεδίου που δίνει τη γεωμετρία στο φύλλο F* είναι:
S* = c T*
** *Η που δίνει τη γεωμετρία του F είναι:
S = -** c T ** **
...Αυτές είναι οι δύο εξισώσεις της προηγούμενης περιόδου, αντιστραμμένες. Στο φύλλο F η γεωμετρία είναι επαγόμενη, στο νόημα ότι δημιουργείται από την ύλη M που βρίσκεται στο F* και επομένως είναι αόρατη από το φύλλο F.
...Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε ότι τα δύο φύλλα είναι πληθυσμένα από τη δική τους ύλη, με πυκνότητες r και r*.
Οι συζυγείς μετρικές προκύπτουν τότε από το σύστημα των εξισώσεων:
S = c (T - T*)
*S = *c (T - T)
που δίνει πράγματι τις αντίστροφες καμπυλότητες:
R* = - R
Ένας τέτοιος κόσμος μπορεί να παρουσιάσει, στα φύλλα του, οποιαδήποτε καμπυλότητα, θετική, αρνητική ή μηδενική.
Αν η καμπυλότητα είναι τοπικά θετική στο φύλλο F, τότε:
**T *> T
ή: r > r *
είναι τότε αρνητική στη γειτονική περιοχή, συζυγή, του φύλλου F*.
Αν η καμπυλότητα είναι τοπικά αρνητική στο φύλλο F, τότε:
T < T*
ή: r < r *
είναι τότε θετική στη γειτονική περιοχή, συζυγή, του φύλλου F*.
Αν η καμπυλότητα είναι μηδενι