ریاضیات هندسه سطوح توپولوژی

چگونه یک سطح کراس کپ را به سطح بوی تبدیل کنیم (راست یا چپ، به انتخاب شما)

با عبور از سطح رومانی استاینر.

ایتالیایی: آندرا سامبوسیتی، دانشگاه رم

../../Crosscap_Boy1.htm

27 سپتامبر - 25 اکتبر 2003

صفحه 2

اینجا یک "سطح کراس کپ" (همانطور که شما آن را در تصاویر واقعیت مجازی کشف کرده‌اید) آمده است. این سطح دو نقطه گوشه‌دار دارد که رأس‌های یک خط خود‌تقاطع هستند. می‌توانید آن را با گرفتن یک بالون و با استفاده از گیره‌های موهای بیگودی بسازید. اما می‌توانید نمایش‌های چندوجهی آن را نیز بسازید. آنچه در پایین آمده است، به ویژه ما را جذب می‌کند.

در جدول 4، چیز سخت‌ترین چیزی است که باید یاد بگیرید. به نظر من غیرممکن است کسی بتواند این اشیاء را به خوبی درک کند فقط با نگاه کردن به تصاویر. مدل‌های فیزیکی بسازید. به زبان ساده، نقطه گوشه‌دار C2 را به سمت "داخل سطح" کشیده می‌کنیم (که در همین میان، به نظر می‌رسد که این کار معنایی ندارد، چرا که به احتمال زیاد فوراً متوجه شده‌اید که سطح کراس کپ یک‌جانبه است: فضای بیرونی و درونی ندارد). با ادامه دادن این عمل، سطح "خود را عبور می‌دهد"، و مجموعه خود-تقاطع به صورت یک منحنی به شکل عدد ۸ کامل می‌شود (کمی گرد کردن این منحنی). به طور جانبی، یک نقطه سه‌گانه T ایجاد شده است.

سطح در شکل چندوجهی خود قابل درک‌تر است و در پایین، برخی از عناصر را بزرگ‌نمایی کرده‌ایم تا نشان دهیم چه چیزی ما را مجبور به تبدیل این شیء به سطح رومانی استاینر می‌کند (به شبیه‌سازی واقعیت مجازی مراجعه کنید)، که ساده‌ترین شکل چندوجهی آن شامل ترکیب چهار مکعب است (در اینجا فقط سه مکعب دیده می‌شود).

جدول 5: نسخه چندوجهی در سمت چپ، گرد در سمت راست. فلش از نقطه‌ای عبور می‌کند که قصد داریم "فشار دهیم". در پایین‌تر، شروع عملیات فشار دادن.

جدول 6: فشار دادن انجام شده و یک نقطه تکی B ایجاد می‌کند. در واقع، از آنجا که از دو طرف فشار داده‌ایم (برای صرفه‌جویی در زمان)، دو نقطه تکی S1 و S1 ایجاد می‌شود، سپس دو نقطه گوشه‌دار. در این مرحله، بدون کاغذ بریستول، قیچی و نوار چسب، وضعیت شما بد خواهد بود.

جدول 7: در اینجا ما فقط نقاط گوشه‌دار مختلف را جابجا کرده‌ایم. اگر نقطه C2 "آشکار" باشد، احتمالاً شما دشواری بیشتری در شناسایی نقاط C3 و C4 به عنوان گوشه‌دار خواهید داشت. با این حال، آنها در انتهای یک خط خود-تقاطع قرار دارند. بالای نقطه C3 فقط یک "پوزیکون" قرار دارد، یعنی نقطه‌ای که منحنی مثبت جمع می‌شود (نقطه‌ای که منحنی منفی جمع می‌شود، من آن را "نگاکون" می‌نامم). با کمی تغییر شکل این شیء، به شکل چندوجهی سطح رومانی استاینر می‌رسیم (این شکل توسط استاینر در رم اختراع شد؛ به تصویر واقعیت مجازی او مراجعه کنید).

پس بازی تمام شد. انواع مختلفی از سطوح وجود دارند، بسته به قوانینی که شما تعیین می‌کنید. سطوحی که خود را تقاطع نمی‌دهند، به نام "جایگذاری" (جایگذاری کره یا تور در R3) نامیده می‌شوند. اما وقتی خود را تقاطع می‌دهند، اما صفحه مماس به صورت پیوسته بدون تخریب تغییر کند، به نام جایگذاری نامیده می‌شوند. به عنوان مثال: بطری کلین، در نمایش کلاسیک آن. در R3، نمایشی از بطری کلین به صورت جایگذاری وجود ندارد: به طور ضروری خود را تقاطع می‌دهد. جایگذاری‌ها مجموعه‌های خود-تقاطعی دارند که نقطه گوشه‌دار ندارند. این مجموعه‌ها منحنی‌های پیوسته هستند، اما ممکن است در نقاط دوگانه یا سه‌گانه هم‌پوشانی داشته باشند. مشاهده: کره می‌تواند به صورت جایگذاری (که جایگذاری نیست) با خود-تقاطع ساخته شود. در واقع، این راهی است که با آن می‌توان آن را برعکس کرد (مراجعه کنید به روش A. Phillips، 1967، که مرحله اصلی آن پوشش دوگانه یک سطح بوی است؛ و همچنین B. Morin و J.P. Petit، 1979، که مدل مرکزی آن مدل "چهار گوش" مورین است که در زیر نمایش چندوجهی آن را که ده سال پیش اختراع کرده‌ام، می‌بینید).

طرح نصب این شیء با کاغذ و قیچی

اگر قوانین بازی را گسترش دهیم و اجازه دهیم که این اشیاء دارای نقاط گوشه‌دار نیز باشند، به سومرژن (جایگذاری) می‌رسیم (کراس کپ، سطح رومانی استاینر). نمی‌دانم آیا "سومرژن" اصطلاح درستی است، اما چون هیچ ریاضیدانی نتوانسته به من کمک کند تا این مفهوم را روشن کند، به نظرم جالب بود که یک اصطلاح را موقتاً اختراع کنم، تا زمانی که یک متخصص هندسه پیش بیاید. به همین دلیل، سطح کراس کپ و سطح رومانی استاینر هر دو سومرژن "صفحه پروژکتیو" هستند.

به طور صادقانه، پس از بیست و پنج سال فعالیت و ناامیدی‌هایم در زمینه مگنتو-هیدرودینامیک، این کارها را شروع کردم چون به نظرم بیشترین فاصله را از هرگونه کاربرد نظامی داشتند. اما همانطور که دوست قدیمی من مین به من یادآوری کرد، اصطلاح "سومرژن" ممکن است باعث سردرگمی شود و به نیروی دریایی بگوید که من در این تحقیقات سعی دارم پیشرفت‌هایی در زمینه موتور زیردریایی پنهان کنم.

قوانین "ایجاد-حل" جفت نقاط گوشه‌دار امکان تبدیل یک سومرژن یک شیء به سومرژن دیگر را فراهم می‌کند، و این همان کاری است که ما انجام دادیم، نشان دادیم که کراس کپ و سطح رومانی استاینر دو سومرژن یک شیء یکسان هستند، که به آن "صفحه پروژکتیو" می‌گویند. سعی نکنید یک "صفحه پروژکتیو" را تصور کنید. این شیء فقط از طریق نمایش‌های مختلف قابل درک است. در مورد اصطلاح "پروژکتیو"، فقط یکی از هزاران اصطلاحی است که ریاضیدانان برای ایجاد سردرگمی در کسانی که می‌خواهند به دایره آنها نفوذ کنند، اختراع کرده‌اند. زانیچلی در ریاضیات برای شما کمکی نخواهد کرد.

در نهایت، باید ببینیم چگونه به سطح بوی برسیم، که یک جایگذاری از صفحه پروژکتیو است

صفحه قبلی صفحه بعدی

بازگشت به فهرست "تبدیل یک کراس کپ به بوی"

بازگشت به بخش جدیدها بازگشت به بخش راهنما بازگشت به صفحه اصلی

تعداد بازدیدها از 25 اکتبر 2003:

تصاویر