| 4 |
Ολική καμπυλότητα.
...Μπορούμε να κατασκευάσουμε μια σφαίρα συνδυάζοντας μίνι ποζικόνια. Αλλά κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, αυτή η επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα (ή πυκνότητα καμπυλότητας ή τοπική καμπυλότητα) θα κλείσει. Περιέχει επομένως μια ορισμένη καμπυλότητα, αλλά ποια;
...Αν σχεδιάσω ένα γεωδαιτικό τρίγωνο πάνω σε μια σφαίρα, θα περικλείσει έναν ορισμένο αριθμό μίνι ποζικόνιων, μια ορισμένη "ποσότητα καμπυλότητας", που είναι μια γωνία. Αυτή θα είναι απλώς ανάλογη με το εμβαδόν του τριγώνου, ή ακριβέστερα με τον λόγο μεταξύ του εμβαδού s του τριγώνου και του εμβαδού S της σφαίρας.
...Αλλά είδαμε, παραπάνω, ότι όταν σχεδιάζαμε ένα γεωδαιτικό τρίγωνο πάνω σε μια επιφάνεια κατασκευασμένη από ενωμένα ποζικόνια, η απόκλιση από το ευκλείδειο άθροισμα ήταν ίση με το άθροισμα των συγκεντρωμένων καμπυλοτήτων που συνδέονται με κάθε κορυφή κώνων που περιέχονται στο τρίγωνό μας. Αρκεί επομένως να μετρήσουμε το άθροισμα των γωνιών a, b, g του παραπάνω τριγώνου, που κατασκευάζεται από τρία γεωδαιτικά τόξα σφαίρας, για να λάβουμε ένα μέτρο της ποσότητας γωνιακής καμπυλότητας που περιέχεται σε αυτό το τρίγωνο. Οι γεωδαισιακές της σφαίρας είναι οι "μέγιστοι κύκλοι" της.
...Ας κόψουμε τη σφαίρα μας σε οκτώ ίσα τμήματα. Θα λάβουμε οκτώ τρίγωνα που σχηματίζονται από γεωδαιτικά τόξα, των οποίων οι τρεις γωνίες θα είναι ορθές.
...Καθένα από αυτά τα τρίγωνα περιέχει επομένως καμπυλότητα ίση με π/2. Καθώς υπάρχουν οκτώ, η ολική καμπυλότητα της σφαίρας ισούται επομένως με 4π.
...Αυτή η μικρή παρατήρηση για να δείξουμε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά αποτελέσματα με εξαιρετικά απλούς συλλογισμούς.
...Επιστρέφοντας στο θέμα του αμβλέος κώνου, βλέπουμε ότι η πλευρά του αντικειμένου εξαρτάται από την ποσότητα καμπυλότητας που "περιέχεται στο εσωτερικό", αυτή η καμπυλότητα μπορεί να είναι σημειακή (κωνικό σημείο) ή κατανεμημένη σε ένα σφαιρικό κάλυμμα. Μπορούμε να κάνουμε το κάλυμμα να τείνει προς ένα σημείο, μειώνοντάς το ομοιοθετικά (με τέτοιο τρόπο ώστε να περιέχει πάντα την ίδια "ποσότητα καμπυλότητας").
Τροχιές.
...Στη Γενική Σχετικότητα η βασική ιδέα είναι απλή: να εξομοιώσουμε τις τροχιές των αντικειμένων, των σωματιδίων, των φωτονίων ή της ύλης με γεωδαισιακές. Φυσικά, πρόκειται για γεωδαισιακές μιας υπερεπιφάνειας τεσσάρων διαστάσεων. Επομένως και εδώ έχουμε μόνο διδακτικές εικόνες.
Αν πάρουμε τον αμβλύ κώνο μας, μπορούμε να σχεδιάσουμε πάνω του γεωδαισιακές και να τις προβάλουμε σε ένα επίπεδο.
...Όλα τα σωματίδια ακολουθούν γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας: τα σωματίδια ύλης, αλλά και τα φωτόνια και τα νετρίνα. Γι' αυτό διασκεδάσαμε απεικονίζοντας μια γεωδαισιακή που διασχίζει το αντικείμενο εντελώς. Ένα νετρίνο μπορεί να διασχίσει τον ήλιο χωρίς πρόβλημα.
...Αλλά τι είναι αυτό το επίπεδο πάνω στο οποίο προβάλλουμε αυτές τις γεωδαισιακές; Είναι ο τρόπος με τον οποίο αναπαριστούμε τον χώρο. Ο "νοητικός μας κόσμος" είναι εντελώς ευκλείδειος και η σκέψη μας "επίπεδη". Όταν βλέπουμε έναν κομήτη να περνά ξυστά από τον ήλιο, ποτέ δεν θα μας περνούσε από το μυαλό ότι στην πραγματικότητα πηγαίνει "ευθεία", δηλαδή ότι ακολουθεί μια γεωδαισιακή της υπερεπιφάνειας. Η αντίληψή μας για τον κόσμο είναι το σχήμα 24', όπου ένα άστρο "έλκει" τα αντικείμενα που περνούν κοντά του.
Sommaire
article Sommaire
Science Page
d'Accueil
Retour vers
Guide-Sciences Nombre de consultations de cette page depuis le 1° juillet 2004
: