| 7 |
Συζυγείς γεωμετρίες.
...Θα συνδυάσουμε τότε έναν αμβλύ θετικό κώνο και έναν «αμβλύ αρνητικό κώνο», που φέρουν τις ίδιες ποσότητες καμπυλότητας, αλλά με αντίθετο πρόσημο: + q και - q.
Μπορούμε να τα βάλουμε πρόσωπο με πρόσωπο (δημιουργώντας στην πορεία μια «απεικόνιση σημείο προς σημείο»: αμφιμονοσήμαντη, ενετική). Υπάρχουν τότε δύο επιφάνειες. Ας τις ονομάσουμε F και F*. Σε κάθε σημείο της F αντιστοιχεί ένα σημείο της F*.
...Ας τα καταφέρουμε ώστε τα κυκλικά περιγράμματα των «αμβλέων τμημάτων», που φέρουν καμπυλότητα (θετική στη μία επιφάνεια, αρνητική στην άλλη), να αντιστοιχούν σημείο προς σημείο. Το απεικονίζουμε αυτό προβάλλοντας το σύνολο σε ένα επίπεδο. Παίρνουμε δύο επιφάνειες με συζυγείς καμπυλότητες.
...Οι κωνικές πλευρές είναι «μη καμπύλες», είναι στοιχεία ευκλείδειων επιφανειών. Θα πούμε ότι σε κάθε σημείο αυτών των επιφανειών η τοπική καμπυλότητα είναι μηδενική. Το σφαιρικό κάλυμμα και η σέλα του αλόγου αντιστοιχούν σημείο προς σημείο. Οι καμπυλότητές τους είναι αντίθετες.
Η Γενική Σχετικότητα.
...Το σημείο εκκίνησης είναι η ιδέα ότι η γεωμετρία του κόσμου καθορίζεται από το περιεχόμενό του σε «ενέργεια-ύλη». Σημειώνουμε ότι χρησιμοποιούμε τον όρο ενέργεια-ύλη και όχι μόνο ύλη, πράγμα που δείχνει σαφώς ότι κάθε κοσμικό περιεχόμενο έχει επίδραση στη γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένης της ακτινοβολίας, των φωτονίων (ή των νετρίνων). Είδαμε παραπάνω ότι ένα φωτόνιο δημιουργούσε μια μίνι-καμπυλότητα θετική στον χώρο.
...Θα συλλογιστούμε πρώτα σε στατική κατάσταση. Μια επίπεδη, ελεύθερη επιφάνεια είναι μια επιφάνεια όπου η τάση είναι μηδενική. Μπορούμε να τροποποιήσουμε τη γεωμετρία της δημιουργώντας τάσεις, θετικές ή αρνητικές (το πρόσημο είναι ζήτημα συμβάσεων). Αν για παράδειγμα θερμάνω ένα πλαστικό φιλμ, θα μπορέσω να κάνω να εμφανιστεί μια φουσκάλα, δηλαδή μια περιοχή με θετική καμπυλότητα.
...Μπορώ επίσης να βάλω στην επιφάνεια ενός φύλλου χαρτιού ένα προϊόν που, στεγνώνοντας, θα συσταλεί. Η τάση θα κάνει να εμφανιστεί μια περιοχή με αρνητική καμπυλότητα.
...Ένας χαλκουργός-μορφοποιητής ξέρει να παίζει με αυτές τις τάσεις για να παραμορφώσει ένα έλασμα. Πάρτε για παράδειγμα έναν μεταλλικό σωλήνα. Θερμαίνω από τη μία πλευρά, ψύχω από την άλλη. Τι θα συμβεί;
Ο σωλήνας θα λυγίσει, το θερμαινόμενο μέρος διαστελλόμενο και το ψυχόμενο μέρος συστελλόμενο.
...Κάνοντας αυτό, δημιουργήσαμε τάσεις στο μέταλλο. Αυτή είναι η προέλευση της λέξης τανυστής, στα μαθηματικά και στη γεωμετρία. Ο ειδικός στην αντοχή υλικών θα μιλήσει για τανυστή των τάσεων. Ο γεωμέτρης θα μιλήσει για τανυστή καμπυλότητας.
Το μικρό πείραμα παραπάνω απεικονίζει την ιδέα:
Τοπικό περιεχόμενο σε ενέργεια -----> τοπική γεωμετρία
...Στη Γενική Σχετικότητα, κάνουμε το ίδιο. Η διαφορά είναι ότι αυτό το τοπικό περιεχόμενο σε ενέργεια-ύλη καθορίζει τη γεωμετρία μιας υπερεπιφάνειας τεσσάρων διαστάσεων και όχι, όπως εδώ, τη γεωμετρία μιας επιφάνειας δύο διαστάσεων. Αλλά η ιδέα είναι παρόμοια.
...Ο μαθηματικός θα χρησιμοποιήσει τότε μια τανυστική γραφή. Δεν μπορούμε να πούμε και πολλά περισσότερα εδώ για έναν μη μαθηματικό. Αλλά ο τανυστής του Αϊνστάιν S (θα χρησιμοποιήσουμε έντονα γράμματα) αντιστοιχεί στην πτυχή της γεωμετρίας. Στην εξίσωση του Αϊνστάιν τον ταυτίζουμε με έναν άλλο τανυστή T, που περιγράφει το περιεχόμενο σε ενέργεια-ύλη, κατά μία πολλαπλασιαστική σταθερά, τη «σταθερά του Αϊνστάιν c».
Η περίφημη εξίσωση του Αϊνστάιν γράφεται επομένως:
S = c T
...Στον τανυστή T υπεισέρχονται η πυκνότητα μάζας r και η πίεση p (στην πραγματικότητα ο πιο γενικός τανυστής T είναι πιο πολύπλοκος, αλλά θα αρκεστούμε σε αυτή την έκφραση, άλλωστε συνήθη). Σε μια στατική διαμόρφωση θα δοθεί επομένως μια ορισμένη κατανομή πυκνότητας και πίεσης r (x,y,z), p (x,y,z). Με αυτό ξέρουμε να κατασκευάσουμε τον τανυστή T που περιέχει έτσι όλα τα δεδομένα του προβλήματος. Το ερώτημα είναι τότε: «ποια είναι η γεωμετρία που ταιριάζει με αυτόν τον τανυστή T, ικανοποιώντας την παραπάνω εξίσωση;».
...Με άλλα λόγια, ο φυσικός, γνωρίζοντας το τοπικό περιεχόμενο του σύμπαντος, επιζητεί να προσδιορίσει τη γεωμετρία της υπερεπιφάνειας του σύμπαντος.
Το να λες γεωμετρία σημαίνει γεωδαισιακές. Εδώ υπεισέρχεται η δεύτερη υπόθεση της Γενικής Σχετικότητας:
Υποθέτουμε ότι τα αντικείμενα που κινούνται μέσα στο σύμπαν
ακολουθούν γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας χώρος-χρόνος.
Ως αντικείμενο θα εννοούμε σωματίδια (λεγόμενα στοιχειώδη σωματίδια, φωτόνια, νετρίνα) αλλά και πλανήτες, αστέρια, κ.λπ....
Σε αυτό το σημείο, μια παρατήρηση: πού είναι τα σωματίδια σε όλη αυτή την υπόθεση;
...Απάντηση: ο ειδικός στη Γενική Σχετικότητα ασχολείται με το μακροσκοπικό. Οι συναρτήσεις-είσοδοι του προβλήματος, η πυκνότητα μάζας r και η πίεση p, αντιστοιχούν σε μια μακροσκοπική περιγραφή του κοσμικού περιεχομένου. Το ίδιο και για την «έξοδο». Και ο γεωμέτρης προσθέτει:
- Μου δώσατε συναρτήσεις r (x,y,z) και p (x,y,z), σας κατασκεύασα την υπερεπιφάνεια που ταίριαζε, με τις οικογένειες γεωδαισιακών της. Αλλά δεν μπορώ να κάνω περισσότερα. Είμαι ειδικότερα ανίκανος να σας κατασκευάσω σωματίδια, άτομα, κ.λπ. Για αυτό, δείτε άλλο τμήμα...
Με άλλα λόγια: η γέφυρα μεταξύ της Γενικής Σχετικότητας και της φυσικής των σωματιδίων δεν έχει ακόμη χτιστεί.
Αλλά ο αστρονόμος θα αναφωνήσει:
- Δεν έχει σημασία. Αυτή η υπόθεση σύμφωνα με την οποία τα φωτόνια ακολουθούν ορισμένες γεωδαισιακές αυτής της υπερεπιφάνειας λειτουργεί. Η απόδειξη: μπορώ να κάνω παρατηρήσεις. Αν υποθέσω ότι οι πλανήτες, εξομοιωμένοι με σημειακές μάζες, ακολουθούν επίσης γεωδαισιακές αυτής της υπερεπιφάνειας, μπορώ να κατασκευάσω τις τροχιές τους. Υπάρχουν επίσης τα φαινόμενα βαρυτικού φακού....
Έχει δίκιο.
...Ας πούμε δυο λόγια για αυτά τα φαινόμενα βαρυτικού φακού. Φυσικά, αυτή η εικόνα του αμβλέος κώνου είναι μόνο μια διδακτική εικόνα. Ένας πλανήτης που περιφέρεται κυκλικά γύρω από ένα αστέρι ακολουθεί επίσης μια γεωδαισιακή του χωρόχρονου. Ωστόσο, ένας κύκλος σχεδιασμένος σε έναν αμβλύ κώνο δεν είναι γεωδαισιακή:
Αυτό δείχνει απλώς τα όρια των διδακτικών εικόνων, ακόμη κι αν είναι γεωμετρικές.
...Τα φωτόνια ακολουθούν πράγματι γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας χώρος-χρόνος. Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την εικόνα του αμβλέος κώνου για να το απεικονίσουμε. Οι φωτεινές ακτίνες μπορούν να περάσουν από τη μία ή την άλλη πλευρά ενός ογκώδους αντικειμένου και στη συνέχεια να συγκλίνουν προς τον παρατηρητή. Αν προβάλουμε αυτές τις γεωδαισιακές, θα πάρουμε ένα φαινόμενο αντικατοπτρισμού: ο παρατηρητής θα έχει την εντύπωση ότι υπάρχουν δύο πηγές αντί για μία:
Περιεχόμενα άρθρου Περιεχόμενα Επιστήμης Αρχική σελίδα
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα
Επιστροφή στον Οδηγό-Επιστήμες
Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004: