f123

Συζυγείς καμπυλότητες.

...Πώς να προσεγγίσουμε την ιδέα της τοπικής καμπυλότητας, θετικής ή αρνητικής, σε έναν τρισδιάστατο χώρο. Ας πάρουμε μια σφαίρα. Ας καρφώσουμε ένα καρφί κάπου. Ας δέσουμε εκεί ένα σπάγκο μήκους L και ας στερεώσουμε στο άλλο άκρο ένα μολύβι. Θα μπορέσουμε να χαράξουμε έναν κύκλο, που θα είναι ένας παράλληλος. Ας κάνουμε την ίδια πράξη με ένα επίπεδο και με μια σέλα αλόγου.

...Σε ένα επίπεδο η περίμετρος είναι 2 p L και η επιφάνεια του δίσκου p L2.

...Στη σφαίρα η περίμετρος και το εμβαδόν του σφαιρικού καλύμματος είναι μικρότερα. Σε μια σέλα αλόγου η περίμετρος και το εμβαδόν που ορίζεται από αυτή την κλειστή καμπύλη είναι μεγαλύτερα. Παράδειγμα: αν πάρουμε μια σφαίρα ακτίνας R και μήκος L ίσο με το ένα τέταρτο της ισημερινής περιμέτρου, δηλαδή p R/2 :

...Το εμβαδόν του δίσκου είναι 3,875 φορές μεγαλύτερο από το εμβαδόν του σφαιρικού καλύμματος. Η περίμετρός του είναι 1,57 φορές μεγαλύτερη από τον ισημερινό.

...Κάνοντας ανάλογες μετρήσεις σε μια επιφάνεια μπορούμε να μάθουμε αν η τοπική καμπυλότητα είναι θετική ή αρνητική. Ανάλογη κατάσταση στις 3 διαστάσεις. Παίρνουμε τότε ένα σημείο, ένα σπάγκο ακτίνας L και χαράζουμε... μια σφαίρα. Αν το εμβαδόν αυτής της σφαίρας είναι μικρότερο από το ευκλείδειο εμβαδόν 4 p L2 θα συμπεράνουμε ότι η τοπική καμπυλότητα είναι θετική. Αν αυτό το εμβαδόν είναι μικρότερο από το ευκλείδειο εμβαδόν 4 p L2 θα συμπεράνουμε ότι η τοπική καμπυλότητα είναι αρνητική. Ίδιο συμπέρασμα για τον όγκο. Ας αρκεστούμε σε αυτές τις ποιοτικές ιδέες. Σε τρεις και τέσσερις διαστάσεις μπορούμε να ορίσουμε ένα μήκος R, που ονομάζεται βαθμωτή καμπυλότητα, το οποίο υπολογίζεται από έναν τανυστή καμπυλότητας.

...Στο κοσμολογικό μοντέλο που παρουσιάζουμε, αποφασίζουμε να συζεύξουμε δύο φύλλα σύμπαντος έτσι ώστε οι τιμές των τοπικών βαθμωτών καμπυλοτήτων σε συζυγή σημεία να είναι αντίστροφες :

R* = - R

...Αυτός είναι ο καθαρά γεωμετρικός τρόπος να βλέπουμε τα πράγματα. Είναι τότε εύκολο να δώσουμε μια διδακτική δισδιάστατη εικόνα, με τις συνήθεις επιφυλάξεις ως προς την πραγματική εμβέλεια τέτοιων αναπαραστάσεων. Είναι το σχέδιο του παρακάτω σχήματος :

Πάνω, ένας στομωμένος θετικός κώνος. Η τοπική καμπυλότητα είναι μηδενική στον κώνο και θετική στο σφαιρικό κάλυμμα.

Κάτω, ένας «στομωμένος αρνητικός κώνος». Η καμπυλότητα είναι μηδενική στον αρνητικό κώνο και αρνητική στη σέλα αλόγου.

...Προβάλαμε το αντικείμενο και τις γεωδαισιακές σε δύο ευκλείδεια επίπεδα-χώρους αναπαράστασης. Το πρώτο είναι εκείνο ενός παρατηρητή που βρίσκεται φυσικά στο φύλλο F, ο οποίος έτσι θα μπορεί να δει το μαζικό αντικείμενο, αλλά όχι το σωματίδιο-μάρτυρα που κινείται στο φύλλο F*.

...Η αορατότητα ενός αντικειμένου που βρίσκεται σε ένα φύλλο από έναν παρατηρητή που βρίσκεται στο άλλο είναι καθαρά γεωμετρικής φύσης. Υποθέτουμε ότι τα φωτόνια ακολουθούν (ιδιαίτερες) γεωδαισιακές κάθε φύλλου. Φωτόνια j κινούνται στο φύλλο F (το δικό μας φύλλο σύμπαντος) και φωτόνια j*, που μπορούμε να ονομάσουμε «φαντάσματα φωτόνια» (ghost photons) κινούνται στο φύλλο F*, το «φάντασμα σύμπαν» (ghost universe). Το γεγονός ότι τα δύο φύλλα σχηματίζουν ένα ξένο, μη συνεκτικό σύνολο απαγορεύει σε κάθε φωτόνιο ενός φύλλου να περάσει στο άλλο.

...Η «λειτουργία» ενός τέτοιου γεωμετρικού συστήματος είναι λιγότερο περίπλοκη απ' ό,τι φαίνεται.

...Το φύλλο F έχει τη γεωμετρία του, η οποία περιγράφεται πλήρως από μια «μετρική» g, από την οποία κατασκευάζεται το σύστημα γεωδαισιακών του. Από αυτή τη μετρική g μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν γεωμετρικό τανυστή S και να τον ταυτίσουμε με έναν τανυστή T, που είναι «πηγή του πεδίου», προέλευση αυτής της καμπυλότητας, γράφοντας την εξίσωση του Einstein :

S = c T

Η γεωμετρία του δεύτερου φύλλου, τέτοια ώστε η βαθμωτή καμπυλότητά του να είναι αντίστροφη, αντιστοιχεί σε μια μετρική g*, από την οποία μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν γεωμετρικό τανυστή S*. Η αντιστροφή της καμπυλότητας προκύπτει απλώς από :

S* = - S =- c T

...Το οποίο δεν θα σημαίνει απολύτως ότι g* = - g. Οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές. Η μετρική g* παράγει επίσης γεωδαισιακές.

...Ας θεωρήσουμε μια γεωδαισιακή του φύλλου F και ας παραστήσουμε την καμπύλη που αντιστοιχεί στα συζυγή σημεία, στο άλλο φύλλο. Αυτή δεν είναι γεωδαισιακή του τελευταίου.

Αντιστρόφως :

...Σε αυτό το σημείο, πού βρισκόμαστε; Προικίσαμε το σύμπαν (που υποτίθεται ότι είναι το φύλλο F, ο δικός μας χωρόχρονος) με έναν δίδυμο αδελφό. Η ύλη που υπάρχει στο σύμπαν μας (ο τανυστής T) καθορίζει τη γεωμετρία του, αλλά καθορίζει επίσης και εκείνη του διδύμου. Υποθέτουμε ότι το σύμπαν μας περιέχει μόνο θετικές μάζες και, γενικότερα, σωματίδια που κατέχουν θετικές ενέργειες. Δεν εξετάζουμε την πιθανή παρουσία αρνητικών μαζών στο φύλλο χωρόχρονου μας. Ο τανυστής T είναι επομένως είτε θετικός, εκεί όπου υπάρχει ενέργεια-ύλη, είτε μηδενικός εκεί όπου επικρατεί υψηλό κενό. Η τοπική καμπυλότητα του F είναι επομένως είτε μηδενική είτε θετική, αλλά δεν μπορεί να είναι αρνητική.

...Αντίθετα η καμπυλότητα του φύλλου F* (θα μιλάμε τότε για επαγόμενη καμπυλότητα) είναι είτε μηδενική είτε αρνητική.

...Αν υπάρχουν σωματίδια σε αυτό το φύλλο, υποθέτουμε ότι ακολουθούν επίσης γεωδαισιακές του. Τι διαπιστώνουμε όμως κοιτάζοντας το παραπάνω σχήμα; Το γκριζαρισμένο αντικείμενο, αυτή η μάζα που υπάρχει στο σύμπαν μας, στο φύλλο F, συμπεριφέρεται ως απωστικό αντικείμενο (βλέπε την καμπυλότητα της τροχιάς-γεωδαισιακής) στο φύλλο F*.

...Κατασκευάσαμε μια ακριβή μαθηματική λύση που αντιστοιχεί σε αυτό το ζεύγος «συζυγών μετρικών» (g, g*). [Βλέπε στο site: άρθρο Geometrical Physics B], . Η λύση g είναι ταυτόσημη με αυτό που ονομάσαμε εξωτερικές (έξω από το άστρο) και εσωτερικές (μέσα στο ίδιο το άστρο) μετρικές Schwarzschild. Προτείνουμε να ονομάσουμε τη δεύτερη μετρική «Anti-Schwarzschild». [Βλέπε στο site: Geometrical Physics A, 7, το άρθρο 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. ]

Με «φάντασμα ύλη».

Σε αυτή την οπτική συζυγών γεωμετριών, μπορούμε να αντιστρέψουμε την κατάσταση και να υποθέσουμε ότι μια (θετική) μάζα βρίσκεται παρούσα κάπου στο φύλλο F*. Δημιουργεί εκεί μια θετική καμπυλότητα και η διδακτική δισδιάστατη εικόνα αυτής της γεωμετρίας αντιστοιχεί στον στομωμένο κώνο, σε μια λύση Schwarzschild, αλλά στο φύλλο F*.

...Ίδια παρατήρηση για τον τρόπο με τον οποίο οι παρατηρητές διαφορετικών φύλλων αντιλαμβάνονται την επίδραση αυτής της μάζας σε ένα σωματίδιο-μάρτυρα που κινείται στο σύμπαν τους.

...Η εξέταση του παραπάνω σχήματος μας επιτρέπει να αναδείξουμε τους νόμους αλληλεπίδρασης μεταξύ της ύλης και της φάντασμα ύλης (ghost-matter), που εντοπίζεται στο δεύτερο σύμπαν, το ghost universe.

• Δύο σωματίδια ύλης έλκονται

• Δύο σωματίδια φάντασμα ύλης έλκονται.

• Ύλη και φάντασμα ύλη απωθούνται.

...Βλέπουμε ότι αυτό είναι διαφορετικό από το σχήμα που πρότεινε ο Souriau, σύμφωνα με το οποίο τα σωματίδια του δεύτερου είδους όχι μόνο απωθούσαν εκείνα που αποτελούν την ύλη μας, αλλά απωθούσαν και μεταξύ τους.

...Η δεύτερη γεωμετρία αντιστοιχεί στην παρουσία θετικών μαζών m*, στο φύλλο F*. Θα μπορούμε εκεί να ορίσουμε μια πυκνότητα ύλης r* > 0 (ή ακριβέστερα ghost energy-matter, αφού το δεύτερο φύλλο, το ghost universe, περιέχει επίσης «φάντασμα ακτινοβολία», φάντασμα φωτόνια και φάντασμα νετρίνα). Η ενέργεια των ghost particles είναι θετική, όπως και η πίεση p*.

...Από αυτά τα μεγέθη μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν τανυστή ενέργειας-φάντασμα ύλης T* (ο πιο γενικός τανυστής ενέργειας-ύλης είναι λίγο περισσότερο από αυτό, αλλά αυτή η σχηματική περιγραφή αρκεί «για τις συνήθεις ανάγκες»).

Η εξίσωση πεδίου που δίνει τη γεωμετρία στο φύλλο F* είναι :

S* = c T*

Εκείνη που δίνει τη γεωμετρία του F* είναι :

S = -c T*

...Είναι οι δύο εξισώσεις προηγουμένως, αντεστραμμένες. Στο φύλλο F η γεωμετρία είναι επαγόμενη, με την έννοια ότι δημιουργείται από ύλη M* που βρίσκεται στο F* και επομένως είναι αόρατη από το φύλλο F.

...Μπορούμε τώρα να εξετάσουμε το ενδεχόμενο τα δύο φύλλα να κατοικούνται το καθένα από τη δική του ύλη, με πυκνότητες r και r*.

Οι συζυγείς μετρικές συνάγονται τότε από το σύστημα εξισώσεων :

S = c (T - T*)

S* =c (T* - T)

που δίνει πράγματι τις αντεστραμμένες καμπυλότητες :

R* = - R

Ένα τέτοιο σύμπαν μπορεί επομένως να παρουσιάζει, στα φύλλα του, οποιαδήποτε καμπυλότητα, θετική, αρνητική ή μηδενική.

Αν η καμπυλότητα είναι τοπικά θετική στο φύλλο F αυτό σημαίνει ότι :

T > T*

ή :
r > r
*

είναι τότε αρνητική στην παρακείμενη, συζυγή περιοχή του φύλλου F*.

Αν η καμπυλότητα είναι τοπικά αρνητική στο φύλλο F αυτό σημαίνει ότι :

T < T*

ή :

r < r
*

είναι τότε θετική στην παρακείμενη, συζυγή περιοχή του φύλλου F*.

Αν η καμπυλότητα είναι μηδενική σε μια περιοχή του φύλλου F, είναι επίσης μηδενική στο φύλλο F*, το οποίο θα σημαίνει είτε ότι :

T = T* = 0
(οι δύο περιοχές είναι κενές)

είτε ότι :

T = T* (
r = r
*)

Newton και anti-Newton.

Ο νόμος του Newton συνάγεται από την εξίσωση του Einstein υποθέτοντας :

• Ότι η τοπική καμπυλότητα είναι ασθενής

• Ότι οι ταχύτητες είναι ασθενείς σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός

• Ότι το σύστημα είναι «σχεδόν στάσιμο» (κοσμολογικά μιλώντας).

...Συνάγεται με τον ίδιο τρόπο από το σύστημα συζευγμένων εξισώσεων πεδίου που παρουσιάστηκε παραπάνω. Βλέπε :
J.P.Petit and P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 1 : The geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation. [βλέπε στο site: Geometrical Physics A , 4 , 1998, section 4. ]

Έχουμε επομένως την παρακάτω δυναμική :

• Δύο σωματίδια ύλης m1 και m2 έλκονται σύμφωνα με τον νόμο του Newton.

• Δύο σωματίδια ghost matter, «φάντασμα ύλης» m*1 και m*2 έλκονται σύμφωνα με τον νόμο του Newton.

• Δύο σωματίδια m και m*, που ανήκουν σε διαφορετικά φύλλα απωθούνται σύμφωνα με τον «anti-Newton».

Σχετικά με τις δοκιμές της Γενικής Σχετικότητας.

...Το μοντέλο δεν έρχεται σε αντίφαση με αυτές. Πράγματι, καθώς η ύλη και η ghost matter απωθούνται, εκεί όπου υπάρχει συγκέντρωση ύλης (για παράδειγμα ο γαλαξίας μας), στο παρακείμενο, συζυγές τμήμα του ghost universe επικρατεί υψηλό κενό : η ύλη εκεί έκανε το ξεκαθάρισμα απωθώντας τις φάντασμα μάζες μακριά.

Στη γειτονιά του ήλιου ο τανυστής T* (ghost matter) είναι επομένως αμελητέος μπροστά στον T (ύλη) και η εξίσωση πεδίου γίνεται :

S @
c T

δηλαδή η εξίσωση του Einstein, η οποία παρουσιάζεται τότε ως μια προσεγγιστική μορφή μιας «δίδυμης» εξίσωσης.

Συμπέρασμα αυτού του μέρους της γεωμετρίας.

**...**Όλα είναι τώρα στη θέση τους για να επιχειρήσουμε να αξιοποιήσουμε μια νέα ιδέα, εκείνη ενός σύμπαντος σε μόνιμη αλληλεπίδραση με ένα φάντασμα σύμπαν, του οποίου η ύπαρξη θα αποκαλυπτόταν σε εμάς μόνο μέσω της δράσης στο πεδίο βαρύτητας.

...Στο άρθρο : «J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Twin group. Matter anti-matter duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem. [Βλέπε στο site: Geometrical Physics B, 1-3 ], 1998.», η δίδυμη δομή προσεγγίζεται διαφορετικά : μέσω της θεωρίας ομάδων (δίδυμη ομάδα). Θα δούμε ειδικότερα ότι η δυαδικότητα ύλη αντιύλη υπάρχει και στα δύο φύλλα. Στο ghost universe υπάρχει ghost matter και anti-ghost matter.

...Γνωρίζουμε τη νευτώνεια προσέγγιση. Μπορούμε επομένως να κάνουμε αριθμητικές προσομοιώσεις. Μπορούμε επίσης να επιχειρήσουμε να κατασκευάσουμε αναλυτικές λύσεις. Θα πρέπει επίσης, για να είμαστε πλήρεις, να παραγάγουμε ένα μοντέλο κοσμολογικής εξέλιξης, που θα ονομάσουμε Twin Bang, αφού επηρεάζει και τα δύο σύμπαντα. .

Περιεχόμενα άρθρου Περιεχόμενα Επιστήμης Αρχική σελίδα

Προηγούμενη σελίδα

Επιστροφή στον Οδηγό-Επιστήμες

Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από την 1η Ιουλίου 2004 :