یک اصل‌گذاری جدید از گروه‌ها

یک اکسیوم‌گذاری جدید برای گروه‌ها **

--- **

...سوریو در یک آپارتمان قدیمی در آکس زندگی می‌کند. دربی که به خیابان باز می‌شود، بسیار زیبا است. در ورودی، یک وسیله نقلیه کاملاً عجیب قرار دارد: یک صندلی حمل‌ونقل قدیمی که متعلق به صاحب خانه است، یک دختر، باستان‌شناس، فکر می‌کنم. این صندلی در دیوار قرار دارد. فقط کافی است دو نفر حمل‌کننده پیدا کنید، دو میله چوبی بلند را در دو حلقه وارد کنید و بنشینید تا یک سرگردانی کنید. بازشوها شیشه‌ای هستند: شیشه‌های طرفین قابلیت خم شدن دارند، نه با چرخاندن دسته، بلکه با تنظیم بند‌های چرمی، همانطور که در وAGON‌های قطار دوران کودکی من بود.

...همه اینها چقدر روی خواب‌ها تأثیر می‌گذارند. متوجه می‌شوم که هرگز صندلی حمل‌ونقل را نریده‌ام. در این دوران بیکاری، متقاعدم که مردم می‌توانند با ساخت اولین خط منظم صندلی حمل‌ونقل در آکس قدیم، زندگی خود را تأمین کنند. کافی است یک وسیله نقلیه شبیه به صندلی‌های قدیمی بسازید. این کار باید ساده باشد. سپس دو لباس مذهبی، دو موهای مصنوعی تهیه کنید و به سراغ کار بروید. مسیر: کورس میرابو. این کافی است. بعد فقط کافی است روی خواب‌ها بخوابید و کمی تخیل داشته باشید.

...ژان-ماری تنها با گربه‌اش، پیوم، در آپارتمان بزرگی زندگی می‌کند که پر از طلا و چوب‌کاری است. پیوم فوق العاده دوست‌داشتنی است. با این حال، به طور کلی به گربه‌ها علاقه‌ای ندارم. اما این گربه بسیار مهربان و صمیمی است.

معمولاً در آشپزخانه کار می‌کنیم، یک طبقه بالاتر. یک اتاق کوچک زیر سقف، که اندازه کوچکش با اندازه بزرگ اتاق‌های پایین تضاد دارد. هر بار که ژان-ماری سعی می‌کند به من نوشیدنی مورد علاقه‌اش، فرنتر-برانکا، که بر پایه گل‌سیب زمینی است، بدهد که من آن را واقعاً ناپسند می‌دانم، اما او به آن تمام ویژگی‌های مثبتی می‌دهد.

...وقتی در شهر قدم می‌زند، GPS خود را همراه می‌کند که هرگز از دستش نمی‌رود. واقعاً جالب است که توسط ماهواره‌هایی که چهل هزار کیلومتر فاصله با خیابانی که قدم می‌زنید دارند، راهنمایی شوید. برای دریافت سیگنال بهتر، سوریو تمایل دارد در امتداد خیابان بپیماید و چشمش را به صفحه نمایش مایعات متمرکز کند. به نظر می‌رسد مؤثر است، اما همچنان نسبتاً خطرناک.

...فکر می‌کنم که ما خوب وقت می‌گذرانیم. یک شب دسامبر، به او دیدار کردم و این گفت‌وگو رخ داد.

• من می‌خواهم درباره گروه‌ها صحبت کنم. آیا به اکسیوم‌هایش یادت می‌آید؟

• بله، شش تا هستند. عبارتند از:

1 - عناصر a، b، c ... وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند.

2 - یک عملگر داخلی وجود دارد، با نماد o ("دایره")، که امکان ترکیب دو عنصر از یک مجموعه را فراهم می‌کند.

a به مجموعه E تعلق دارد

b به مجموعه E تعلق دارد

a o b به مجموعه E تعلق دارد

3 - این عملگر جابجایی است:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - عنصر خنثی e وجود دارد به طوری که:

a o e = e o a = a

5 - هر عنصر a از مجموعه، یک معکوس دارد، با نماد a-1، به طوری که:

a-1 o a = a o a-1 = e

این پنج تا است؟

• در نهایت، پنج، چهار یا یک. قاعده‌ای مطلق در شماره‌گذاری اکسیوم‌ها وجود ندارد. می‌توانیم اکسیوم‌های 1 و 2 را به صورت یک اکسیوم ترکیب کنیم:

• عناصر a، b، c، و غیره وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند، با یک قاعده ترکیب داخلی که دارای خاصیت زیر است:

a به مجموعه E تعلق دارد

b به مجموعه E تعلق دارد

a o b به مجموعه E تعلق دارد

این معادل است.

• خوب، پنج، چهار، مهم نیست. به چه چیزی می‌خواهی برسی؟

• من قصد دارم آنچه را که شما اکسیوم‌های 4 و 5 نامیدید، یعنی عنصر خنثی و معکوس، حذف کنم و با اکسیوم ساندویچ جایگزین کنم. در مجموع، اکسیوم‌ها عبارتند از:

1 - عناصر a، b، c ... وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند.

2 - یک عملگر داخلی وجود دارد، با نماد o ("دایره")، که امکان ترکیب دو عنصر از یک مجموعه را فراهم می‌کند.

a به مجموعه E تعلق دارد

b به مجموعه E تعلق دارد

a o b به مجموعه E تعلق دارد

3 - این عملگر جابجایی است:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - سه عنصر a، b، c به مجموعه E تعلق دارند.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

a o y o b = c

این معادله جواب منحصر به فردی دارد.

این چیزی است که من اکسیوم ساندویچ می‌نامم، جایی که "گوشت بوقلمون" y بین عناصر a و b قرار گرفته است، و c موجودیت ساندویچ است. اکسیوم به این معناست:

همیشه می‌توان گوشت بوقلمون را از ساندویچ خارج کرد.
*

و من می‌گویم که این اکسیوم‌ها گروه‌ها را تعریف می‌کنند و معادل اکسیوم‌های قبلی هستند.

• این جواب منحصر به فرد y عضو مجموعه E است، زیرا عملگر داخلی و جابجایی است.

• البته، این چیزی است که بدون نیاز به گفتن آشکار است.

• اما بهتر است که بگوییم. نمی‌دانم چطور قصد داری دو اکسیوم مربوط به عنصر خنثی و وجود معکوس را بازیابی کنی، اما حداقل متوجه شدم چه چیزی باعث شد این ایده در ذهن تو بوجود آید.

• به خودم گفتم: "این چه کاربردی دارد؟"

• دقیقاً. چه کاربردی دارد داشتن یک عنصر خنثی؟ به تنهایی به این معناست که "اگر یک مجموعه E و یک عنصر خنثی داشته باشم، می‌توانم تمام عناصر این مجموعه را با آن ترکیب کنم و همان نتیجه را بدست آورم". این برای من مهم نیست. به همین ترتیب، چه کاربردی دارد معکوس به تنهایی؟ وقتی روی گروه‌ها یا هر چیز دیگری محاسبات انجام می‌دهیم، همیشه با ضرب سمت راست یا چپ در عناصر یا معکوس آن‌ها، باید a o a-1 یا a-1 o a را به دست آوریم که به e جایگزین می‌شود، سپس b o e یا e o b که به b جایگزین می‌شود. اکسیوم ساندویچ شما "عملیاتی" است.

• اگر بخواهی. برویم به قضایای نتیجه‌گیری از اکسیوم ساندویچ. اولین قضیه:

I - عنصر خنثی وجود دارد که با خودش ترکیب شده، خودش را بوجود می‌آورد:

e = e o e

II - این عنصر خنثی منحصر به فرد است.

اثبات:

از اکسیوم ساندویچ شروع می‌کنیم. معادله

a o y o b = c

جواب منحصر به فردی دارد: y.

این درست است اگر b = c = a، بنابراین

a o y o a = a

جواب منحصر به فردی دارد. سمت راست را در y ضرب می‌کنیم:

a o y o a o y = a o y

به a o y = e می‌گوییم.

...این یک عضو از مجموعه است، زیرا a و y به مجموعه تعلق دارند و عملگر داخلی است. بنابراین عنصری در مجموعه وجود دارد که:

e o e = e

...قضیه I اثبات شد. به منحصر به فرد بودن، قضیه II می‌پردازیم. اگر منحصر به فرد نبود، عنصر دیگری در مجموعه وجود داشت، بگوییم f که دارای خاصیت زیر است:

f o f = f

داریم:

e o e = e

سمت راست را در f ضرب می‌کنیم:

e o e o f = e o f

دوباره سمت راست را در e ضرب می‌کنیم:

e o e o f o e = e o f o e

از جابجایی استفاده می‌کنیم:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

این دو ساندویچ هستند. به آنها می‌گوییم:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...بر اساس اکسیوم ساندویچ، می‌توانیم "گوشت بوقلمون را خارج کنیم"، یعنی عبارات ( e o f ) و f را محاسبه کنیم که باید برابر باشند، زیرا p = q. بنابراین:

( e o f ) = f

...دوباره از فرض مربوط به عنصر دوم f شروع می‌کنیم:

f o f = f

...سمت راست را دو بار در e ضرب می‌کنیم، و دو بار سمت چپ:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...از جابجایی استفاده می‌کنیم:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...با استفاده دوباره از اکسیوم ساندویچ نتیجه می‌گیریم که:

e o f = e

بنابراین:

e = f

قضیه III: اگر عنصر e را که "برابر با مربع خودش است" در نظر بگیریم، نتیجه می‌شود که

a o e = a

اثبات:

همیشه از اکسیوم ساندویچ استفاده می‌کنیم. از تعریف e شروع می‌کنیم:

e o e = e

به ترتیب به سمت راست در a و e ضرب می‌کنیم:

e o e o a o e = e o a o e

جابجایی را به کار می‌بریم.

e o ( e o a ) o e = e o a o e

بنابراین:

e o a = a

از اینجا شروع می‌کنیم:

e o e = e

و به ترتیب سمت چپ در a و e ضرب می‌کنیم:

e o a o e o e = e o a o e

و جابجایی را به کار می‌بریم.

e o ( a o e ) o e = e o a o e

بنابراین:

a o e = a

قضیه III اثبات شد.

به قضیه IV برویم

(وجود معکوس، با نماد a-1).

بیان: یک عنصر از مجموعه داده شده است. یک عنصر و تنها یک عنصر وجود دارد که جواب معادله زیر است:

a o y o a = a

این عنصر را a-1 نامیده و به آن معکوس a می‌گوییم. این عنصر دارای خواص زیر است:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

اثبات.

وجود و منحصر به فرد بودن این عنصر نتیجه‌ای ساده از اکسیوم ساندویچ است، وقتی به این شکل بیان می‌شود:

وقتی لایه‌های نان با هم و با ساندویچ یکسان باشند، گوشت بوقلمون معکوس لایه نان (یا ساندویچ) است.

a o y o a = a

می‌توانیم جابجایی را به دو شکل به کار ببریم:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

اما می‌دانیم که:

e o a = a

a o e = a

بنابراین جواب y دارای خواص زیر است:

a o y = e

y o a = e

نشان می‌دهیم که این جواب منحصر به فرد است. اگر منحصر به فرد نبود، جواب دیگری داشتیم:

a o z = e

z o a = e

معادله اول را سمت چپ در y ضرب می‌کنیم:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

اما y o a = e، بنابراین:

z = y

این جواب را a-1 می‌نامیم، جواب معادله منحصر به فرد:

a o a-1 o a = a

بنابراین این مجموعه جدید اکسیوم‌ها به همان خواصی منتهی می‌شود که به طور سنتی گروه‌ها را تعریف می‌کنند.

بنابراین می‌توان گروه‌ها را با این مجموعه جدید اکسیوم تعریف کرد:

تعریف گروه.

1 - عناصر a، b، c ... وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند.

2 - یک عملگر داخلی وجود دارد، با نماد o ("دایره")، که امکان ترکیب دو عنصر از یک مجموعه را فراهم می‌کند.

a به مجموعه E تعلق دارد

b به مجموعه E تعلق دارد

a o b به مجموعه E تعلق دارد

3 - این عملگر جابجایی است:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - سه عنصر a، b، c به مجموعه E تعلق دارند.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

a o y o b = c

این معادله جواب منحصر به فردی دارد.

اگر عناصر مجموعه E، همراه با عملگر ترکیب داخلی خود، این چهار اکسیوم را برآورده کنند، می‌گویم که آنها یک گروه تشکیل می‌دهند.

قضیه: عنصر خنثی معکوس خودش است. این تعریف جدید عنصر خنثی، با استفاده از تنها یک معادله، منجر به نوع دیگری از اثبات این ویژگی می‌شود.

e o e = e

این تعریف عنصر خاص e است. اما اکسیوم ساندویچ باعث می‌شود که این معادله با ویژگی (نه تعریف) معکوس شناسایی شود.

قضیه دیگر: معکوس معکوس، برابر با خود عنصر است:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a معکوس a-1 است. بنابراین این ویژگی برقرار است.

نشان می‌دهیم که:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

محاسبه می‌کنیم:

a o b o b-1 o a-1 و b-1 o a-1 o a o b

نشان می‌دهیم که این دو مقدار برابر با e هستند.

a o ( b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

همانطور برای عبارت دیگر.

• این یک رویکرد متفاوت به مفهوم گروه است.

• اندیشه گروه‌ها.

• اگر بخواهی.

• اما چیزی در ذهنم می‌گوید که این چیز می‌تواند فراوان باشد.

• حالا همه چیز را فراموش کن، حتی اکسیوم ساندویچ. فرض کن یک مجموعه E با یک عملگر ترکیب داخلی o جابجایی داشته باشیم. فرض کن در این مجموعه عنصری وجود دارد که با تمام عناصر دیگر، نقش عنصر خنثی را ایفا می‌کند:

a o e = e o a = a - آیا منحصر به فرد است؟

• اگر وجود داشته باشد، حتماً منحصر به فرد است، که قابل اثبات است.

• آه بله، درست است.

• می‌گویم دو عنصر a و b به هم رابطه معکوس دارند اگر

a o b = b o a = e

اگر a را بدهیم، b معکوس آن است. می‌گویم اگر مجموعه را به زیرمجموعه عناصری که معکوس دارند محدود کنیم، این زیرمجموعه یک گروه تشکیل می‌دهد. این روشی برای ساخت گروه‌ها است. به عبارت دیگر، در مجموعه عناصری را انتخاب می‌کنیم که این ویژگی را دارند و می‌گویم کافی است تا بتوانیم بگوییم این زیرمجموعه یک گروه تشکیل می‌دهد.

باید نشان دهیم که این ویژگی داخلی است.

• چه منظورت است؟

• فرض کن دو عنصر a و a' این ویژگی را دارند، یعنی:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a معکوس b دارد

a' معکوس b' دارد. بنابراین این دو در زیرمجموعه مورد نظر هستند. باید نشان دهیم که a o a' نیز معکوس دارد.

این "دایره‌ها" را حذف می‌کنیم، که سنگین هستند.

a' o b' = e

سمت چپ را در a و سمت راست را در b ضرب می‌کنیم:

a o a' o b' o b = a o e o b = a o b = e

بنابراین:

( a o a' ) ( b' o b ) = e

از اینجا شروع می‌کنیم:

b o a = e

سمت چپ را در b' و سمت راست را در a' ضرب می‌کنیم:

b' o b o a o a' = b' o e o a' = b' o a' = e

( b' o b ) ( a o a' ) = e

بنابراین عنصر به دست آمده از ترکیب a و a' که معکوس دارند، خودش نیز معکوس دارد.

• باقی مانده این است که نشان دهیم این زیرمجموعه واقعاً یک گروه تشکیل می‌دهد.

• و برای این منظور، نشان خواهم داد که این زیرمجموعه اکسیوم ساندویچ را برآورده می‌کند، یعنی:

a o y o b = c

جواب منحصر به فردی دارد: y.

• متوجه شدم. به صورت اکسیوماتیک، معکوس همه چیز را انجام می‌دهی. قبلاً اکسیوم ساندویچ را فرض کردی و نشان دادی که این منجر به وجود معکوس می‌شود. حالا فرض می‌کنیم همه عناصر مجموعه معکوس دارند و با استفاده از این ویژگی، سعی می‌کنی اکسیوم ساندویچ را بازیابی کنی.

• بهترین راه برای نشان دادن اینکه معادله جواب منحصر به فرد دارد، ساختن آن است. معادله بالا را سمت چپ در a-1 و سمت راست در b-1 ضرب می‌کنیم.

a-1 o a o y o b o b-1 = a-1 o c o b-1

( a-1 o a ) o y o ( b o b-1 ) = a-1 o c o b-1

y = a-1 o c o b-1

• بنابراین y واقعاً جواب معادله است:

a o y o b = c

با وارد کردن جواب ساخته شده، داریم:

a o ( a-1 o c o b-1 ) o b = c

...این کار را انجام می‌دهیم که بتوانیم با پرانتزها بازی کنیم و جابجایی را تعمیم دهیم. فرض کردیم (یکی از اکسیوم‌ها است) که می‌توان دو عنصر را در یک دنباله عملگر جدا کرد:

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

نیاز است نشان دهیم که اجازه می‌دهد سه عنصر بین دو پرانتز قرار گیرند. اما این را بدون اثبات قبول می‌کنیم.

کاربردها:

...مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیرید که با ضرب x به عنوان عملگر ترکیب مجهز شده است. این عملگر داخلی است، اما با این مجموعه جدید اکسیوم‌ها یک گروه نیست. در واقع معادله‌ای که عنصر e را تعریف می‌کند:

e o e = e

دو جواب دارد:

e = +1 و e = -1

...از ساختار قبلی استفاده می‌کنیم. یک مجموعه (اعداد حقیقی) و یک عملگر ترکیب، جابجایی (ضرب) داریم. این مجموعه عنصر خنثی 1 دارد که در اینجا به عنوان جواب معادله

e o e = e

تعریف نمی‌شود، بلکه به عنوان عنصری تعریف می‌شود که با تمام عناصر دیگر مجموعه (حتی خودش) ترکیب شده، آن را باز می‌گرداند، به عبارت دیگر تعریف سنتی:

برای هر a که به مجموعه E تعلق دارد، درست است که:

e o a = a o e = a

اگر از تعریف سنتی معکوس شروع کنیم:

a o a-1 = a-1 o a = e

...نشان دادیم که زیرمجموعه عناصری که معکوس دارند، یک گروه تشکیل می‌دهد. بنابراین اعداد حقیقی بدون صفر یک گروه تشکیل می‌دهند.

ماتریس‌های مربعی با ابعاد (n,n) را در نظر بگیرید. آنها عنصر خنثی دارند:

با صفرها در جایی که قطر اصلی پر از "1" است.

ماتریس‌های معکوس‌پذیر یک گروه را تشکیل می‌دهند، که به آن گروه خطی GL(n) می‌گویند.

• برای من این همه خوب است.

• همینطور... این فقط یک تغییر در اکسیوماتیک سنتی است. این را در یک کنفرانس فلسفه دانش، در گرناو، هفته‌ای پیش معرفی کردم.

ادامه خواهد آمد