هندسه سطح بوی مدل چندوجهی سطح رومانی استاینر
چگونه سطح کپس کراس را به سطح بوی تبدیل کنیم (راست یا چپ، به دلخواه)
با عبور از سطح رومانی استاینر.
ایتالیایی: اندrea سامبوزتی، دانشگاه رم
../../Crosscap_Boy1.htm
27 سپتامبر - 25 اکتبر 2003
صفحه 4
مدل را دوباره از دیدگاه دیگری ارائه میکنیم:
جدول 14: همیشه عملیات یکسان را تکرار میکنیم تا "گوش سوم" منحنی عبور از خود را ایجاد کنیم. در مدل چندوجهی، این آخرین شکل به صورت سه مربع با یک راس مشترک است: نقطه سهگانه T.
جدول 15: با چرخاندن شیء، نسخه چندوجهی سطح بوی را که قبلاً در تاپولوژیکون معرفی کرده بودم، بازپیدا خواهید کرد (در آنجا میتوانید یک نقشه ساخت که به شما امکان ساخت آن را میدهد).
جدول آخر: سعی کردم سطح استاینر را هنگامی که خمیده و تبدیل میشود به سطح بوی نمایش دهم.
میبینیم که اگر به صورت "گرد و خمیده" رسم شود، برای درک آن نیاز به تمرین زیادی است. چشم ما بسیار ناراحت است وقتی باید یک شیء را درک کند که در یک خط دید، بیش از دو سطح روی هم قرار دارند. از این رو، جذابیت مدل چندوجهی این است که به هر کسی که فقط سعی کند خودش مدلهای کوچک را بسازد، تبدیلهایی که در هندسه پیچیده به نظر میرسند را در دسترس قرار میدهد. به طور تصادفی توجه داشته باشید که بسته به جفت نقاط گوشهای که انتخاب میکنیم، سطح بوی "راست" یا "چپ" به دست میآید (تعریفهای کاملاً دلخواه). صفحه پروژکتیو به فضای سهبعدی با دو نمایش "آنتیآمورف" و بازتابی وارد میشود. بنابراین میبینیم که میتوان از یک سطح بوی راست به سطح بوی چپ از طریق یک مدل "میانی" که سطح رومانی استاینر است، سفر کرد.
بیشک خوب خواهد بود اگر این طرحها در مجلاتی مانند Pour la Science یا La Recherche منتشر شوند. اما دهههاست که به من اجازه انتشار در این مجلات داده نشده است به دلیل "انحراف از اصول اولیه" در مورد اشیاء غیرمحلی. ممنون، آقایان هر وی تیس و فیلیپ بولانژر. تعداد مقالاتی که به این مجلات پیشنهاد دادهام و به طور مهربانانه رد شدهاند را دیگر شمارش نمیکنم. به مرور به وضعیت من، که به عنوان یک ممنوعالاعمال شناخته میشود، عادت میکنم.
به عنوان یک اتفاق جالب، جایزهای به نام "آلیمبرت" وجود دارد که به نویسندگان کتابهای ترویج ریاضیات داده میشود. این داستان را از یکی از اعضای کمیتهای که مسئول تصمیمگیری درباره اعطای جایزه بود، شنیدم (البته پشت این موضوع پول هم وجود دارد). گفتوگو:
-
در نهایت، چرا جایزه را به پیت ندهیم؟ آثار برجستهای مانند "گئومتریکون"، "سیاهه" و "تاپولوژیکون" نوشته است.
-
بله، اما او فقط این کار را نکرده است.
-
به چه چیزی اشاره میکنید؟
-
او همچنین کتاب "دیوار سکوت" را نوشته است.
-
آه، خب، در این صورت...
بله، "دیوار سکوت" که در سال 1983 منتشر شد، یک کتاب اختصاص یافته به MHD است. و همانطور که هر کسی میداند، این علم خورنده به دلیل این ویژگی یا عیب، به دیسکهای پرنده اجازه میدهد تا با سرعت فراتر از صوت حرکت کنند بدون اینکه "بام" بزنند.
« پنهان کن این علم، که من نتوانم ببینم »
در جعبههایم یک نسخه بسیار زیبا از "بازگرداندن مکعب" وجود دارد که نسخه چندوجهی از نسخه مورین نیست. همه اینها از سر من است. یکی از این روزها...
22 اکتبر 2003: اگر باید به شمارنده توجه کنم، این صفحات را بیش از حد سخت نمیکشم. دوشنبه 13 اکتبر 2003 یک سمینار در CMI (مرکز ریاضیات و اطلاعات در چاتو گومبر، مارسی) به دعوت تروتمان برگزار کردم. در این موقعیت، توانستم یک مجموعه از حدود سی مدل کاغذی را که یک روز میتوانید از آن لذت ببرید، به نمایش بگذارم، چون توسط کریستوف تاردو عکاسی شده بودند.
هنگامی که یک سمینار برگزار میکنید، فضایی خاص ایجاد میشود. در تصویر زیر، یک هندسهدان را میبینید که نگرانی خود را بیان میکند.
در پسزمینه، بخشی از مدلهای نمایش داده شده با کمک همکار بلندمدت من، بوریس کولِو، عضو دپارتمان و خودش هندسهدان. در یک لحظه، سوالی پرسیدم:
- چند نفر از شما قبلاً سطح رومانی استاینر را دیدهاند؟ دست خود را بلند کنید.
هیچکس هرگز آن را ندیده بود. بنابراین به نظرم مفید بود که این شیء را با یک برنامه واقعیت مجازی که روی لپتاپم بود، با کمک کریستوف تاردو، مهندس، و فردریک دسکام، از موسسه لاو لانگوین گرِنوبِل (ILL)، نمایش دهم. به وضوح، این ارائه به مخاطب سردرگمی میآورد، که به دیدن سطوح ریاضی که به صورت آزادانه میچرخند عادت ندارد.
دو جدول کاغذی که در جلوی تصویر دیده میشوند، به ما امکان دادند تا تمام دنباله مدلها را به ترتیب منطقی نمایش دهیم. مدلهای سبز و زرد به صورت چندوجهی، ابزار اساسی برای ایجاد و حل جفت نقاط گوشهای را نشان میدهند. شیء سفید دورتر یک نسخه چندوجهی از سطح کپس کراس است که ابتدا به نسخه چندوجهی سطح رومانی استاینر تبدیل میشود، سپس، یک متر جلوتر، به دلخواه، به سطح بوی "راست" یا "چپ".
تحلیل مدلها باعث شد تا مخاطب نظرات مختلفی ارائه کند. یکی از هندسهدانان پرسید:
- اگر درست است که با دنبال کردن مدلها به این ترتیب، میتوانیم از سطح کپس کراس به سطح بوی برویم، به نظر میرسد که با دنبال کردن روش معکوس، میتوانیم سطح بوی را به سطح کپس کراس تبدیل کنیم.
پاسخ مثبت دادم. شجاعت گرفته، مکالمهکننده افزود:
- پس اگر در مرحله سطح رومانی استاینر متوقف شویم، باید بتوانیم به سطح بوی بازگردیم، اما بازتابی نسبت به سطح اولیه.
دوباره موافقت کردم. اما، متأسفانه، هیچکس برای توضیح این دنیای عجیبی که در آن به ایمersion سطوح بسته اجازه داده میشود تا نقاط گوشهای داشته باشند که به صورت جفت ایجاد یا حل میشوند، و مجموعه آنها نوعی گسترش دنیای ایمersion است، پیشنهاد نکرد. به نظر من، اصطلاح "سومرسیون" مناسب است. اگر خوانندهای بتواند چیزی توضیح دهد، خوشحال خواهیم شد.
منحنی متمرکز در یک نقطه گوشهای.
آن را با جمع زدن زوایای راس و مقایسه آن با نتیجهای که در مورد صفحه اقلیدسی به دست میآید: 2p محاسبه خواهیم کرد.
در گوشه بالا سمت چپ، یکی از بسیاری از نمایشهای ممکن چندوجهی یک نقطه گوشهای را میبینید. با "拆" سطح، به جمع زوایایی میرسیم که از مقدار 2p بیشتر است و به اندازه 2a. از این رو استنباط میشود که منحنی زاویهای متمرکز در این نقطه C برابر با -2a است. اگر زاویه a برابر با p/2 باشد، منحنی منفی برابر با -p خواهد بود (شکل در پایین سمت چپ). در واقع، منحنی یک نقطه گوشهای میتواند بینهایت مقدار داشته باشد. در پایین سمت راست، جمع زوایا را تقویت کردهایم و منحنی در این صورت < -p میشود (منحنی منفی را افزایش دادهایم).
با عمل معکوس، میتوانیم به یک موقعیت کاملاً شگفتانگیز برسیم: میتوانیم طوری عمل کنیم که منحنی (زاویهای) متمرکز در C ... صفر باشد:
اکنون از یک نمایش چندوجهی از سطح کپس کراس شروع میکنیم که دو نقطه گوشهای دارد، هر کدام با منحنی برابر با -p:
در این شکل هشت "پوزیکون" با مقدار +p/2 وجود دارد. چهار "پوزیکون" دیگر با منحنی +p/4 و چهار "نگاکون" با منحنی -p/4 اضافه میکنیم.
جمع دو نقطه گوشهای با منحنی -p.
جمع کل: 2p
تقسیم این "منحنی کل" بر 2p، مقدار ویژگی اقلیدس-پوانکاره هر نمایشی از صفحه پروژکتیو (یا سطح بوی) را بازپیدا میکنیم.
در طول سمینار، به هنر و روش جابجایی دو نقطه گوشهای یک سطح کپس کراس با استفاده از بازتاب کره اشاره کردم. نمیدانم که آیا این موضوع را در وبسایتم گذاشتهام یا نه. این یک گره پیچیده است. باید جستجو کنم، در غیر این صورت اضافه خواهم کرد. جالب است. این امر به یکی از حاضران در سمینار خوش نیامد:
- نمیبینم چرا پیت از این تجهیزات زیادی استفاده میکند تا همتناسبی که دو نقطه گوشهای یک کپس کراس را به هم متصل میکند را اثبات کند. میتوان به روش بسیار سادهتری این کار را انجام داد.
و روی تخته سیاه، طرح یک کره فشرده بین دو خطکشی را کشید که به هم میخورند و به طور واقعی یک مجموعه عبور از خود به شکل یک پارهخط با دو نقطه گوشهای در انتهای آن ایجاد میکند، مانند سطح کپس کراس. متأسفانه، و آقای مورد نظر متوجه شد، این سطح کپس کراس نیست.
- خدای من، این چیست؟ پرسیده شد.
این فقط یک ایمersion کره با دو نقطه گوشهای است. اگر آنها را به یک نقطه تجمیع کنیم، خط عبور از خود به یک دایره تبدیل میشود. و ما (در پایین سمت راست) یک ایمersion کره به دست میآوریم که تنها کارمان باقی مانده این است که آن را به embedding استاندارد خود تبدیل کنیم. میتوانیم همین سطح را به صورت چندوجهی نمایش دهیم:
این یک سطح دوطرفه است که منحنی کل آن 2p است.
به طور کلی، میتوانیم با این "سومرسیونها" خیلی لذت ببریم. فرض کنید یک ایمersion یک تور از طریق چرخاندن نماد "بینهایت" حول یک محور به دست آمده است:
تکنیک تجمیع نقاط گوشهای به یک نقطه، ما را به سرعت به embedding استاندارد تور میرساند، همانطور که در شکلهای متوالی بالا توضیح داده شده است.
اما گاهی اوقات چیزها همیشه آسان و واضح نیستند. مثلاً، فرض کنید یک کره فشرده بین دو پارهخط که این بار کوتاهتر از قطر هستند. ما همچنان دو نقطه گوشهای به دست میآوریم.
از آنجا که این سطح یک نوار موبیوس دارد، یکطرفه است. ما یک نمایش چندوجهی آن را کنار هم قرار دادهایم که به ما امکان محاسبه منحنی کل آن را میدهد. ما صفر به دست میآوریم. اگر اشتباه نکنم، باید یک بطری کلین است. معمولاً فقط ایمersion کلاسیک آن شناخته شده است که خط عبور از خود یک دایره ساده است. اما روشهای دیگری هم وجود دارد، مانند این. باید بگویم که هنوز راهی برای تبدیل آن به یک بطری کلین معمولی پیدا نکردهام. از سوی دیگر، نمیدانم آیا این "ایمersion" و ایمersion کلاسیک در یک کلاس همنوعی (homotopy) قرار دارند یا نه (برای کره، مثلاً فقط یک کلاس وجود دارد). به طور پیشبینی، این امر الزامی نیست: تور در واقع میتواند به چهار شکل مختلف در فضای سهبعدی ایمersion شود که نمیتوانند از طریق یک همنوعی منظم به یکدیگر تبدیل شوند. تا زمانی که بتوانیم بفهمیم آیا