گروه‌ها و عملیات هم‌هم‌گرد فیزیک تکانه

گروه‌ها و عملکرد هم‌مکانی فیزیکی تکانه

ذرات با اسپین.

گروه پوانکاره حرکت نسبیتی یک جسم نقطه‌ای را توصیف می‌کند. به‌طور مشابه، گروه بارگمن، که بیان آن در ادامه داده خواهد شد، حرکت غیرنسبیتی یک جسم نقطه‌ای را توصیف می‌کند که در اینجا به آن «جرم نقطه‌ای» گفته می‌شود.

بنابراین، این روش، یعنی محاسبه عملکرد هم‌مکانی گروه بر فضای تکانه، به ظهور عناصر پنهان و ویژگی‌های جسم منجر شده است: مؤلفه‌های تکانه.

آنچه قابل توجه است این است که این روش، که به سوروی برمی‌گردد، اشیاء کلیدی فیزیک را به‌عنوان اشیاء صرفاً هندسی به نمایش می‌گذارد. بنابراین، او کاری بی‌سابقه در هندسه‌گرایی فیزیک انجام داده است.

به جز انرژی و تکانه، مؤلفه‌های دیگر، یعنی «چرخش» و «عبور»، به‌طور قابل توجهی فیزیک‌دان را سردرگم می‌کنند. چه چیزی این است؟

بیان مؤلفه‌های تکانه به‌طور واضح به سیستم مختصات انتخاب‌شده بستگی دارد.

ساده‌ترین راه احتمالاً بازگشت کوتاه به مکانیک غیرنسبیتی، یعنی به بیان عملکرد هم‌مکانی، به‌گونه‌ای که از تحلیل گروه بارگمن به‌دست آمده باشد، است.

(111)

فرمول مرموز. این چه کاربردی دارد؟ چگونه کار می‌کند؟

در این قاب، فیزیک‌دان اشیاء آشنا را تشخیص خواهد داد:

(112)

تنها دو بیان بردار سرعت { vx , vy , vz } هستند، اولی به‌صورت ماتریس ستونی و دومی به‌صورت ماتریس سطری. حاصلضرب این دو ماتریس یک اسکالر است:

(113)

چیزی که شروع به شباهت به انرژی جنبشی می‌کند.

m v تکانه است.

فیزیک‌دان سنتی، در مورد دینامیک یک ذره، تنها سه چیز را می‌شناسد:

• جرم m
• تکانه m v
• انرژی جنبشی 1/2 mv²

بله، اما سرعت نسبت به چه چیزی؟

یک گروه، همچنین یک نگاه به چیزهاست. می‌توانیم یا این‌که فرض کنیم با استفاده از گروه، اشیاء را (همان‌طور که در گروه اقلیدسی دیدیم) نسبت به یک مشاهده‌گر ثابت جابه‌جا می‌کنیم، یا این‌که اگر جسم ثابت باشد، آن را به‌صورت دیگری مشاهده کنیم.

اگر این جابجایی، انتقال اشیاء را در نظر بگیریم، در مورد گروه‌های دینامیکی، یعنی گروه‌های فیزیک (در مقابل گروه اقلیدسی که زمان در آن ظاهر نمی‌شود)، باید بگوییم که ما اشیاء را به‌حرکت درمی‌آوریم و به آن‌ها سرعت v و انرژی E می‌دهیم.

اما اگر دیدگاه معکوس را اتخاذ کنیم: فرض کنیم جسم ثابت است و ما خودمان حرکت می‌کنیم، چه معنایی به گروه‌ها می‌دهیم؟

گروه اقلیدسی در این صورت به این معناست: «دیده شده از جای دیگر و زاویه‌ای دیگر».

«جای دیگر»، بردار انتقال است:

(114)

«دیده شده از زاویه‌ای دیگر»، ماتریس چرخش a است، یعنی یک چرخش در فضا (که می‌توانیم با زوایای اویلر توضیح دهیم، که ما این کار را انجام نخواهیم داد).

در مورد گروه‌های دینامیکی، این نگاه، این دیدگاه به «چیزها» باید غنی‌تر شود. در چارچوب گروه بارگمن، ورود این سرعت v به این معناست که مشاهده‌گر، که این جرم نقطه‌ای را از جای دیگر (بردار انتقال c) و زاویه‌ای دیگر (ماتریس چرخش a) مشاهده می‌کند، همچنین نسبت به این جرم نقطه‌ای که فرض شده ثابت است، با سرعت v در حال حرکت است.

و برای کامل بودن، برای پیچیده‌تر کردن موضوع، او در زمان یکسان با ذره، یعنی جرم نقطه‌ای مشاهده‌شده، حرکت نمی‌کند. او نسبت به آن با فاصله زمانی Dt جابه‌جا شده است. به عبارت دیگر: او از جای دیگر مشاهده می‌کند، اما این جای دیگر، یک جای دیگر فضای-زمانی است که با بردار انتقال فضای-زمانی زیر مطابق است:

(115)

با این «بازدید» از این جرم نقطه‌ای، چه چیزی مشاهده می‌کنم؟ اول اینکه: m' = m

این جرم را تحت تأثیر قرار نمی‌دهد. می‌توانم زندگی‌ام را ساده‌تر کنم و چرخش را حذف کنم. کافی است که یک جرم نقطه‌ای را از جای دیگر، در زمان دیگری، جابه‌جا شده، روی یک اسکیت‌برد که با سرعت v حرکت می‌کند، مشاهده کنم. آیا ضروری است که سر خود را بپیچانم؟

نه. فرض کنیم a = 1.

اما این جزئیات معمولاً در محاسبات نادیده گرفته می‌شود. عملکرد هم‌مکانی، به این شکل خاص، به صورت زیر می‌شود:

(117)

در اینجا «در نظر گرفتن» باید به معنای اصلی و اتیمولوژیکی آن در نظر گرفته شود. وقتی یک موقعیت، آسمان، میدان نبرد یا فیلم گرفته‌شده توسط یک هواپیمای جاسوسی را در نظر می‌گیرم، چه کار می‌کنم؟

یک دادستان می‌نویسد:

• با توجه به وضعیت مکان...

دیدی استاتیک، متناظر با گروه اقلیدسی. دادستان اشیاء را در فاصله c، در همان لحظه (Dt = 0)، به‌طور ایده‌آل ساکن ( v = 0) مشاهده می‌کند. در مواردی که لازم باشد، زاویه‌ای خاص، «در یک زاویه خاص».

یک فرمانده، که در یک هواپیمای پلیسی قدم می‌زند، نوعی دادستان است که در حال حرکت است ( v # 0).

اما یک فرمانده ارشد که فیلم گرفته‌شده توسط یک هواپیمای جاسوسی، یعنی یک «دران»، را تماشا می‌کند، با یک موقعیت که در زمان دیرتر است، مواجه است. او مجبور است بگوید:

• فرض کنیم هدف را از این نقطه، در حال چرخش مایل، با این سرعت، و علاوه بر این، همان‌طور که دو ساعت پیش بود، مشاهده کنیم...

هدف سرعت خاصی ندارد. حتی اگر «یک نصب ثابت» باشد، نمی‌توان آن را ثابت در نظر گرفت. حتی زمین حرکت می‌کند، خورشید نیز، کهکشان نیز، و غیره.