| 22 |
Το γεωμετρικό πλαίσιο.
...Μια σφαίρα είναι ένας χώρος διάστασης 2. Χρειάζονται δύο παράμετροι για να εντοπίσουμε ένα σημείο σε αυτήν. Είναι ένας χώρος που έχει τοπολογία (για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τη σημασία της λέξης τοπολογία, βλέπε το κόμικ μου Το Τοπολογικόν, Εκδ. Belin). Μια σφαίρα δεν έχει την ίδια τοπολογία, την ίδια «μορφή» με έναν τόρο. Η σφαίρα διαθέτει γεωδαισιακές. Μπορούμε να εγγράψουμε σε αυτήν μια διαδρομή που συνδέει δύο σημεία M1 και M2 και να μετρήσουμε το μήκος s που διανύεται. Αυτό το μήκος είναι ανεξάρτητο από τις συντεταγμένες που επιλέγονται για τον εντοπισμό των σημείων, όπως επίσης και οι γεωδαισιακές καμπύλες που κατοικούν την επιφάνεια.
...Ας ενώσουμε το κέντρο αυτής της σφαίρας με όλα της τα σημεία. Λαμβάνουμε μια απειρία ημιευθειών. Αυτές μπορούν να εντοπιστούν με το ίδιο σύστημα εντοπισμού με τα σημεία, για παράδειγμα δύο γωνίες q και j.
Παραπάνω η σφαίρα μας.
Κάναμε μια τρύπα για να δείξουμε το σύνολο των διανυσμάτων ακτίνων.
Ας αφαιρέσουμε τώρα τη σφαίρα και ας κρατήσουμε μόνο τα διανύσματα ακτίνων.
...Έχουμε κόψει αυτές τις ημιευθείες, αλλά στην πραγματικότητα είναι άπειρες. Καθεμία ορίζεται μόνο από τη δεδομένη τιμή δύο παραμέτρων, για παράδειγμα δύο γωνιών. Η μετρική δομή έχει εξαφανιστεί. Όχι πια γεωδαισιακές, όχι πια μήκη. Τι απομένει;
- Κάθε ημιευθεία έχει μια γειτονιά. Μπορούμε να επιλέξουμε γειτονικές ημιευθείες για να την περικλείσουμε σε ένα είδος κώνου. Στο εσωτερικό αυτού του κώνου μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν στενότερο, που περιέχει την ημιευθεία. Πρόκειται για ζήτημα ομόκεντρων κύκλων ή μπάμπουσκας, αλλά με δέσμες ημιευθειών. Ωστόσο δεν πρόκειται για χάραξη γεωδαισιακών σε αυτούς τους κώνους. Καθεμία από τις γενέτειρές τους είναι απλώς ένα σύνολο δύο παραμέτρων, για παράδειγμα δύο γωνιών.
- Διακρίνουμε μια διαισθητική ιδέα της διαφορισιμότητας. Δεν υπάρχει ασυνέχεια σε αυτή τη «υφή».
Ας πάρουμε μια επίπεδη επιφάνεια, με γεωδαισιακές, μήκος κ.λπ...
...Όποιο σύστημα συντεταγμένων κι αν επιλέξω, θα πρέπει πάντα να εντοπίζω τη θέση των σημείων μου με δύο πραγματικούς αριθμούς (x,y), (r,q) κ.λπ...
Αυτοί οι πραγματικοί αριθμοί λαμβάνονται από το R2, δηλαδή από το σύνολο των ζευγών πραγματικών αριθμών, όπως (3,8705 , - 17,56). Κάθε ζεύγος σημείων που λαμβάνεται από αυτόν τον χώρο των ζευγών πραγματικών αριθμών έχει μια γειτονιά. Είναι «συνεχές».
Αυτά τα «προ-μετρικά» αντικείμενα ονομάζονται πολλαπλότητες (οι μαθηματικοί έχουν το χάρισμα να επιλέγουν λέξεις που δεν έχουν καμία δύναμη πρόκλησης συνειρμών για τον άνθρωπο του δρόμου).
...Σε αυτό το στάδιο μπορούμε λοιπόν να παρακάμψουμε αυτό το βήμα που συνίσταται στο να θεωρήσουμε ένα σύνολο n πραγματικών αριθμών (χώρο n διαστάσεων), χωρίς να του συνδέουμε αυτόματα την ιδέα του μήκους ή των γεωδαισιακών.
...Είναι λίγο σαν να θεωρούσαμε μια επιφάνεια της οποίας τα σημεία δεν θα είχαν άλλον περιορισμό από το να διατηρούν την επαφή με τους γείτονές τους. Θα ήταν απείρως ελαστική και παραμορφώσιμη. Κατά σύμβαση, αν αναπαραστήσουμε μια επιφάνεια με το περίγραμμά της (είτε το άκρο της, είτε το φαινόμενο περίγραμμά της, θα αναφερθούμε σε αυτή την «κινούμενη» έννοια της πολλαπλότητας αφαιρώντας απλώς το περίγραμμα:
...Αυτή η εικόνα υποδηλώνει άλλωστε τη σκιά του αντικειμένου. Και μια σκιά δεν έχει ούτε συνοχή ούτε μορφή. Η γεωμετρία της εξαρτάται από το αντικείμενο πάνω στο οποίο προβάλλεται.
Μπορούμε επίσης να αναπαραστήσουμε την πολλαπλότητα (στα αγγλικά manifold), χωρίς τη μετρική της, ως μια οικογένεια ευθειών.
...Εδώ, βάλαμε ευθείες που φαίνονται παράλληλες. Θα έπρεπε αυτές οι ευθείες να είναι... όπως να 'ναι, διατηρώντας παράλληλα τις σχέσεις εγγύτητας, γειτονιάς τους.
...Τελικά, μια καλή εικόνα μιας πολλαπλότητας V2 είναι ένα πακέτο σπαγγέτι που πρώτα βράζουμε και μετά μπορούμε να διπλώσουμε και να στρίψουμε προς κάθε κατεύθυνση, χωρίς όμως να τροποποιήσουμε τη διάταξη των μακαρονιών το ένα σε σχέση με το άλλο.
Εν πάση περιπτώσει, μπορούμε να εκτελέσουμε σε μια πολλαπλότητα μια πράξη επικάλυψης με δύο φύλλα, την οποία εφοδιάζουμε με μετρικές, όπως υποδηλώνει η παρακάτω εικόνα:
Εδώ δύο διδιάστατα φύλλα εφοδιασμένα με πανομοιότυπες (ευκλείδειες) μετρικές. Αλλά μπορούμε εξίσου καλά να κάνουμε:
...Θα ονομάσουμε τα M και M* συζυγή σημεία. Το γεγονός ότι λέμε πως οι δύο συζυγείς χώροι είναι κατασκευασμένοι ως η επικάλυψη με δύο φύλλα μιας πολλαπλότητας σημαίνει απλώς ότι υπάρχει μια αντιστοιχία σημείο προς σημείο μεταξύ των δύο φύλλων F και F*, αλλά, για παράδειγμα, οι αποστάσεις μεταξύ ζευγών ομόλογων σημείων (M1,M2) , (M*1, M*2) μπορεί να είναι διαφορετικές. Ο μόνος περιορισμός είναι τελικά ότι οι γειτονιές των σημείων αντιστοιχίζονται επίσης και ότι σε κάθε μη ιδιάζουσα περιοχή ενός φύλλου αντιστοιχεί μια επίσης μη ιδιάζουσα περιοχή.
...Βρίσκουμε ξανά το πακέτο εύκαμπτων μακαρονιών από πριν. Η δομή «πολλαπλότητα-σκελετός» υπάρχει μόνο για να κατασκευάσει την ενετική απεικόνιση μεταξύ των δύο γεωμετρικών αντικειμένων. Το παραπάνω σχέδιο έχει σκοπό να ανατινάξει εντελώς ερωτήσεις όπως «πώς είναι διατεταγμένα τα φύλλα F και F* το ένα σε σχέση με το άλλο; Αν το F είναι ένα σύμπαν, πού είναι το F*;». Αυτά τα φύλλα είναι απλώς συζυγή, με αντιστοιχία σημείο προς σημείο, και αυτά τα συζυγή σημεία μπορούν να περιγραφούν με τις ίδιες συντεταγμένες.
Περιεχόμενα άρθρου Περιεχόμενα Επιστήμης Αρχική σελίδα
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα
Επιστροφή στον Οδηγό-Επιστήμες
Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004: