| 6 |
Η σέλα του αλόγου.
...Μπορούμε (τουλάχιστον νοερά) να κατασκευάσουμε έναν μεγάλο αριθμό αρνητικών κώνων και να τους ενώσουμε μεταξύ τους. Αν οι κορυφές είναι κατανεμημένες κατά τρόπο σχεδόν κανονικό πάνω σε αυτή την επιφάνεια, θα κατασκευάσουμε ένα στοιχείο επιφάνειας με σταθερή πυκνότητα αρνητικής καμπυλότητας. Αλλά δεν θα είναι όπως με τη σφαίρα. Αυτή η επιφάνεια δεν θα κλείσει.
...Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κατασκευάσει ένα τμήμα επιφάνειας με σταθερή πυκνότητα αρνητικής καμπυλότητας (θα λέμε σταθερή αρνητική καμπυλότητα). Μπορούμε να πάρουμε ένα τυχαίο σημείο, ένα καρφί, ένα σπάγκο, και να σχεδιάσουμε ένα κυκλικό περίγραμμα, λαμβάνοντας αυτό που ονομάζεται σέλα αλόγου (επιφάνεια με σταθερή αρνητική καμπυλότητα).
Ο αμβλυμένος αρνητικός κώνος.
...Πιο πάνω, είχαμε κατασκευάσει έναν αμβλυμένο κώνο (έναν «αμβλυμένο θετικό κώνο») ξεκινώντας από ένα σφαιρικό τμήμα και περιβάλλοντάς το με ένα κολοβάσιο κώνου. Είχαμε μάλιστα βρει τον τρόπο να το κάνουμε ώστε να μην υπάρχει ασυνέχεια στο εφαπτόμενο επίπεδο. Πρέπει η γωνία που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του κώνου, από τον οποίο εξήχθη αυτό το κολοβάσιο του θετικού κώνου, να είναι ίση με την ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας που περιέχεται στο σφαιρικό τμήμα.
...Υπάρχει ένας τρόπος να μετρηθεί η ποσότητα γωνιακής (αρνητικής) καμπυλότητας που περιέχεται σε μια σέλα αλόγου, συγκρίνοντας την περίμετρο και την ακτίνα, μια διαδικασία που εκτελείται αρκετά σπάνια στα σέλες. Ας υποθέσουμε ότι την γνωρίζουμε. Μπορούμε να κατασκευάσουμε το κολοβάσιο του αρνητικού κώνου accordingly.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο αρνητικός κώνος είναι, όπως ο κώνος, μια αναπτύξιμη επιφάνεια. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να την «εφαρμοζούμε» σε ένα επίπεδο. Αλλά η διαδικασία φαίνεται πιο λεπτή. Δεν βλέπουμε εύκολα πώς θα μπορούσαμε να κυλήσουμε εύκολα έναν αρνητικό κώνο σε ένα ακαμπτό επίπεδο.
...Αντί για μια διαδικασία κύλισης, είναι προτιμότερο να envisage (να envisage) μια διαδικασία εφαρμογής, ή πιο παραστατικά, εκτύπωσης. Τι σημαίνει εκτύπωση; Είναι η εφαρμογή μιας επιφάνειας που φέρει ανάγλυφα με μελάνι, σε μια άλλη επιφάνεια.
...Στην εποχή του Γutenberg, εφαρμόζαμε ένα επίπεδο σε ένα άλλο επίπεδο. Όταν εκτυπώνουμε ένα μοτίβο σε ύφασμα, κυλάμε πάνω του έναν κύλινδρο. Κινούμε μια ταινία χαρτί μεταξύ δύο κυλίνδρων, σε μια περιστροφική μηχανή, και εκτυπώνουμε στο υπόστρωμα το ανάγλυφο μοτίβο που φέρει ένας από αυτούς.
...Τελικά, δεν έχει σημασία ο τρόπος με τον οποίο εφαρμόζουμε το φύλλο στη μήτρα, αρκεί αυτή να είναι μια αναπτύξιμη επιφάνεια. Αντί να κυλήσουμε έναν κώνο σε ένα ακαμπτό επίπεδο, θα μπορούσαμε equally ( equally) να εφαρμόσουμε το χαρτί στον κώνο, με το χέρι, πλησιάζοντας σταδιακά, αποφεύγοντας την ολίσθηση. Αν φέρουμε στον κώνο σημάδια σε ανάγλυφο, και αυτά, με μελάνι, εκτυπώνονται στο φύλλο, θα λάβαμε στο τέλος της διαδικασίας αυτό
...Θα μπορούσαμε να proceed (να proceed) με τον ίδιο τρόπο, εφαρμόζοντας ένα φύλλο χαρτί, ένα μαλακό αντικείμενο, σε έναν αρνητικό κώνο που φέρει ανάγλυφα με μελάνι. Θα λάβαμε τότε αυτό (έχοντας αναπαράγει στο φύλλο όλα τα μοτίβα).
Απλό παιχνίδι για να δείξει το γεγονός ότι ο αρνητικός κώνος είναι πράγματι μια αναπτύξιμη επιφάνεια.
Σε ένα τέτοιο αντικείμενο, όπως στον αμβλυμένο θετικό κώνο, μπορούμε να σχεδιάσουμε γεωδαιτικές, και μετά να τις προβάλλουμε σε ένα επίπεδο.
...Η επίπεδη προβολή μας δείχνει πώς θα αντιλαμβανόμαste (θα αντιλαμβανόμαste) τις τροχιές σύμφωνα με την ευκλείδεια όρασή μας για τον κόσμο. Το αντικείμενο ισοδύναμο με τη σέλα αλόγου μας θα παρήγαγε τροχιές του οποίου το σχήμα θα θύμιζε μια απωθητική βαρυτική δύναμη.
...Προτείνεται να ονομάσουμε αυτή την παράξενη επιφάνεια «αμβλυμένο αρνητικό κώνο». Δεν είναι παρά μια λέξη, αλλά πρέπει να βρεθεί μια. Είχαμε δει πιο πάνω ότι μπορούσαμε να περάσουμε συνεχώς από τον αμβλυμένο κώνο (θετικό κώνο) στον αιχμηρό κώνο, η αντίστροφη διαδικασία consisting (consisting) στο να αμβλύνουμε το αντικείμενο.
...Το ίδιο για το συνεχές πέρασμα από τον «αμβλυμένο αρνητικό κώνο» στον αρνητικό κώνο που φέρει ένα σημείο (αρνητικής) συγκεντρωμένης καμπυλότητας.
Περιεχόμενο άρθρου Περιεχόμενο Επιστήμης Αρχική Σελίδα
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα
Επιστροφή στον Οδηγό-Επιστήμες Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004