| 11 |
Πιθανά προβλήματα που θέτει μια επιλογή συντεταγμένων.
...Θα αναφερθούμε στους κινδύνους που ενέχει το να επιβάλλουμε ένα σύστημα συντεταγμένων σε μια γεωμετρική λύση, εκφράζοντας αυτή τη λύση σε αυτό το συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων: πρέπει όμως αυτό να είναι κατάλληλο. Όταν κοιτάμε την παραπάνω λύση, υποθέτοντας ότι αυτή η γεωμετρία είναι λύση μιας εξίσωσης πεδίου, η προσφυγή σε ένα σύστημα συντεταγμένων (r , q) προϋπέθετε ότι η τοπολογία ήταν «τοπικά σφαιρική», σε δύο διαστάσεις, φυσικά. Δηλαδή ότι στο εσωτερικό κάθε κύκλου «με κέντρο αυτό το υποθετικό γεωμετρικό κέντρο μπορούσε πάντα να εγγραφεί ένας μικρότερος κύκλος, μέχρι που αυτός ο κύκλος να γίνει ένα σημείο. Μαθηματικά θα λέγαμε ότι κάθε κύκλος ακτίνας r οριοθετεί ένα «συσταλτό κύτταρο».
...Σε 3d, τοπικά, το σύμπαν θα ήταν «σαν ρωσικές κούκλες». Στο εσωτερικό μιας σφαίρας θα μπορούσε πάντα να εγγραφεί μια σφαίρα μικρότερου εμβαδού. Σε 3d, πρόκειται για μια τοπικά σφαιρική τοπολογία.
Μπορεί να είναι διαφορετικά;
Ναι, αν η τοπολογία της επιφάνειας είναι «τοπικά τοροειδής». Σε 2d αυτό δίνει το εξής:
...Σημείωση: το αντικείμενο του παραπάνω σχήματος είναι μια επιφάνεια 2d με την έννοια ότι χρειάζονται δύο παράμετροι για να εντοπιστεί η θέση ενός σημείου πάνω της. Με αυτή την έννοια μια καμπύλη είναι μια «επιφάνεια μιας διάστασης». Όταν μιλάει για τον κύκλο, ο γεωμέτρης θα χρησιμοποιεί την έκφραση «σφαίρα S1», δηλαδή «σφαίρα μιας μόνο διάστασης»: χρειάζεται μόνο μία παράμετρος, η τετμημένη, για να εντοπιστεί ένα σημείο σε μια καμπύλη, ένα μονοδιάστατο αντικείμενο. Η σφαίρα S2, η «συνήθης» σφαίρα και ο κύκλος, η σφαίρα S1 έχουν κάτι κοινό: είναι «κλειστά» αντικείμενα (έννοια δανεισμένη τότε από την τοπολογία).
...Αυτός ο αριθμός ποσοτήτων που χρησιμεύει για να οριστεί η θέση ενός σημείου σε ένα χώρο είναι ακριβώς ο ορισμός της διάστασης αυτού του χώρου. Έτσι θα θεωρήσουμε τον χωρόχρονο (x,y,z,t) ως μια υπερεπιφάνεια τεσσάρων διαστάσεων, επειδή χρειάζονται τέσσερις ποσότητες για να οριστεί εκεί ένα σημείο, που λέγεται «γεγονός».
Τέλος αυτής της σημείωσης για την έννοια της διάστασης.
...Πρέπει να κρατήσουμε ένα πράγμα στο μυαλό μας. Ο γεωμέτρης που κατασκευάζει μια συγκεκριμένη λύση μιας εξίσωσης πεδίου είναι τυφλός, δεν μπορεί να δει το γεωμετρικό αντικείμενο που παίρνει. Μπορεί μόνο να το εξερευνήσει, μέσα από τις γεωδαισιακές του, περιγράφοντας αυτές σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Οι πολικές συντεταγμένες προ ολίγου αντιστοιχούσαν στην τομή της επιφάνειας από μια οικογένεια ομοαξονικών κυλίνδρων:
και από μια οικογένεια επιπέδων που διέρχονται από τον κοινό άξονά τους.
Σε 3d θα επρόκειτο για την τομή του χώρου από μια οικογένεια ομόκεντρων σφαιρών.
...Αλλά τι συμβαίνει αν κόψουμε την επιφάνεια που παρουσιάζει αυτού του είδους τον σωληνοειδή «λαιμό» με μια οικογένεια ομόκεντρων κυλίνδρων; Όσο οι κύλινδροι τέμνουν την επιφάνεια, εντάξει. Αλλά όταν η περίμετρός τους γίνει μικρότερη από εκείνη του «κύκλου λαιμού» αυτές οι τομές γίνονται ... φανταστικές καμπύλες. Έστω p η περίμετρος του κύκλου λαιμού. Τη συσχετίζουμε με ένα μήκος Rg τέτοιο ώστε p = 2 p Rg .
...Είναι σαφές ότι κάθε κύλινδρος της οικογένειας με r < Rg δεν τέμνει την επιφάνεια. Όταν ο γεωμέτρης ενδιαφερθεί για τη μορφή των γεωδαισιακών της επιφάνειας για r < Rg θα βρει φανταστικά γεωμετρικά αντικείμενα.
...Όταν αναζητούμε την τομή δύο σημείων με μια ευθεία, που αντιστοιχεί για παράδειγμα σε x = xo, βρίσκουμε δύο πραγματικές τιμές για το y, όταν η ευθεία τέμνει πράγματι τον κύκλο. Διαφορετικά αυτές οι τιμές είναι καθαρά φανταστικές.
...Αν ένας άνθρωπος, που εξερευνά μια επιφάνεια στο σκοτάδι, χωρίς να μπορεί να αντιληφθεί τη μορφή της, που αγνοεί ότι η τοπολογία της είναι τοπικά τοροειδής, μπορεί να μείνει εξαιρετικά αποθαρρυμένος.
Η επιφάνεια μπορεί να εντοπιστεί με τη βοήθεια δύο οικογενειών καμπυλών:
...Κάθε καμπύλη ορίζεται από μια παράμετρο. Ένα σημείο M, στην τομή αυτών των δύο καμπυλών, ορίζεται σαφώς από δύο ποσότητες (a,b), τις δύο τιμές των καμπυλών που διέρχονται από το M.
...Η πρώτη αποτελείται από κύκλους που δεν είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας (εκτός από τον κύκλο λαιμού), η δεύτερη από γεωδαισιακές, υπερβολικής μορφής, ορθογώνιες σε αυτούς τους κύκλους. Οι υπερβολικές καμπύλες θυμίζουν καταδυτικές τροχιές, που επιτρέπουν το πέρασμα από το ένα φύλλο στο άλλο.
Προφανώς μπορεί να έχουμε την ίδια κατάσταση για έναν 3d χώρο, τοπικά υπερτοροειδή. Οι κύκλοι θα αντικατασταθούν από μια οικογένεια σφαιρών, μεταξύ των οποίων θα βρούμε μια σφαίρα λαιμού, ελάχιστου εμβαδού. Οι γραμμές που αποτελούν τις ορθογώνιες τροχιές σε αυτή την οικογένεια σφαιρών αποτελούν καταδυτικές τροχιές που επιτρέπουν να περάσουμε από αυτό το υπερτοροειδές τούνελ και να εμφανιστούμε σε ένα άλλο 3d φύλλο (ή στρώμα).
...Αυτή η σημείωση δεν είναι άσκοπη. Θα έχουμε την ευκαιρία να επανέλθουμε σε αυτήν όταν εξετάσουμε το μοντέλο της μαύρης τρύπας. Πράγματι, σε αυτό το μοντέλο, όταν εισχωρούμε «στο εσωτερικό της σφαίρας ορίζοντα» η μάζα ενός σωματιδίου γίνεται... καθαρά φανταστική (αυτό και πολλά άλλα ακόμη). Έχουμε τότε το δικαίωμα να αναρωτηθούμε αν βρισκόμαστε ακόμη στην υπερεπιφάνεια χωρόχρονου. Η συγκεκριμένη επιλογή συντεταγμένων
(t , r , q
, j)
που συνεπάγεται μια τοπικά υπερσφαιρική τοπολογία (ύπαρξη μιας ακτινικής συντεταγμένης r, ικανής να λάβει τιμές μικρότερες από την ακτίνα της σφαίρας ορίζοντα, της σφαίρας Schwarzschild) θα ήταν άραγε εύστοχη;
Ένας γνωστός αστροφυσικός έγραφε, πριν από μερικά χρόνια:
- Γνωρίζουμε τώρα πολύ περισσότερα για το εσωτερικό των μαύρων τρυπών.
Αλλά οι μαύρες τρύπες, αν υπάρχουν, έχουν ένα εσωτερικό, ή αντιστοιχούν σε μια τοπικά υπερτοροειδή τοπολογία;
...Βλέπουμε όλα όσα μπορεί να προκαλέσει μια επιλογή συστήματος συντεταγμένων.
Η γεωμετρική λύση υπάρχει. Διαθέτει γεωδαισιακές.
Αλλά μπορούμε να «διαβάσουμε» όλα αυτά μόνο προβάλλοντάς τα στον νοητό μας χώρο αναπαράστασης: έναν ευκλείδειο χωρόχρονο, που δεν είναι καν σχετικιστικός. Το να επιλέγεις ένα σύστημα συντεταγμένων σημαίνει να επιλέγεις ένα σύστημα ανάγνωσης, ένα σύστημα προβολής.
...Όπως οι ήρωες του Πλάτωνα, μπορούμε μόνο να παρατηρούμε σκιές σε μια «ευκλείδεια οθόνη». Πρέπει όμως να επιλέξουμε τον σωστό φακό του «συστήματος προβολής».
...
Περιεχόμενα
άρθρου Περιεχόμενα
Επιστήμης Αρχική
σελίδα
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη
σελίδα
Επιστροφή στον
Οδηγό-Επιστήμες Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004
: