ریاضیات هندسه سطح توپولوژی

چگونه یک سطح کراس کپ را به سطح بوی تبدیل کنیم (راست یا چپ، به انتخاب شما)

با عبور از سطح رومانی استاینر.

ایتالیایی: آندره سامبوسیتی، دانشگاه رم

../../Crosscap_Boy1.htm

27 سپتامبر - 25 اکتبر 2003

صفحه 2

اینجا یک "سطح کراس کپ" (همانطور که شما آن را در تصاویر واقعیت مجازی کشف کرده‌اید) آمده است. این سطح دو نقطه گوشه‌دار دارد که رأس‌های یک خط خود‌تقاطع هستند. می‌توانید آن را با فشار دادن یک بالون با گیره‌های موهای کوچک بسازید. اما می‌توانید نمایش‌های چندضلعی آن را نیز بسازید. آنچه در پایین آمده، به ویژه ما را جذب می‌کند.

در جدول 4، چیز سخت‌ترین چیزی است که باید یاد بگیرید. به نظرم غیرممکن است کسی بتواند این اشیاء را به خوبی درک کند فقط با نگاه کردن به تصاویر. مدل‌های فیزیکی بسازید. به زبان ساده، نقطه گوشه‌دار C2 را به سمت "داخل سطح" کشیده می‌کنیم (که در همین میان، به نظر می‌رسد که این کار معنایی ندارد، چون به احتمال زیاد فوراً متوجه شده‌اید که سطح کراس کپ یک‌وجهی است: یک سطح خارجی و یک سطح داخلی ندارد). با ادامه دادن این فرآیند، سطح خود را "عبور می‌دهد" و مجموعه خودتقاطع کامل می‌شود، کمی گرد کردن اشیاء، با یک منحنی به شکل 8. به طور تصادفی، یک نقطه سه‌گانه T ایجاد شده است.

سطح در شکل چندضلعی خود قابل درک‌تر است و در پایین، برخی از عناصر را بزرگ‌نمایی کرده‌ایم تا نشان دهیم چه چیزی ما را مجبور به تبدیل این شیء به سطح رومانی استاینر می‌کند (به شبیه‌سازی واقعیت مجازی مراجعه کنید)، که ساده‌ترین شکل چندضلعی آن شامل ترکیب چهار مکعب است (در اینجا فقط سه مکعب دیده می‌شود).

جدول 5: نسخه چندضلعی در سمت چپ، گرد در سمت راست. فلش از نقطه‌ای عبور می‌کند که قصد داریم "بگیریم". در پایین‌تر، شروع عملیات "بستن".

جدول 6: عملیات بستن انجام شده و یک نقطه تکین B ایجاد می‌کند. در واقع، از آنجا که از دو طرف بسته می‌شود (برای صرفه‌جویی در زمان)، دو نقطه تکین S1 و S1 ایجاد می‌شود، سپس دو نقطه گوشه‌دار. در این مرحله، بدون کاغذ بروشی، قیچی و نوار چسب، در مشکل هستید.

جدول 7: اینجا ما فقط نقاط گوشه‌دار مختلف را جابجا کرده‌ایم. اگر نقطه C2 "مشهود" باشد، احتمالاً دشواری بیشتری در شناسایی نقاط C3 و C4 به عنوان گوشه‌دار خواهید داشت. با این حال، آنها در انتهای یک خط خودتقاطع قرار دارند. بالای نقطه C3 فقط آنچه من "پوزیکون" نامیده‌ام قرار دارد، یعنی نقطه‌ای که منحنی مثبت متمرکز است (نقطه‌ای که منحنی منفی متمرکز است، من آن را "نگاکون" می‌نامم). با کمی تغییر شکل این شیء، به شکل چندضلعی سطح رومانی استاینر می‌رسیم (این شکل توسط استاینر در رم اختراع شد؛ به تصویر واقعیت مجازی او مراجعه کنید).

بنابراین بازی تمام شد. انواع مختلفی از سطوح وجود دارد، بسته به قوانینی که شما تعیین می‌کنید. سطوحی که خودشان خودتقاطع نمی‌کنند، "جایگذاری‌ها" (از کره یا تور در R3) نامیده می‌شوند. اما وقتی خودتقاطع می‌کنند، اما صفحه مماس به صورت پیوسته بدون تغییر شکل تغییر می‌کند، به آنها نفوذ گویند. به عنوان مثال: بطری کلین، در نمایش سنتی خود. در R3، نمایشی از بطری کلین به صورت جایگذاری وجود ندارد: حتماً خودتقاطع خواهد داشت. نفوذها مجموعه‌های خودتقاطع بدون نقاط گوشه‌دار دارند. این مجموعه‌ها منحنی‌های پیوسته هستند، اما می‌توانند در نقاط دوگانه یا سه‌گانه هم‌پوشانی داشته باشند. مشاهده: کره را می‌توان به صورت یک نفوذ (که جایگذاری نیست) با خودتقاطع ساخت. در واقع، این روشی است که با آن می‌توان آن را معکوس کرد (به روش آ.فیلیپس، 1967 مراجعه کنید، که مرحله اصلی آن پوشش دوگانه یک سطح بوی است؛ و همچنین به ب.مورین و ج.پ.پیته، 1979 مراجعه کنید، که مدل مرکزی آن مدل "چهار گوش" مورین است که در پایین یک نمایش چندضلعی آن را که ده سال پیش خودم اختراع کرده‌ام، می‌بینید).

طرح ساخت این شیء با کاغذ و قیچی

اگر قوانین بازی را گسترش دهیم و بپذیریم که این اشیاء می‌توانند نقاط گوشه‌دار هم داشته باشند، به نفوذهای مجموعه‌ای (کراس کپ، سطح رومانی استاینر) می‌رسیم. نمی‌دانم که آیا "نفوذ مجموعه‌ای" اصطلاح درستی است، اما چون هیچ ریاضیدانی را نیافت که به من کمک کند این مفهوم را روشن کند، لذت بخش بود که یکی را به صورت موقت اختراع کنم، تا زمانی که یک متخصص هندسه پیش بیاید. بنابراین، سطح کراس کپ و سطح رومانی استاینر هر دو نفوذ مجموعه‌ای از "صفحه پروژکتیو" هستند.

به شما بگویم صادقانه، پس از بیست و پنج سال فعالیت و ناامیدی‌هایم در زمینه مگنتو-هیدرودینامیک، این کارها را شروع کردم چون به نظرم بیشترین فاصله را از هرگونه کاربرد نظامی داشتند. اما، همانطور که دوست قدیمی من مین به من یادآوری کرد، اصطلاح "نفوذ مجموعه‌ای" ممکن است باعث سردرگمی شود و به نیروی دریایی این احساس را بدهد که از طریق این تحقیقات، سعی در پنهان کردن پیشرفت‌هایی در زمینه موتورهای زیردریایی دارم.

قوانین "ایجاد-حل کردن" جفت نقاط گوشه‌دار امکان تبدیل یک نفوذ مجموعه‌ای از یک شیء به نفوذ مجموعه‌ای دیگر را فراهم می‌کند، و همین کار را انجام دادیم، نشان دادیم که کراس کپ و سطح رومانی استاینر دو نفوذ مجموعه‌ای از یک شیء یکسان هستند، که به آن صفحه پروژکتیو معروف است. سعی نکنید یک "صفحه پروژکتیو" را تصور کنید. این شیء فقط از طریق نمایش‌های متفاوت قابل درک است. در مورد اصطلاح "پروژکتیو"، فقط یکی از هزاران اصطلاحی است که ریاضیدانان برای گمراه کردن کسانی که می‌خواهند وارد دایره بسته آنها شوند، اختراع کرده‌اند. زانیچلی در ریاضیات کمکی به شما نخواهد کرد.

در نهایت، باید ببینیم چگونه به سطح بوی برسیم، که یک نفوذ از صفحه پروژکتیو است

صفحه قبلی صفحه بعدی

بازگشت به فهرست "تبدیل یک کراس کپ به بوی"

بازگشت به بخش جدیدها بازگشت به بخش راهنما بازگشت به صفحه اصلی

تعداد بازدیدها از 25 اکتبر 2003:

تصاویر