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...Un élément gp du groupe de Poincaré Gp est défini par un ensemble de paramètres {pi}, dont le nombre, par définition, est la *dimension du groupe *. La matrice dg (g=e) est construite à partir de l'ensemble {dpi} . Ainsi, l'application précédente correspond à l'action antiparallèle :
(242) AA : {dpi} --> {dpi'}
Pour introduire la dualité et construire l'application duale, nous supposons la constance du scalaire :
(243)
La dimension du groupe de Poincaré est 10, d'où nous avons dix scalaires { Ji }, composantes du moment Jp** **.
Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Nous décidons de le diviser en deux objets :
(244) Jp** **= { M , P }
Le premier, M , est une matrice antisymétrique (4,4).
P est le vecteur quadridimensionnel (4,1)
(245)
Alors :
(246) Jp= { M , P } = { M , p , E} Écrivons le produit scalaire comme suit :
(247)
Tr signifie trace. La constance du produit scalaire donne (248)
avec :
(249)
(249b)
(249c)
mais GG = 1 . Alors :
(250)
(250b) (251)
c’est-à-dire :
(252) (252b)
(252c)
(253)
Cette action coadjointe peut être mise sous forme matricielle :
L'élément du groupe de Poincaré est :
(254)
Sa transposée est :
(255)
Considérons la matrice :
(256)
écrivons :
(257)
(258)
(259)
qui sera identifiée à la matrice :
(260)
Alors Jp est le moment du groupe de Poincaré, mis sous forme matricielle et l'action coadjointe est :
(261)
Exercice : vérifier qu'il s'agit bien d'une action.
La matrice-moment correspond à :
(262)
La diagonale d'une matrice antisymétrique M est constituée de zéros.
(263)
Elle dépend de six paramètres.
(264) ( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Écrivons la matrice :
(265)
Les trois dernières composantes ( fx , fy , fz) forment ce que Souriau appelle le **vecteur de passage f **:
(266)
Les premières ( lx , ly , lz) sont les composantes indépendantes d'une matrice antisymétrique (3,3), que Souriau appelle la matrice de spin. (267)
d'où :
(268)
Le vecteur P est le *quadrivecteur impulsion-énergie *:
(269)
Le moment du groupe de Poincaré peut alors s'exprimer sous sa forme la plus générale :
(270)
Il possède dix composantes :
(271)
Jp = { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E** , p , f , l** }
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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...An element gp of the Poincaré's group Gp is defined by a set of parameters {pi}, whose number is, by definition the *dimension of the group *. The matrix dg (g=e) is built from the set {dpi} . So that the precedent mapping corresponds to the anti action :
(242) AA : {dpi} --> {dpi'}
To introduce duality and build the dual mapping, we assume the constancy of the scalar :
(243)
The dimension of the Poincaré's group is 10, whence we have ten scalars { Ji }, components of the moment Jp** **.
Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
We decide to split this into two objects :
(244) Jp** **= { M , P }
The first, M , is a (4,4) antisymmetrical matrix.
P is the four-vector (4,1)
(245)
Then :
(246) Jp= { M , P } = { M , p , E} Write the scalar product as :
(247)
Tr means trace. The constancy of the scalar product gives (248)
with :
(249)
(249b)
(249c)
but GG = 1 . Then :
(250)
(250b) (251)
i.e :
(252) (252b)
(252c)
(253)
This coadjoint action can be put into a matrix form :
The element of the Poincaré's group is :
(254)
Its transposed is :
(255)
Consider the matrix :
(256)
write :
(257)
(258)
(259)
which will be identified to the matrix :
(260)
Then Jp is the momentum of the Poincaré's group, put into a matrix and the coadjoint action is :
(261)
Exercice : check this is an action.
The momentum-matrix corresponds to :
(262)
The diagonal of an antisymmetrical matrix M is made of zeros.
(263)
It depends on six parameters.
(264) ( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Let us write the matrix :
(265)
The last three components ( fx , fy , fz) form what Souriau calls the **passage vector f **:
(266)
The first ( lx , ly , lz) are the independant component of an antisymmetric matrix (3,3), which Souriau calls the spin matrix. (267)
whence:
(268)
The vector P i the *impulsion-energy *four-vector :
(269)
Then the momentum of the Poincaré's group can be explicited in its more general form :
(270)
It owns ten components :
(271)
Index Dynamic Groups Theory