نمایش تحلیلی سطح بوی

f5101 یک نمایش تحلیلی از سطح بوی ج.پی. پیت و ج. سوریو .

**...**در ادامه، بازنشر یک یادداشت به گزارش‌های انجمن علمی پاریس، امضا شده توسط ج.پی. پیت و ج. سوریو، به تاریخ 1981.

**...**این کار داستانی دارد. تا زمانی که آلبومم "توبولوژیکون" در سال 1985 به چاپ رسید، که در سری ماجراهای آنسلم لانتورلو به چاپ رسیده بود، نمایش‌های سطح بوی در کتاب‌های متخصصان کم بود. در جاهای مختلف عکس‌های مدل‌هایی از سطح بوی که از چوب یا سیم سیم‌کشی ساخته شده بودند، دیده می‌شد. چارلز پو، از دانشکده ریاضیات دانشگاه برکلی، متخصص جهانی نام‌گرفته‌ای در زمینه سیم سیم‌کشی است. در واقع با این ماده، او جایزه‌ای مالی مهمی کسب کرد، وقتی که مدل‌هایی را ساخت که نمایش دهنده چرخش کروی به سمت داخل بودند، که توسط نلسون ماکس به فیلم تبدیل شد و سپس در تمام دانشکده‌های ریاضیات جهان گسترش یافت.

**...**اما من فکر می‌کنم که سیم سیم‌کشی یک ماده ناپاک است، به ویژه برای این گونه مباحث علمی با کیفیت بالا. وقتی که با یک هنرمند به نام ماکس سوزه آشنا شدم، من به تکنیک سیم مسی یاد گرفتم، که هم انعطاف‌پذیر و هم سخت است، که ماکس با مهارت آن را لحیم می‌کرد، به گونه‌ای که به حد امکان گرم نکند، تا در ماده تنش‌های غیر مرتبطی ایجاد نکند.

**...**دوستم جاکس بولیه، که به نام واسلین شناخته می‌شود، در آن زمان استاد در دانشگاه هنرها در ایکس-آن-پروانس بود. یک سال، او من را به جای یکی از معلمانش که به خارج رفته بود، پیشنهاد کرد، که من این کار را انجام دادم و یک خدمات نیمه‌وقت با سوزه انجام دادم. هنگامی که من اشیاء را اختراع می‌کردم، ماکس آنها را لحیم می‌کرد. دانشجویان ما، که اطراف ما می‌چرخیدند و شگفت زده بودند، سعی می‌کردند بهترین کار را از ما تقلید کنند. در آن سال، این بخش از دانشگاه هنرها در ایکس-آن-پروانس به یک کارخانه تولید سطوح ریاضی تبدیل شد.

**...**اگر شما هم می‌خواهید شروع کنید، چیزی پیچیده نیست. شما به یک چرخه از این سیم مسی نیاز دارید، به عنوان مثال با قطر 1.5 میلی‌متر، حداکثر دو میلی‌متر، و یک قیچی برش. با این ابزارها می‌توانید دو خانواده از منحنی‌ها را که هر سطحی را تشکیل می‌دهند، نشان دهید.

**...**مشکل این است که بتوانید این اشیاء را به خوبی مدل کنید. برای این کار، بهتر است بتوانید نقاط اتصال را به جا بگذارید، جایی که "نیمکره‌ها" و "parallels" با هم تقاطع می‌کنند. یک راه حل خوب این است که سیم‌های فلزی را با سیم خیاطی ببندید. این کار کافی است تا اشیاء را محکم نگه دارد، اما به اندازه‌ای که به سادگی تغییر شکل و تنظیم را امکان‌پذیر کند.

**...**فقط وقتی می‌دانید که این اشیاء به طور ریاضی با آرزوی شما مطابقت دارند، می‌توانید آنها را به کسی که مهارت دارد و می‌تواند با مهارت این سیم‌ها را لحیم کند، و به گونه‌ای که نتواند سیم‌ها را گرم کند، اعتماد کنید، که ماکس با هنری کامل می‌توانست انجام دهد.

**...**روزی یک نمونه اولیه از سطح بوی به دستم رسید، که متوجه شده بودم چگونه "نیمکره‌ها" و "parallels" باید با هم چیده شوند. به نظر می‌رسید که می‌توانستند به گونه‌ای با خانواده‌ای از بیضی‌ها شبیه به یکدیگر باشند.

**...**ماکس این اشیاء را با دقت کپی کرد. من سپس به سوریو رفتم. پسرش (که ه jam نمی‌توانست مدرک فیزیک خود را به پایان برساند) با کامپیوتر ایپل II پدرش بازی می‌کرد. من به او گفتم:

• جروم، آیا می‌خواهی یک انتشار ریاضی خالص به نام خودت داشته باشی؟

• خب، چرا نه؟ کی باید کشته شود؟

• هیچ کس. می‌بینی این اشیاء. یک نقاله بگیر، این بیضی‌ها را اندازه بگیر و سعی کن یک نمایش نیمه تجربی از این سطح را بسازیم.

• می‌توانیم سعی کنیم، بده...

**...**دو روز بعد، تمام شد. مقاله به سرعت در گزارش‌های انجمن علمی پاریس پذیرفته شد و زیر نام‌های ما: ج.پی. پیت و ج. سوریو منتشر شد.

**...**اما چون پدرش به نام جان ماری و پسرش جروم است، تمام ریاضیدانان متقاعد شده‌اند که این کار را ما با هم، سوریو پدر و من، انجام داده‌ایم.

**...**رسم سطح روی کامپیوتر با یک برنامه کوچک BASIC چند خطی، ریاضیدانان را بسیار شگفت زده کرد، که انتظار داشتند چیزی پیچیده‌تری ببینند. این موضوع یک پیام ناخوشایند داشت. ریاضیدان بارنارد مورین یک دانشجوی دکتری داشت، آپری، فرزند آپری-پدر، نویسنده نظریه ناپسندی که می‌گوید مجموع مکعب‌های اعداد صحیح یک عدد گنگ است. به عنوان مثال...

**...**من این را نمی‌دانستم. پیشرفت ما بسیار مورین را ناراحت کرد، به ویژه وقتی که به او به طور ناآگاهانه اطمینان دادم که این روش می‌تواند سطح چهار گوشی که او را مشهور کرد، یعنی سطحی که توسط پوگ با سیم سیم‌کشی ساخته شده بود، سپس توسط ماکس دیجیتالی شده بود، را توصیف کند.

مورین ابروی خود را فرو کرد:

• نه، این غیر ممکن است! ....

**...**در آینده این را خواهیم دید. من همچنان متقاعد هستم که معکوس است. اما این جمله، همان جمله معروفی بود که ارکیمیدس به یک سرباز رومی گفت که او را در فکر کردنش مزاحم می‌کرد - Noli tangere circuleos meos!

به فرانسوی "نکن این دایره‌های من را لمس کن!"

در اینجا، این جمله بیشتر به این معنا بود "نکن این بیضی‌های من را لمس کن!"

**...**سپس آپری از کشف من، که می‌توانست سطح بوی را با یک سیستم بیضی‌های نیمکره‌ای تجهیز کند، برای ساخت اولین معادله ضمنی این اشیاء استفاده کرد:

f (x,y,z ) = 0

**...**مورین، که از من به عنوان یک نفر ناخوشایند در کارهای ریاضی خودش می‌دید، به آپری فشار داد که در رساله‌اش، بگوید که سوزه کشف کرده بود که چگونه بیضی‌ها را بسازد. ماکس این موضوع را رد نکرد، اما این امر نادرست است. اثبات در سellar من است: مدلی که من به ماکس آوردم تا آن را به طور رسمی کند.

**...**در نهایت، این همه کمی غیر منطقی است. این داستان برای نشان دادن این است که ریاضیدانان همچنان نمی‌توانند بهتر از فیزیکدانان باشند.

**...**پلی‌تکنیسین کولونا، پیشگام در زمینه تصاویر سه‌بعدی، از معادلات ما به طور کامل استفاده کرد، بدون اینکه منبع آنها را ذکر کند. اما یک جزئیات جالب وجود دارد، اگر شما روی صفحه نمایش تصاویر سطح بوی را ببینید. اگر "این" باشد، حتماً سه چین‌های کوچکی در نزدیکی قطب آن وجود خواهد داشت. یک عیب در تنظیم معادلات. جروم، پسر سوریو، این کار را به سرعت انجام داد و یک ضربه کوچک دیگر با چکش در نزدیکی قطب، نه چندان اهمیت نداشت. همچنان قابل انجام است، البته برای کسی که بخواهد.

**...**این داستان سطح بوی هنوز تمام نشده است. برای کامل بودن، یک شخصیت را معرفی کنیم: کارلو بومانی، یک میلیاردر ایتالیایی. من با او در یک سفر به مثلث برمه‌ها آشنا شدم (اما این یک داستان دیگر است). در آن زمان ما روی یخچالش، که از لحاظ لوکس به شما نفس را می‌گیرد، با سرعت در حال حرکت بودیم، به دنبال یک هرم غرق شده، که توسط چارلز برلیتز در یکی از کتاب‌هایش گزارش شده بود. ما هیچ هرمی پیدا نکردیم، و فقط تقریباً توسط بسیاری از ماهیان بزرگ که در این مناطق حضور داشتند، گرفتار شدیم. اگر شما یک اطلس دارید، جایی که این "هرم اتلانتیک" فرضی باید قرار داشته باشد، در جنوب غرب یک ریف به نام کای سال بالک، 50 مایل جنوب کوبا است.

**...**بین دو غروب و دو شام با کاویار، من به بومانی پیشنهاد کردم که یک تولید گسترده از سطح بوی را سponsor کند. ایده به او پسندید و ادامه داشت. بگوییم که سطح بوی که در سالن ریاضیات کاخ کشفیات پاریس قرار دارد، توسط بومانی پرداخت شد و توسط سوزه ساخته شد. مالک این امر قصد داشت یک نمایشگاه ایجاد کند و اشیاء را با سیم طلا ساخته شود. اما این کار به پیروزی نرسید. شگفت زده شده از سکوت طولانی‌اش، من به د văn‌های میلان تماس گرفتم. متاسفانه در فساد لوک پی دو گرفتار شده بود، و به زندان فرستاده شد، و علاقه‌اش به توپولوژی به طور غیرقابل جبرانی آسیب دید.

**...**پوشش دو لایه یک سطح بوی، تصویری از P2، یک کره S2 است (مراجعه کنید به Topologicon). پوگ این پوشش را با دو لایه سیم سیم‌کشی ساخت، یک اثر قابل توجه در تمام جوانب، اگرچه من شخصاً به سیم مسی و نمایش نیمکره-parallels بیشتر علاقه دارم. اما حتی در ریاضیات خالص:

• از طعم و رنگ نمی‌توان گفت.

**...**قبل از ارائه یادداشت، یک داستان دیگر. چارلز پو، در واقع، هفت مدل از سیم سیم‌کشی ساخته بود، که به او جایزه‌ای مهمی داد، که نشان دهنده مراحل متوالی چرخش کروی بود، که در آن زمان که من 5 دقیقه پیدا کنم تا آن را روی سایت قرار دهم، مورد بحث قرار خواهد گرفت، و که در سقف کافه دانشکده ریاضیات دانشگاه برکلی آ pend کرده بودند.

**...**ریاضیدانان از سراسر جهان به طور حجتی به این دنباله‌ای از تصاویر عالی می‌آمدند. اما یک شب، مدل‌ها سرقت شدند و هیچ کس نمی‌داند چه اتفاقی برای این هفت اشیاء افتاده است، که به طور کلی قابل فروش نبودند. چه کسی می‌توانست چنین معامله‌ای را بپذیرد؟ مگر اینکه یک موسسه غنی، نیم هنرمند و نیم ریاضیدان، این کار را با هدف نگهداری آنها در یک سellar امن، به منظور لذت دیدن این هفتمین عجیب‌ترین چیز جهان، چه به چه چیزی با سیم سیم‌کشی ساخته شده باشد.

**...**پوگ، با وجود مهارتش در کار با ماده، جسورانه‌ای برای ایجاد سری جدیدی نداشت.

**...**همانطور که قبلاً در ابتدای سایت گفتیم، زندگی خود ورنر بوی هنوز یک راز است. پس از اینکه سطحی را که به نام او بود، اختراع کرد، به طور واقعی در هوا محو شد، پس از رفتنش از دانشگاه. با وجود تحقیقاتش، هیلبرت نتوانست ردش را پیدا کند و همچنین معلوم نیست که او کجا دفن شده است.

**...**بیایید به ریاضیات بازگردیم. یادداشت زیر نسبتاً ساده خوانده می‌شود. از فرمول‌های 1 تا 8، هر دانش‌آموزی که بیدار باشد می‌تواند تصاویر بسیار زیبایی بسازد و بررسی کند که برش‌ها به طور واقعی با شکل 5 مطابقت دارند.

C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 اکتبر 1981) سری 1 - 269
هندسه. - یک نمایش تحلیلی از سطح بوی. یادداشت جان پیر پیت و جرمه سوریو، ارائه شده توسط اندré لیچنروویچ.

این یک نمایش تحلیلی از سطح بوی ارائه می‌شود که امکان رسم آن را فراهم می‌کند.

1. مقدمه.
**...**سطحی که توسط ریاضیدان ورنر بوی، دانشجوی هیلبرت، در سال 1901 اختراع شد، به خوبی به ریاضیدانان شناخته شده است. این سطح می‌تواند به عنوان مرکزی در چرخش کروی ( [1] و [2] ) عمل کند.

**...**در سال 1979 (ج.پی. پیت) یک مدل فلزی ساخته بود، که موقعیت‌هایی را که خطوط نیمکره‌ای باید اشغال کنند، نشان داد. کار دیگری که در سال 1980 با مجسمه‌ساز ماکس سوزه انجام شد، امکان ساخت یک مدل دوم را فراهم کرد که منحنی‌ها در صفحات قرار داشتند و به نظر می‌رسید به بیضی‌ها نزدیک بودند. از این مدل، به نظر می‌رسید که می‌توان یک نمایش تحلیلی از یک سطح با توپولوژی سطح بوی ساخت، که نیمکره‌های آن بیضی‌هایی با یک قطب منحصر به فرد باشند.

**2. چگونه سطح بوی را با بیضی‌ها تولید کنیم. **

**...**قطب را در مبدأ مختصات قرار دهید. در این نقطه، سطح به صفحه (XOY) مماس خواهد بود. بنابراین، محور OZ به عنوان محور سه گانه تقارن خواهد بود (مشاهده شکل 1). منحنی‌های نیمکره‌ای بنابراین بیضی‌هایی در صفحات Pm هستند. OX1 را ردیف در صفحه XOY از صفحه Pm بنامید. می‌گوییم m زاویه (OX,OX1) است. در این صفحه Pm یک محور دیگر OZ1 را قرار دهید که عمود بر OX1 است. و می‌گوییم a زاویه (OZ, OZ1) است.

شکل 1 و شکل 2

**...**پارامتر اول این نمایش تحلیلی زاویه m خواهد بود. ما زاویه a را به عنوان تابعی از m در نظر می‌گیریم (که در ادامه تعریف خواهد شد). در صفحه Pm اکنون یک بیضی را رسم می‌کنیم که در O به OX1 مماس است (شکل 2). ما محورهای این بیضی را موازی با نیم‌سازهای X1OZ1 می‌گیریم. ما A(m) و B(m) را مقادیر محورهای این بیضی می‌نامیم. این بیضی Em توسط یک پارامتر آزاد دیگر q ایجاد می‌شود.

**...**به طور خلاصه، ما مختصات X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) یک نقطه روی سطح را به دست خواهیم آورد.

**...**در این رویکرد نیمه تجربی، اندازه‌گیری‌های انجام شده توسط (ج.س.) روی مدل به یک تقریب از توابع a(m), A(m) و B(m) اجازه داد. سطح سپس با کامپیوتر "Apple-II" رسم شد و ما برش‌هایی در Z = Cte به دست آوردیم، بررسی این برش‌ها به ما اجازه داد تا هویت توپولوژیکی با سطح بوی را تعیین کنیم. این سطح فقط با یک آزمایش عددی (ج.س.) قابل دستیابی بود که به این معنا بود که جفت‌های تکثیر غیر مرتبط (ظهور جفت‌های نقاط سریع) را حذف کرد.

**...**ما به این نتیجه رسیدیم: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)

(3)

**...**در مختصات X1 O Z1 مختصات مرکز بیضی Em: (4)

(5)

**...**در همان مختصات، مختصات یک نقطه روی بیضی: (6)

(7)

و مختصات x , y , z به صورت زیر داده می‌شوند:
(8)