گروه‌ها و عملیات هم‌مکان فیزیکی تکانه

گروه‌ها و عملکرد هم‌مکان فیزیکی تکانه

...در همین مسیر باید توجه داشت که سیستم پیشنهادی به کودک ناقص است. این سیستم تنها در صورتی کارایی خوبی دارد که اشیاء ارائه شده، آن‌هایی باشند که همراه با خود بازی فروخته شده‌اند. توجه داشته باشید که قسمت "استوانه‌ها" امکان ورود استوانه‌هایی با شعاع یکسان اما طول‌های متفاوت را فراهم می‌کند، همچنین می‌توان از دوک، چنگال، کلید قفل و غیره استفاده کرد...

...منطقی است که کودکی که این آموزش گروهی را می‌پذیرد، نتیجه بگیرد که یک کلید قفل و یک استوانه اشیاء هم‌جنس هستند. این درست است، به این معنا که این اشیاء ویژگی مشترک "ورود به آن سوراخ" را دارند.

...دخترم، وقتی بسیار جوان‌تر بود، تجربیات بسیار جالبی در مورد گروه‌ها انجام داد، با استفاده از ورودی و فیلتر، ورودی خواننده کامپیوتر من. برای بازسازی مسیر او، که در نهایت منطقی بود، نیاز به بازکردن کامل دستگاه پس از قطع برق بود. امروزه همچنان به گروه‌ها علاقه‌مند است. اما این گروه‌ها متفاوت هستند و این انتخاب‌ها برای من جذاب نیستند.

...بیایید دوباره به کودکی که قبلاً معرفی کردیم بازگردیم. چند ماه بعد، شما همان کودک را با گروه گالیله آشنا خواهید کرد، با پرتاب اشیاء به او و تشویق به گرفتن آن‌ها. در اینجا شکل اشیاء مهم نیست، بلکه حرکت‌های آن‌ها حائز اهمیت است. ما گروه را عوض می‌کنیم. برای نوزاد، شیء (به اندازه کوچکی که بتواند آن را بگیرد) به مرکز جرم خود تبدیل می‌شود. این یک "نقطه جرمی" یا "نقطه مادی" است. گروه گالیله، دینامیک نقاط مادی را مدیریت می‌کند.

در اینجا طبقه‌بندی بر اساس نوع حرکت انجام می‌شود.

• این را می‌توانم بگیرم.

• این را نمی‌توانم بگیرم.

...با توجه به شرایط اولیه، موقعیت و بردار سرعت، نوزاد باید نوع حرکتی را که با آن مواجه است تشخیص دهد و پیش‌بینی کند.

...وقتی بزرگ شود، شاید تنس بازی کند، همیشه با استفاده از گروه گالیله که مانند گروه اقلیدس، یک ماتریس مربعی است. از آنجا که توپ‌های تنس با سرعت‌های بسیار کم نسبت به سرعت نور حرکت می‌کنند، نیازی به استفاده از گروه پوانکاره (که یک ماتریس مربعی دیگر است و حرکات نسبیتی نقاط مادی را مدیریت می‌کند) نخواهد داشت.

...با این حال، نقاط مادی که توسط گروه گالیله مدیریت می‌شوند، دیگر نقاط گروه اقلیدس نیستند؛ آن‌ها دارای ویژگی‌های متفاوتی هستند. دانشمند فیزیک ریاضی که با گروه گالیله کار می‌کند، دیگر به "نقطه مادی" صحبت نمی‌کند، بلکه به "حرکت" می‌پردازد. آنچه او می‌خواهد طبقه‌بندی کند، حرکت‌هاست. در اینجا با یک جنبه اساسی فیزیک ذرات بنیادی مواجه می‌شویم: ما به دنبال توصیف فنومنولوژیکی برای آن‌ها هستیم:

به من بگو چگونه حرکت می‌کنی، من به تو می‌گویم چه هستی.

...ما دیگر به دنبال این نیستیم که بدانیم "ذره از چه چیزی ساخته شده است"، بلکه به دنبال این هستیم که بدانیم چگونه رفتار می‌کند. به همین دلیل ذرات بی‌بار به همان شکلی که ذرات باردار رفتار نمی‌کنند، رفتار می‌کنند. آن‌ها به گونه‌های مختلفی تعلق دارند. آن‌ها ویژگی‌های متفاوتی دارند.

...این نوزادی که قبلاً معرفی کردیم، اگر فیزیکدان انرژی بالا شود، شاید روزانه عکس‌هایی از کمپرسیون بوله (کمره بوله) بررسی کند.

عکس‌های به دست آمده با استفاده از کمره بوله (طرح...) ...عکس سمت چپ: یک پروتون، یک نوترون و یک الکترون از میدان کمره عبور کرده‌اند. این کمره تحت میدان مغناطیسی عمود بر صفحه تصویر قرار دارد. نوترون بدون بار الکتریکی، این میدان را نادیده می‌گیرد و مستقیم می‌رود. ذرات باردار دارای شعاع‌های گردش (شعاع لارمور) بسیار متفاوتی هستند. الکترون‌های سبک در میدان مغناطیسی عمود بر جهت مسیرشان، بسیار سریع‌تر از پروتون‌های سنگین می‌چرخند. و هر دو در جهت مخالف می‌چرخند.

مجموعه‌ای از حرکت‌ها در میدان مغناطیسی، که توسط...

اما این گروه هنوز وجود ندارد. اگر آن را پیدا کنید، خوشحال خواهید کرد.

...هرچند، این مرد، با بررسی عکس‌های خود، مسیرهایی را تشخیص می‌دهد که به مجموعه‌های مختلفی از حرکت‌ها تعلق دارند.

• این مستقیم می‌رود، یک نوترون است.

• این به آرامی به سمت راست می‌چرخد، یک پروتون است.

• این به سرعت به سمت چپ می‌چرخد، یک الکترون است.

...عکس سمت راست: یک الکترون و یک آنتی‌الکترون که از همان تابش (خط نقطه‌ای) به وجود آمده‌اند، مسیرهای متقارنی دارند، که نشان‌دهنده دارا بودن بارهای الکتریکی مخالف است.

طبقه‌بندی رفتاری گونه‌ها به عنوان مجموعه‌هایی از حرکت.

تکانه زاویه‌ای.

...این شیء خالص هندسی می‌تواند به عنوان مجموعه‌ای از ویژگی‌ها در نظر گرفته شود. بیایید ذرات باردار را کنار بگذاریم و بعداً به آن‌ها بازگردیم. یک "نقطه مادی نسبیتی" دارای ویژگی‌هایی است که مطابق با آنچه ریاضیدان جان-ماری سوریو، رهبر در زمینه فیزیک ریاضی، در یک شیء به نام تکانه مرتبط با گروه پوانکاره گروه‌بندی کرده است.

ویژگی‌های نقطه مادی نسبیتی عبارتند از:

• انرژی E

• تکانه p - چرخش l (مربوط به اسپین)

• عبور f

بنابراین "تکانه" به صورت زیر است:

J = { E , p , l , f }

نکته عابر:

...بنابراین، در تمام موارد بعدی، مقدارهای اسکالر با حروف نازک و مقادیر غیراسکالر (ماتریس‌های مربعی، ماتریس‌های سطری، ماتریس‌های ستونی) با حروف ضخیم نشان داده می‌شوند.

...توضیح: در این حالت، تمام ضرب‌های ماتریسی سطر-ستون می‌توانند با استفاده از حروف نازک یا ضخیم انجام شوند که بسیار مفید است. مثالی بزنیم. عمل گروه اقلیدس 2D به صورت زیر نوشته می‌شد:

با معرفی:

خواهیم داشت:

g به صورت یک ماتریس، خودش شامل زیرماتریس‌هاست:

• a یک ماتریس مربعی با ابعاد (2,2) است.

• c یک بردار ستونی (بردار انتقال) با ابعاد (2,1) است.

• 0 یک بردار سطری با ابعاد (1,2) است:

در حالت کلی، 0های ضخیم به طور مساوی می‌توانند بردارهای سطری یا ستونی باشند.

عمل به صورت زیر نوشته می‌شود:

از آنجا که a r به معنای a × r است (اما در نهایت علامت ضرب ماتریسی را نادیده می‌گیریم).

پایان نکته عابر، بازگشت به موضوع تکانه. بیایید به عبارت تکانه در مورد نقطه مادی نسبیتی بازگردیم.

J = { E , p , l , f }

E یک اسکالر (انرژی) است.

p بردار تکانه است.

l و f (حروف ضخیم) بردارهای دیگری هستند (lx, ly, lz) و (fx, fy, fz): "چرخش" و "عبور".

...در طول کارهای شخصی که در این زیرسایت فیزیک هندسی B (گروه‌های دینامیکی فیزیک) ارائه خواهیم کرد، مسئله این خواهد بود که ویژگی‌های دیگری از ذرات بنیادی را به عنوان بخشی از یک تکانه غنی‌تر (بارها: الکتریکی، بارونیک، لپتونیک، تائونیک و ضریب گیرومغناطیسی) به وجود بیاوریم.

...سوریو بود که در دهه 1970 روشی را ساخت که امکان ظهور مؤلفه‌های تکانه یک نقطه مادی را از طریق گروهی که آن را مدیریت می‌کند (در حالت نسبیتی، گروه پوانکاره) فراهم کند. به کتاب: Structure des Systèmes Dynamiques. Dunod 1973 مراجعه کنید.

داروی ضد سردرد به شدت توصیه می‌شود.

...بدون استفاده از ابزار ریاضی گسترده و گاهی پیچیده، پیش‌بردن این مسیر دشوار است. احتمالاً در آینده، اگر علاقه‌مندانی وجود داشته باشند، در سبک "همه چیزی که همیشه خواسته بودید درباره گروه‌ها بدانید، اما هرگز شجاعت نداشتید بپرسید"، این کار را انجام خواهیم داد.