گروه‌ها و عملیات هم‌هم‌گرد فیزیک تکانه

گروه‌ها و عمل کوآدیونت تکانه فیزیک

ما قصد نداریم مؤلفه‌های تکانه گروه بارگمن را بنویسیم. به صورت ساده‌شده، تکانه گروه بارگمن را به این صورت می‌نویسیم:

JB = { یک اسکالر m، به علاوه سایر مؤلفه‌های تکانه }

عمل کوآدیونت نشان می‌دهد که چگونه مؤلفه‌های مختلف تکانه تبدیل می‌شوند. اما این عمل کوآدیونت با رابطه ساده زیر شروع می‌شود:

(63) m' = m

عمل کوآدیونت گروه بارگمن بر تکانه‌اش با حفظ جرم شروع می‌شود، که بدین ترتیب یک وضعیت کاملاً هندسی به خود می‌گیرد.

ساخت عمل کوآدیونت گروه پوانکاره بر فضای تکانه‌های آن، Jp**.**

اگر اکنون کاملاً گیج شده‌اید، بگذارید آن را رها کنید. این طبیعی است و با پیش رفتن صفحات، سخت‌تر خواهد شد. در این مرحله دیگر نمی‌دانم این مطلب به چه کسانی مربوط می‌شود. احتمالاً به فیزیک‌دانان نظری یا ریاضیدانان، اما قطعاً به کارگران ساختمانی یا سقف‌کاران نه. اما یک دانشجوی دانشکده بزرگ یا دانشجوی کارشناسی فیزیک که پایدار بماند، می‌تواند دنبال کند. اینها فقط ماتریس‌ها هستند.

همه چیز از یک گروه ماتریس‌های به ابعاد (4,4) شروع می‌شود که گروه لورنتس را تشکیل می‌دهند و عضو آن L است.

این ماتریس‌ها به صورت اکسیوماتیک از طریق یک ماتریس G تعریف می‌شوند:

(64)

بر اساس:

(65) tL G L = G

که در آن tL نشان‌دهنده ترانهاده ماتریس L است.

ماتریس‌های L یک گروه را تشکیل می‌دهند.

اثبات.

عضو خنثی L = 1 است:

فرض کنید L1 و L2 دو عضو مجموعه باشند. بررسی می‌کنیم که آیا حاصلضرب L1L2 به گروه تعلق دارد یا خیر. اگر اینطور باشد:

t( L1L2 ) G L1L2 = G

اما:

t( A B ) = t B t A

بنابراین:

t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2

اکنون معکوس ماتریس L را محاسبه می‌کنیم. از تعریف اکسیوماتیک عناصر L شروع می‌کنیم:

tL G L = G

از سمت راست با L-1 ضرب می‌کنیم:

tL G L L-1 = G L-1

tL G = G L-1

از سمت چپ با G ضرب می‌کنیم:

G tL G = G G L-1

G tL G = L-1

بنابراین معکوس ماتریس L عبارت است از:

L-1 = G tL G

یعنی:

(66)

بردار فضا-زمان. ماتریس G از متریک مینکوفسکی به دست می‌آید که می‌توان آن را به صورت زیر (با c = 1) نوشت:

(67)

تمرین: نشان دهید که معکوس ماتریس به شرط زیر پاسخ می‌دهد:

(68)

سپس یک بردار انتقال فضای-زمانی معرفی می‌کنیم:

(69)

از این بردار، عضو gp گروه پوانکاره ساخته می‌شود:

(70)

تمرین: نشان دهید که این یک گروه تشکیل می‌دهد و معکوس ماتریس را محاسبه کنید:

(71)

در ادامه، بردار مماس بر گروه، یعنی عضو «جبر لی» آن، به صورت زیر است:

(72)

از این مبنایی، عمل ضد-عمل را محاسبه می‌کنیم:

(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp

به منظور سهولت محاسبه، متوجه می‌شویم که:

(74) G d L

یک ماتریس ضد متقارن است. آن را به این صورت نام‌گذاری می‌کنیم:

(75)

بنابراین:

(76)

فرض می‌کنیم:

(77)

از این مواد، عمل ضد-عمل را تشکیل می‌دهیم:

(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp

پس از تمام محاسبات، به کاربرد زیر خواهیم رسید:

(79)

اگر می‌خواهید این بخش ساده محاسبات ماتریسی را بپردازید، به معادله (80) در پایین صفحه مراجعه کنید.

(79a)

(79b)

بنابراین مؤلفه‌های عمل ضد-عمل به صورت زیر هستند:

(79c)

اما:

(79d)

بنابراین:

(79e)

اما GG = 1، بنابراین:

(79f)

از این رو، کاربرد زیر به دست می‌آید:

(79g)

که این کاربرد، عمل ضد-عمل مورد نظر است، کاربرد:

(80)