گروه‌ها و عملیات هم‌هم‌پیوسته فیزیکی تکانه

گروه‌ها و عملیات هم‌مکانی فیزیکی تکانه

(91)

این عمل هم‌مکانی را می‌توان به صورت ماتریسی نوشت.

ماتریس گروه پوانکاره به صورت زیر است:

(92)

ترانهاده آن به صورت زیر است:

(93)

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

(94)

یعنی ما تکانه

(95) Jp = { M , P }

را به صورت ماتریسی قرار می‌دهیم و حاصلضرب زیر را تشکیل می‌دهیم:

(96)

(97)

(98)

که می‌توانم آن را با ماتریس زیر شناسایی کنم:

(99)

بنابراین Jp تکانه گروه پوانکاره است که به صورت ماتریسی نمایش داده شده است. و عمل هم‌مکانی به صورت زیر نوشته می‌شود:

(100)

به عنوان تمرین، خواننده می‌تواند با استناد به اصول، بررسی کند که این عمل واقعاً یک عمل است.

تکانه گروه پوانکاره می‌تواند به صورت زیر تفصیل داده شود:

(101)

این ماتریس ضد متقارن است (که نتیجه می‌شود قطر اصلی آن از صفر تشکیل شده است). ماتریس M به صورت زیر است:

(102)

توضیح آن:

(103)

این واقعاً یک ماتریس ضد متقارن است، فرضی که از ابتدا مطرح شده و بستگی به شش پارامتر دارد:

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

سه پارامتر آخر ( fx , fy , fz ) مؤلفه‌های یک بردار، بردار-**انتقال f **هستند:

(105)

سه پارامتر اول ( lx , ly , lz ) مؤلفه‌های مستقل یک ماتریس ضد متقارن (3,3)، **چرخش l **هستند:

(106)

بنابراین:

(107)

بردار P چهار بردار تکانه-انرژی است:

(108)

در نتیجه می‌توان تکانه گروه پوانکاره را به طور کلی به صورت زیر نمایش داد:

(109)

می‌توان بررسی کرد که این واقعاً یک شیء ده مؤلفه‌ای است (تعداد برابر با ابعاد گروه).

(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}