| 10 |
Χώρος αναπαράστασης.
...Είχαμε δει ότι ένας κύλινδρος ήταν μια αναπτυσσόμενη επιφάνεια. Πάρτε τώρα ένα φύλλο χαρτιού. Είναι μια επίπεδη, ευκλείδεια επιφάνεια. Οι γεωδαισιακές της είναι ευθείες. Σχεδιάστε μερικές ευθείες πάνω σε αυτό το φύλλο και μετά τσαλακώστε το.
...Αν μπορούσατε να ακαμψοποιήσετε αυτή την τσαλακωμένη επίπεδη επιφάνεια, θα αντιλαμβανόσασταν ότι αυτή η πράξη δεν μετέβαλε καθόλου την κατανομή των γεωδαισιακών της, τις οποίες θα μπορούσατε να ξανασχεδιάσετε με την κολλητική σας ταινία. Απλώς παίξατε με τον τρόπο αναπαράστασης αυτού του επιπέδου στον τρισδιάστατο χώρο εμβύθισής του.
Ένας λιγότερο περίπλοκος τρόπος είναι να μετατρέψετε μια λαμαρίνα σε... κυματιστή λαμαρίνα:
Γεωδαισιακές: αμετάβλητες.
...Τα γεωμετρικά αντικείμενα υπάρχουν ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο τα αναπαριστούμε, ανεξάρτητα από τον χώρο αναπαράστασής τους.
...Υποτίθεται ότι κατοικούμε σε μια «τετραδιάστατη υπερεπιφάνεια»: τον χωρόχρονο. Η Γενική Σχετικότητα συνίσταται στην προσπάθεια να κατασκευάσουμε τη γεωμετρία του, ως λύση μιας εξίσωσης πεδίου, και έπειτα να «διαβάσουμε» αυτή τη γεωμετρία, αναλύοντας τις γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας. Είναι προφανές ότι τότε δεν τίθεται πλέον ζήτημα χώρου αναπαράστασης. Για να γίνει αυτό θα έπρεπε να διαθέτουμε όραση σε πέντε διαστάσεις, την οποία δεν έχουμε.
...Στην πράξη, χρησιμοποιούμε συντεταγμένες που είναι εκείνες του ευκλείδειου χώρου προβολής. Ας φανταστούμε ότι αναζητούμε μια γεωμετρική λύση κατάλληλη να περιγράψει τον χωρόχρονο στη γειτονιά ενός σώματος με μάζα και στο εσωτερικό του. Θα υποθέσουμε ότι το σύστημα έχει σφαιρική συμμετρία. Επιπλέον θα υποθέσουμε ότι αυτό το σύστημα είναι στάσιμο (ή σχεδόν στάσιμο).
...Θα χρησιμοποιήσουμε τότε σφαιρικές συντεταγμένες (r, q, j). Σε δύο διαστάσεις, θα έχουμε μόνο δύο και η συμμετρία μας θα είναι κυκλική. Θα χρησιμοποιήσουμε τότε το σύστημα πολικών συντεταγμένων του επιπέδου:
...Αυτό το μοντέλο του αμβλυμένου σώματος είναι μια δισδιάστατη διδακτική εικόνα μιας στάσιμης λύσης που υπάρχει πράγματι στη Γενική Σχετικότητα και που την επινόησε ο Αυστριακός Schwarzschild, το 1917, ως ειδική λύση της «εξίσωσης του Einstein»:
S = c T
που έχει ήδη παρουσιαστεί παραπάνω. Αυτή η λύση είναι έξυπνη και λεπτή. Από πλευράς υπολογισμών, δεν είναι απλή στην κατασκευή. Αυτή η διευκρίνιση γίνεται για να προσπαθήσουμε να διαλύσουμε έναν μύθο: εκείνον ενός Einstein, ιδιοφυΐας απομονωμένης στον κόσμο της εποχής του, γεμάτου αγράμματους.
...Από αυτή τη λύση δείχνεται τότε ότι υπάρχουν, γύρω από μια μάζα που έχει σφαιρική συμμετρία, επίπεδες γεωδαισιακές, που βρίσκονται σε επίπεδα, και ξέρουμε να υπολογίζουμε τη μορφή τους: r = f (q). Αυτές οι τροχιές (ή τουλάχιστον η προβολή τους στον νοητό μας ευκλείδειο χώρο αναπαράστασης) είναι «σχεδόν Κεπλεριανές» και οι νόμοι του Kepler εμφανίζονται τότε ως μια προσέγγιση, όταν η μάζα που δημιουργεί αυτή τη γεωμετρία (στην νευτώνεια αντίληψη, αυτή η «δύναμη») παραμένει μετριοπαθής, δηλαδή όταν η τοπική καμπυλότητα, μέσα σε αυτή τη μάζα, παραμένει ασθενής.
...Αυτή η λύση είναι ένας από τους άξονες της Γενικής Σχετικότητας και, αν και δεν μπορεί να αναφερθεί με απλές διδακτικές εικόνες όπως αυτές που προσφέρουμε στον αναγνώστη, είναι εκείνη που επιτρέπει να προβλεφθεί και να υπολογιστεί για παράδειγμα η μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή. Ο Einstein χρησιμοποίησε αυτή τη λύση για να εξηγήσει αυτό το ήδη γνωστό φαινόμενο και απέσπασε ταυτόχρονα όλες τις δάφνες αυτού που έκτοτε ονομάστηκε «η θεωρία του Einstein». Γιατί ο Schwarzschild δεν αξιοποίησε ο ίδιος την ανακάλυψή του; Επειδή επέμενε απόλυτα να καταταγεί και να φύγει για τα χαρακώματα, όπου δηλητηριάστηκε από αέριο και πέθανε λίγο αργότερα.
...Εξάλλου δεν είναι και πολύ βέβαιο ότι αυτή η περίφημη εξίσωση του Einstein είναι δική του. Προφανώς του την είχε υποδείξει ο μεγάλος μαθηματικός Hilbert. Ο Einstein επίσης δεν υποδέχτηκε με ενθουσιασμό την μεταγενέστερη ανακάλυψη του Ρώσου Friedmann, ο οποίος ανακάλυψε τη μη στάσιμη λύση της εξίσωσης πεδίου που επιτρέπει να περιγραφεί η εξέλιξη του σύμπαντος. Το ίδιο συνέβη, το 1921, με τις εργασίες του νεαρού μαθηματικού Kaluza, των οποίων οι εργασίες, ξαναανακαλυφθείσες, αποτελούν τώρα το σημείο εκκίνησης της θεωρίας των υπερχορδών. Αυτά τα πράγματα έχουν μικρό επιστημονικό ενδιαφέρον και δεν μειώνουν καθόλου την αξία του Einstein, αλλά δείχνουν ότι το αθλητικό πνεύμα δεν συμβαδίζει κατ' ανάγκη με την επιστημονική αξία ενός ατόμου.
Στη λύση που ανέπτυξε ο Schwarzschild, τεχνικά, ο χώρος είναι σε δύο μέρη. Στο εσωτερικό του άστρου η πυκνότητα ύλης r υποτίθεται σταθερή. Ο τανυστής ενέργειας-ύλης T, που εξαρτάται από αυτήν, είναι επίσης μη μηδενικός. Στο εξωτερικό τα r και T είναι μηδενικά.
...Αυτή η σύνθετη γεωμετρία είναι επομένως λύση δύο διαφορετικών εξισώσεων, με ή χωρίς δεύτερο μέλος. Η πυκνότητα ύλης παρουσιάζει μια ασυνέχεια στην επιφάνεια του άστρου (το ίδιο ισχύει και για το ζεύγος λύση Schwarzschild «εσωτερική» και λύση Schwarzschild «εξωτερική». Σε αυτή την περίπτωση το άστρο είναι μια σφαίρα σταθερής πυκνότητας και αυτή πέφτει απότομα στο μηδέν στην επιφάνεια του άστρου). Αλλά η συνέχεια των γεωδαισιακών μπορεί εντούτοις να εξασφαλιστεί, μέσω μαθηματικών συνθηκών των οποίων η εικόνα δόθηκε παραπάνω (σύνδεση κόλουρου κώνου-σφαιρικού καλύμματος).
...Όταν η μάζα γίνεται σημαντική και τα φαινόμενα καμπυλότητας έντονα, οι τροχιές αποκλίνουν τότε πιο καθαρά από το Κεπλεριανό μοντέλο, για παράδειγμα στη γειτονιά ενός αστέρα νετρονίων. Παρακάτω η μετάπτωση του περιηλίου γύρω από ένα τέτοιο άστρο (γύρω από τον ήλιο η ελλειπτική τροχιά του Ερμή προχωρά κατά 0,15 μοίρες ανά αιώνα).
...Ο τύπος και το πρόγραμμα που επιτρέπουν να υπολογιστούν αυτές οι τροχιές δεν έχουν εξάλλου τίποτα το περίπλοκο. Θα τα δώσουμε μια μέρα σε αυτόν τον ιστότοπο, για τους περίεργους.
...Αυτή τη στιγμή θέτουμε μερικά γεωμετρικά ορόσημα ενόψει μεταγενέστερων συζητήσεων, υπενθυμίζοντας παράλληλα ότι τα μοντέλα που υποδεικνύονται έχουν μόνο ενδεικτικό χαρακτήρα. .
Περιεχόμενα άρθρου Περιεχόμενα Επιστήμης Αρχική σελίδα
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα
Επιστροφή στον Οδηγό-Επιστήμες
Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004: