| 9 |
Αντίθετα, θα υπάρξουν
πραγματικές γεωμετρικές ιδιομορφίες:
Κ.λπ....
..Παρεμπιπτόντως, η πτυχή είναι μια ιδιαίτερη περιοχή της επιφάνειας που
περιέχει γραμμική καμπυλότητα, αρνητική στα αριστερά,
θετική στα δεξιά. Επίτηδες κατασκευάστηκαν αυτές οι δύο επιφάνειες
με σφαιρικά καλύμματα. Το τελικό αντικείμενο έχει την τοπολογία της σφαίρας.
Έχει επομένως συνολική καμπυλότητα ίση με 4π
. Ας υποθέσουμε ότι το αριστερό αντικείμενο κατασκευάστηκε με
δύο φορές τρία τέταρτα σφαίρας (ξεκινώντας από σφαίρες ίδιας
ακτίνας). Αυτά τα συστατικά αντιστοιχούν επομένως το καθένα σε καμπυλότητα
3π. Σύνολο 6π. Γνωρίζουμε λοιπόν αμέσως
πόση καμπυλότητα (αρνητική) περιέχει η πτυχή: - 2π
. Αυτή είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη κατά μήκος της κυκλικής πτυχής.
Γνωρίζουμε επομένως να υπολογίζουμε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ABC. Μετρώντας το
εμβαδόν του γνωρίζουμε πρώτα την ποσότητα καμπυλότητας (γωνιακής)
που περιέχει. Είναι:
Πρέπει να αφαιρέσουμε την
ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται στο τόξο mn. Είναι:
Ο φακός έχει επίσης την
τοπολογία της σφαίρας. Άρα η πτυχή περιέχει γραμμική καμπυλότητα
θετική ίση με 2π.
...Μπορούμε
επίσης να υπολογίσουμε το άθροισμα των γωνιών του παράξενου τριγώνου ABC,
που αποτελείται από τρεις γεωδαισιακές γραμμές. Οι γεωδαισιακές
διασχίζουν άνετα τις πτυχές. Δεν έχετε παρά να κάνετε το πείραμα
με την κολλητική σας ταινία.
Το τόξο mn περιέχει τη
γραμμική καμπυλότητα: Ας υποθέσουμε
ότι το είδος φακού που υποδείχθηκε παραπάνω είχε
κατασκευαστεί με δύο τέταρτα σφαίρας, πανομοιότυπα. Το καθένα περιέχει
καμπυλότητα ίση με π. Επομένως, στην
επιφάνεια (χωρίς την πτυχή) περιέχεται η καμπυλότητα 2π
.
...Συνυπολογίζοντας τη γωνιακή καμπυλότητα που περιέχεται στο τρίγωνο ABC και στο
τόξο-πτυχή μπορούμε να γνωρίζουμε την απόκλιση, θετική, από το
ευκλείδειο άθροισμα π.
Βλέπουμε ότι μπορούμε αρκετά
εύκολα να παίζουμε με αυτά τα προβλήματα καμπυλότητας, για τις επιφάνειες.
...Μια
επιφάνεια μπορεί να περιλαμβάνει μεμονωμένα σημεία ή πτυχές. Σε αυτή την περίπτωση πρόκειται
για πραγματικά γεωμετρικές, εγγενείς ιδιομορφίες,
και όχι προερχόμενες από επιλογή συντεταγμένων.
...Παρεμπιπτόντως σημειώνουμε ότι αυτή η γραμμική καμπυλότητα θα μπορούσε να κατανεμηθεί
σε ένα τμήμα επιφάνειας. Για παράδειγμα, για το αριστερό σχήμα, θα λαμβάναμε:
...Είναι
η διαδικασία ανάλογη με εκείνη που είχε παρουσιαστεί
παραπάνω, όπου η καμπυλότητα συγκεντρωμένη στην κορυφή ενός κώνου
είχε κατανεμηθεί σε ένα σφαιρικό κάλυμμα
(αμβλύς κώνος). Αν
τα δύο σφαιρικά καλύμματα που αποτελούν την παραπάνω επιφάνεια αντιπροσωπεύουν
για παράδειγμα το καθένα δύο τρίτα σφαίρας, δηλαδή καμπυλότητα
Η γκριζαρισμένη επιφάνεια
θα περιέχει αρνητική καμπυλότητα C, ομοιόμορφα κατανεμημένη,
τέτοια ώστε:
Περιεχόμενα
άρθρου Περιεχόμενα
Επιστήμης Αρχική
σελίδα
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη
σελίδα
Επιστροφή στον
Οδηγό-Επιστήμες Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004
: