f5101 یک نمایش تحلیلی از سطح بوی جی.پی. پتی و ج. سوریو .
**...**در زیر، بازتولید یک مقاله در مجله گزارشهای آکادمی علوم پاریس، امضا شده توسط جی.پی. پتی و ج. سوریو، به تاریخ 1981.
**...**این کار دارای تاریخچهای است. تا زمانی که آلبوم من « توپولوژیکون » در سال 1985، توسط انتشارات بلین، در سری ماجراهای آنسلم لانتورلو منتشر شد، نمایشهای سطح بوی در کتابهای متخصص، بسیار محدود بودند. در جاهای مختلف عکسهایی از مدلهای ساخته شده از مصالح گچ یا شبکه مرغها دیده میشد. چارلز پو، از دانشکده ریاضیات دانشگاه برکلی، متخصص جهانی بیبدیل در زمینه شبکه مرغهاست. در واقع با استفاده از این ماده، او جایزهای مالی مهم به دست آورد، هنگامی که مدلهایی را ساخت که نشاندهنده معکوسسازی کرویه بر اساس برنارد مورین بودند، مدلهایی که بعداً توسط نلسون ماک دیجیتالی شدند و به فیلمی تبدیل شدند که در تمام دپارتمانهای ریاضیات جهان گسترش یافت.
**...**اما من اینگونه حس میکنم که شبکه مرغها مادهای کماهمیت است، به ویژه برای موضوعات علمی با سطح بالا. پس از آشنایی با یک هنرمند مجسمهساز به نام ماکس سوژ، من به تکنیک فلز مسی، که هم انعطافپذیر و هم سفت است، علاقهمند شدم. ماکس با مهارت این فلز را لحیم میکرد و تلاش میکرد دمای آن را به حداقل برساند تا در ماده تنشهای غیرضروری ایجاد نشود.
**...**دوست من جاکس بویلی، که به عنوان واسلین شناخته میشد، در آن زمان استاد دانشکده هنر زیبا در آکس-آن-پروونس بود. یک سال، از من خواست که جای یکی از استادانش که به خارج کشور رفته بود، جایگزین شوم، که من نیز انجام دادم و با سوژ به صورت نیمهوقت خدمات ارائه میدادم. در حالی که من اشیاء جدید را ابداع میکردم، ماکس آنها را لحیم میکرد. دانشجویان ما، که دور ما گردش میکردند و با علاقه به کار ما نگاه میکردند، سعی میکردند به بهترین شکل از ما الهام بگیرند. در آن سال، این بخش از دانشکده هنر زیبا در آکس-آن-پروونس به نوعی کارخانه تولید سریع سطوح ریاضی تبدیل شد.
**...**اگر بخواهید به این کار بپردازید، چیزی پیچیده نیست. به یک دسته فلز مسی به قطر حداقل 1.5 میلیمتر و حداکثر 2 میلیمتر و یک قیچی برش نیاز دارید. با این ابزارها میتوانید دو خانواده منحنی که هر سطحی را تشکیل میدهند، به تصویر بکشید.
**...**مشکل اصلی این است که چگونه باید این اشیاء را به درستی شکل داد. برای این منظور، خوب است که بتوانید نقاط اتصال را که در آنها «منطقههای نصفالنهار» و «خطوط عرضی» همدیگر را قطع میکنند، به آرامی جابجا کنید. یک راه حل مناسب این است که دو سیم فلزی را با نخ خیاطی ببندید. این کار به اندازه کافی محکم است تا شیء قابل حمل باشد، اما به اندازه کافی لغزنده است تا امکان تغییر شکل و تنظیم وجود داشته باشد.
**...**فقط زمانی که فکر میکنید شیء به طور ریاضی مطابق خواستههای شما است، میتوانید آن را به کسی بسپارید که با مهارت از لحیم نقره استفاده میکند و میتواند بدون گرم کردن میلهها، لحیم کند، کاری که ماکس با هنری بینظیر انجام میداد.
**...**روزی یک نمونه اولیه از سطح بوی به دست آوردم، پس از اینکه متوجه شدم چگونه مناطق نصفالنهار و خطوط عرضی باید در کنار هم قرار بگیرند. به نظر میرسید میتوان با تلاش، مناطق نصفالنهار را به گونهای تنظیم کرد که شبیه به خانوادهای از بیضیها به نظر برسند.
**...**ماکس آن شیء را با دقت کپی کرد. سپس به سوریو رفتم. پسرش (که هرگز صبر لازم برای اتمام مدرک فیزیک خود را نداشت) با ماشین Apple II پدرش بازی میکرد. من به او گفتم:
-
جرم، آیا دوست داری یک مقاله ریاضی محض به نام تو منتشر شود؟
-
خب، چرا نه؟ برای این کار باید کسی را بکشیم؟
-
هیچ کسی. این شیء را میبینی. یک گونیا بگیر و این بیضیها را اندازه بگیر و سعی کن یک نمایش نیمه تجربی از این سطح بسازیم.
-
میتوانیم هرچند امتحان کنیم، بده...
**...**دو روز بعد، آن کار تمام شد. مقاله به سرعت در گزارشهای آکادمی علوم پاریس پذیرفته شد و تحت نام ما دو نفر: جی.پی. پتی و ج. سوریو منتشر شد.
**...**اما از آنجا که پدرش به نام جان-ماری و پسرش به نام جرم بود، تمام ریاضیدانان متقاعد هستند که این کار را ما دو نفر، سوریو پدر و من، به صورت مشترک انجام دادهایم.
**...**رسم سطح با کامپیوتر با استفاده از یک برنامه کوچک BASIC با چند خط، بسیاری از ریاضیدانان را شگفت زده کرد، چرا که آنها انتظار داشتند چیزی پیچیدهتر. این موضوع تأثیر منفی داشت. ریاضیدان برنارد مورین دانشجوی دکتری داشت، آپری، پسر آپری-پدر، نویسنده قضیه بینظیری که میگوید مجموع مکعب اعداد صحیح یک عدد گنگ است. به همین ترتیب...
**...**من این را نمیدانستم. پیشرفت ما بسیار نگران کننده بود برای مورین، به ویژه اینکه من در آن زمان به طور بیخبر گفتم که این روش باید بتواند سطح با چهار گوشی که او را مشهور کرده بود، یعنی سطحی که با شبکه مرغها توسط پو به دست آمده و سپس توسط ماکس دیجیتال شده بود، توصیف کند.
مورین ابروی خود را خم کرد:
- نه، این غیرممکن است!
**...**این موضوع را بعداً بررسی خواهیم کرد. من همچنان متقاعد هستم که برعکس آن است. اما این جمله معادل جمله مشهوری بود که آرشیمید به سرباز رومی گفت که او را در تفکرش مزاحمت کرده بود - Noli tangere circuleos meos!
به فرانسوی: «دستت را از دایرههای من بکش!»
در اینجا، بیشتر شبیه به: «دستت را از بیضیهای من بکش!»
**...**پس از آن، آپری از کشف من استفاده کرد که میتوان سطح بوی را با یک سیستم نصفالنهارهای بیضوی تجهیز کرد، و اولین معادله ضمنی این شیء را ساخت:
f(x,y,z) = 0
**...**مورین که از دیدن من به عنوان یک فرد مداخلهگر در کارهای ریاضی خود ناراحت بود، به آپری دستور داد که در رساله خود مشخص کند که ساخت بیضیها توسط سوژ انجام شده است. ماکس این موضوع را رد نکرد، اما این امر نادرست است. شواهد در زیرزمین من هستند: مدلی که من به ماکس آوردم تا آن را به صورت دقیق بسازد.
**...**در نهایت، همه اینها کمی بیمعنا است. این داستان تنها برای نشان دادن این است که ریاضیدانان به اندازه فیزیکدانان بیشتر نیستند.
**...**کولونا، مهندس پلیتکنیک، پیشگام در زمینه تصاویر سینتیک، تمام معادلات ما را بدون اشاره به منشأ آنها استفاده کرد. اما یک نکته جالب وجود دارد: اگر روی صفحهای تصاویر سطح بوی ببینید، و اگر «تصویر ما» باشد، حتماً سه تا چین خفیف نزدیک قطب آن دیده میشود. یک عیب تنظیم معادلات. جرم، پسر سوریو، به صورت عجلهای این کار را انجام داد و یک ضربه نهایی با آهن گرم در نزدیکی قطب میتوانست کمک کند. این کار همچنان امکانپذیر است، البته برای هر کسی که بخواهد.
**...**این داستان سطح بوی هنوز به پایان نرسیده است. برای کامل شدن، یک شخصیت دیگر را ذکر میکنیم: کارلو بونومی، یک میلیاردر ایتالیایی. من با او در یک سفر به مثلث برمهاد آشنا شدم (اما این داستان دیگری است). در آن زمان در حالی که با سرعت بالا روی یاتق او، که از لحاظ لوکس بینظیر بود، به دنبال یک هرم غرق شده بودیم، که توسط چارلز برلیتز در یکی از کتابهایش معرفی شده بود. ما هرم را پیدا نکردیم و تنها به خطر افتادیم که توسط شاهمرغهای زیادی که در آن مناطق زندگی میکردند، خورده شویم. اگر نقشه جهان دارید، مکانی که به نظر میرسید هرم آتلانتیکی باید قرار داشته باشد، در جنوب غربی یک ریف به نام کای سال بالک، در 50 مایل جنوب کوبا است.
**...**بین دو پریدن و دو شام کرویه، به بونومی پیشنهاد دادم که تولید فراوان سطح بوی را حمایت کند. این ایده به او خوش آمد و پس از آن یک پیگیری وجود داشت. بگوییم که سطح بوی که در سالن ریاضیات پاریس، موزه کشف، نصب شده است، توسط بونومی تأمین مالی شده و توسط سوژ ساخته شده است. سرمایهگذار قصد داشت یک نمایشگاه برپا کند و اشیاء را با فلز طلا ساخته شود. اما این پروژه به پایان نرسید. با توجه به سکوت طولانی او، به دفتر او در میلان تماس گرفتم. البته، به دلیل درگیری در فساد لویه P2، زندانی شده بود و علاقهاش به توپولوژی به طور غیرقابل بازگشت آسیب دیده بود.
**...**پوشش دو لایه سطح بوی، تصویر فضای پروژکتیو P2، یک کره S2 است (مطالعه کنید: توپولوژیکون). پو با دو لایه شبکه مرغها این پوشش را ساخت، شیءای که در تمام جوانب قابل توجه است، هرچند من شخصاً فلز مسی و نمایش نصفالنهار-عرضی را ترجیح میدهم. اما حتی در ریاضیات محض:
- از طعم و رنگ نباید بحث کرد.
**...**قبل از ارائه مقاله، یک داستان آخر. پو در واقع هفت مدل از شبکه مرغها ساخته بود که به او جایزه مهمی داد، که مراحل متوالی معکوسسازی کرویه را نشان میداد، که در مورد آن در زمانی که 5 دقیقه برای آپلود آن به وبسایت پیدا کرده باشم صحبت خواهم کرد، و این مدلها در سقف کافه دانشکده ریاضیات دانشگاه برکلی آ pend شده بودند.
**...**بنابراین، ریاضیدانان جهان به صورت حجّت به آنجا میآمدند و در مقابل این دنباله عالی و بینظیر سرگرم میشدند. اما یک شب، این مدلها دزدیده شدند و هیچ کس نمیداند چه شد با این هفت شیء، که در غیر این صورت به هیچ وجه قابل فروش نبودند. چه فروشندهای میتوانست چنین معاملهای را بپذیرد؟ مگر اینکه یک دانشمند غنی و نیمه هنرمند، نیمه ریاضیدان، این عمل را تأمین کرده باشد تا آنها را در یک زیرزمین بسته نگه دارد، تنها انسانی که قادر به مشاهده این هشتمین عجایب جهان باشد، چه برسد که ساخته شده با شبکه مرغها باشد.
**...**پو، با وجود تسلط خود بر ماده، جرأت ساخت دسته جدیدی را نداشت.
**...**همانطور که قبلاً در ابتدای وبسایت گفتیم، زندگی ورنر بوی هنوز یک معمایی است. پس از اینکه سطحی را که به نام خودش ثبت شد، ابداع کرد، او به طور ملموس از بین رفت، پس از ترک دانشگاه. با وجود تلاشهای فراوان، هیلبِرت نتوانست ردپای او را پیدا کند و حتی محل دفن او نامعلوم است.
**...**بیایید به ریاضیات بازگردیم. مقاله زیر نسبتاً آسان برای خواندن است. از فرمولهای 1 تا 8، هر دانشآموز دبیرستانی که بیدار باشد، میتواند تصاویر بسیار زیبا بسازد و بررسی کند که برشها به درستی با شکل 5 مطابقت دارند.
C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 October 1981) Série 1 - 269
هندسه. - یک نمایش تحلیلی از سطح بوی. مقاله جیان-پیر پتی و جرم سوریو، ارائه شده توسط آندره لیخنرویچ.
یک نمایش تحلیلی از سطح بوی ارائه میشود که امکان رسم آن را فراهم میکند.
1. مقدمه.
**...**سطحی که در سال 1901 توسط ریاضیدان ورنر بوی، دانشجوی هیلبِرت، ابداع شد، به خوبی شناخته شده است. این سطح میتواند به عنوان گام مرکزی در معکوسسازی کرویه عمل کند ( [1] و [2] ).
**...**در سال 1979 (جی.پی. پ) یک مدل از فلز فلزی ساخت که موقعیت خطوط نصفالنهار سطح را نشان داد. کار دومی که در سال 1980 با مجسمهساز ماکس سوژ انجام شد، به ساخت مدل دومی منجر شد که در آن منحنیها در صفحات قرار داشتند و به نظر بیضیها نزدیک بودند. با استفاده از چنین مدلی، به نظر میرسید که میتوان یک نمایش تحلیلی از سطحی با توپولوژی مشابه سطح بوی ساخت، که نصفالنهارهای آن بیضیها باشند که از یک قطب منحصر به فرد عبور میکنند.
2. چگونه با استفاده از بیضیها سطح بوی را تولید کنیم.
**...**قطب را در مبدأ مختصات قرار دهید. در این نقطه، سطح به صفحه (XOY) مماس خواهد بود. بنابراین محور OZ به عنوان محور تقارن سهگانه خواهد بود (شکل 1). منحنیهای نصفالنهار در صفحات Pm قرار دارند. فرض کنید OX1 ردپای صفحه Pm در صفحه XOY است. به m زاویه (OX, OX1) بگویید. در این صفحه Pm یک محور دوم OZ1 عمود بر OX1 قرار دهید. و به a زاویه (OZ, OZ1) بگویید.
شکل 1 و شکل 2
**...**پارامتر اول این نمایش تحلیلی، زاویه m خواهد بود. ما زاویه a را به عنوان تابعی از m در نظر میگیریم (که در ادامه تعریف خواهد شد). در صفحه Pm حالا یک بیضی رسم میکنیم که در O به OX1 مماس باشد (شکل 2). ما محورهای این بیضی را موازی با نیمسازهای X1OZ1 قرار خواهیم داد. به A(m) و B(m) مقادیر محورهای این بیضی بگویید. این بیضی Em توسط یک پارامتر آزاد دوم q تولید میشود.
**...**به طور خلاصه، مختصات X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) نقطه جاری سطح به دست خواهد آمد.
**...**در این رویکرد نیمه تجربی، اندازهگیریهای انجام شده توسط (ج.س.) روی مدل، به تخمین توابع a(m), A(m) و B(m) کمک کرد. سطح سپس با کامپیوتر "Apple-II" رسم شد و برشهای Z = ثابت به دست آمدند؛ بررسی این برشها امکان تعیین هویت توپولوژیکی با سطح بوی را فراهم کرد. این سطح تنها با یک آزمون عددی (ج.س.) به دست آمد که به حذف جفتهای تکینهای ناخواسته (ظهور جفت نقاط گوشهدار) کمک کرد.
**...**ما به این نتیجه رسیدیم: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)
(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)
(3)
**...**در مختصات X1 O Z1، مختصات مرکز بیضی Em عبارت است از: (4)
(5)
**...**در همین مختصات، مختصات نقطه جاری بیضی به صورت زیر است: (6)
(7)
و مختصات x, y, z به صورت زیر داده میشوند:
(8)
