| 3 |
Η καμπύλωση (θετική).
...Όταν σχεδιάζαμε το τρίγωνό μας,
αποτελούμενο από γεωδαισιακές γραμμές, σε ένα επίπεδο, το άθροισμα
των γωνιών στις κορυφές του ίσονταν με p.
Ένα επίπεδο... είναι μια επίπεδη επιφάνεια, «μη καμπύλη», ευκλείδεια. Το άθροισμα
των γωνιών αυτού του τριγώνου είναι λοιπόν το ευκλείδειο άθροισμα. Στην προηγούμενη
πειραματική διαδικασία είδαμε ότι αν ένα τρίγωνο δεν περιείχε την
κορυφή του κώνου μας, το άθροισμα παρέμενε ευκλείδειο. Αντίθετα, όταν το
τρίγωνο περιέχει την κορυφή S, τότε αυτό το άθροισμα παρουσιάζει μια υπέρβαση
q, ανεξαρτήτως του
τριγώνου, αρκεί να περιέχει αυτό το σημείο. Θα λέγαμε ότι η κορυφή του
κώνου είναι ένα σημείο συγκεντρωμένης καμπύλωσης.
...Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε σε άλλες
πειραματικές διαδικασίες. Αφού κατασκευάσουμε δύο κώνους, με
αποκοπές q1 και
q2, μπορούμε
να κολλήσουμε αυτά τα δύο στοιχεία επιφάνειας το ένα στο άλλο.
...Μια πιο απλή μέθοδος
είναι να πραγματοποιήσουμε δύο αποκοπές σε ένα φύλλο χαρτονιού
και να κατασκευάσουμε την ακόλουθη επιφάνεια:
Θα μπορείτε τότε να σχεδιάσετε σε αυτή την επιφάνεια όσα γεωδαισιακά τρίγωνα
θέλετε:
-
Που δεν περικλείουν ούτε το S1 ούτε το S2: Άθροισμα γωνιών: p
-
Που περικλείουν μόνο το S1: Άθροισμα γωνιών p
- q1
- Που περικλείουν μόνο το S2: Άθροισμα γωνιών: p
- q2
- Που περικλείουν και τα δύο σημεία S1 και S2: Άθροισμα γωνιών
: p + q1+
q2
...Εύκολα μπορεί κανείς να φανταστεί ότι θα μπορούσε να κατασκευάσει
μεγάλο αριθμό μικρών «θετικών» κώνων με γωνία Dq
μικρή και να τους κολλήσει τον έναν πάνω στον άλλον. Θα μπορούσε
μάλιστα να φροντίσει ώστε να υπάρχει μια σταθερή πυκνότητα καμπύλωσης
ανά μονάδα επιφάνειας, εξισώνοντας αυτή την καμπύλωση με
το άθροισμα των Dq που σχετίζονται
με κάθε κορυφή αυτών των μικρών «θετικών» κώνων.
...Κάνοντας αυτούς τους μικρούς «θετικούς» κώνους όλο και
μικρότερους (όπως και τη στοιχειώδη γωνία Dq
που τους αντιστοιχεί), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό για να κατασκευάσουμε
ένα τμήμα επιφάνειας με σταθερή πυκνότητα καμπύλωσης.
Η σφαίρα είναι μια επιφάνεια με σταθερή πυκνότητα καμπύλωσης.
Θα λέγαμε πιο απλά με σταθερή τοπική καμπύλωση.
Ένα αυγό είναι μια καμπύλη επιφάνεια, με μεταβλητή πυκνότητα καμπύλωσης. Θα λέγαμε πιο απλά με μεταβλητή τοπική καμπύλωση.
...Η Γενική Σχετικότητα
συνίσταται στην ταύτιση της πυκνότητας μάζας r
με την τοπική καμπύλωση. Φυσικά, η Γενική Σχετικότητα
δεν ασχολείται με δισδιάστατες επιφάνειες, ούτε even με τρισδιάστατες, αλλά με
υπερεπιφάνειες τεσσάρων διαστάσεων. Δεν πρέπει λοιπόν να ζητάμε
πολύ από τα παραπάνω και δεν πρέπει να θεωρούμε αυτά τα σχήματα παρά ως διδακτικές
εικόνες, προορισμένες να σταθεροποιούν
τις ιδέες. Αλλά δεν είναι και τόσο κακές.
Διδακτική 2D εικόνα ενός άστρου.
Ένα άστρο, όπως ο ήλιος, είναι μια συγκέντρωση ύλης, περιβαλλόμενη, αν όχι
από κενό, τουλάχιστον από σχεδόν κενό (άρα από μια περιοχή με πολύ
ασθενή καμπύλωση). Σε δύο διαστάσεις η διδακτική εικόνα θα είναι αυτή ενός
αμβλυμένου κώνου.
...Ένας αμβλυμένος κώνος κατασκευάζεται
με τη βοήθεια δύο στοιχείων: μια σφαιρική καπό,
με σταθερή καμπύλωση (ή με «σταθερή πυκνότητα καμπύλωσης»)
και ένα τμήμα κώνου. Αυτό το τμήμα κώνου είναι «επίπεδο», η πυκνότητα
καμπύλωσης του είναι μηδέν. Είναι μια ευκλείδεια επιφάνεια. Είναι η διδακτική
2D εικόνα ενός άστρου με σταθερή πυκνότητα μάζας r.
...Θα μπορούσε κανείς, παρεμπιπτόντως, να αναρωτηθεί πώς
να συνδέσει τέλεια ένα τμήμα κώνου και μια σφαιρική καπό,
ώστε το εφαπτόμενο επίπεδο να είναι συνεχές.
...Είναι απλό. Το τμήμα κώνου κατασκευάζεται
από έναν κώνο, ο οποίος συνεπάγει την αποκοπή μιας γωνίας
q. Η σφαιρική καπό
περιέχει μια ορισμένη «ποσότητα καμπύλωσης», που είναι επίσης μια γωνία.
Αυτή είναι το άθροισμα όλων των γωνιών των μικρών «θετικών» κώνων που την αποτελούν.
Πρέπει αυτές οι δύο γωνίες να είναι ίσες.
Αλλά πώς να εκτιμήσουμε την ποσότητα καμπύλωσης που περιέχεται σε μια
δεδομένη σφαιρική καπό;
...
Περιεχόμενα
άρθρου Περιεχόμενα
Επιστήμης Αρχική
Σελίδα
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη
σελίδα
Επιστροφή στο
Οδηγό-Επιστήμης Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004
: