هندسه سطوح، مدل‌های ریاضی

چگونه یک سطح کروی (Cross Cap) را به سطح بوی (Boy) تبدیل کنیم (راست یا چپ، به انتخاب)

با عبور از سطح استاینر رومی.

ایتالیایی: آندرا سامبوسیتی، دانشگاه رم

../../Crosscap_Boy1.htm

27 سپتامبر - 25 اکتبر 2003

صفحه 4

مدل را دوباره از دیدگاه دیگری معرفی می‌کنیم:

جدول 14: همیشه همان عملیات را تکرار می‌کنیم و سومین "گوش" منحنی خودقطعی را ایجاد می‌کنیم. در مدل چندضلعی، این منحنی شکل سه مربع با یک راس مشترک دارد: نقطه سه‌گانه T.

جدول 15: با چرخاندن شیء، نسخه چندضلعی سطح بوی را که قبلاً در تاپولوژیکون معرفی کرده بودم، بازپیدا خواهید کرد (در آنجا می‌توانید یک نقشه ساخت که به شما امکان ساخت آن را می‌دهد).

جدول آخر: سعی کرده‌ام سطح استاینر را هنگامی که خمیده و تبدیل می‌شود به سطح بوی نشان دهم.

می‌بینیم که اگر به صورت "کروی" رسم شود، برای درک آن نیاز به تمرین زیادی است. چشم ما درک یک شیء را که در یک خط دید، بیش از دو سطح روی هم داشته باشد، بسیار دشوار می‌یابد. از این رو، علاقه به مدل چندضلعی وجود دارد که این تبدیل‌های پیچیده هندسی را به دست هر کسی که فقط سعی کند مدل‌های کوچک را خودش بسازد، قابل دسترس می‌کند. به طور تصادفی توجه می‌کنیم که بسته به جفت نقاط گوشه‌ای که انتخاب می‌شوند، سطح بوی "راست" یا "چپ" به دست می‌آید (تعریف‌ها کاملاً دلخواه هستند). صفحه پروژکتیو به فضای سه‌بعدی از طریق دو نمایش "آنی‌آمُرْفیک" بازتابی فرود می‌آید. بنابراین می‌بینیم که می‌توان از یک سطح بوی راست به سطح بوی چپ از طریق یک مدل "مرکزی" که سطح استاینر رومی است، سفر کرد.

بدون شک جالب خواهد بود اگر این نقاشی‌ها در مجلاتی مانند Pour la Science یا La Recherche منتشر شوند. اما ده سال است که به دلیل "انحراف از اصول اولیه" در مورد اشیاء غیرهوازی، به من ممنوعیت انتشار در این مجلات داده شده است. ممنون، آقایان هروله تیس و فیلیپ بولانژر. تعداد مقالاتی که به این مجلات پیشنهاد داده‌ام و به صورت مودبانه رد شده‌اند، دیگر شمارش نمی‌شود. به مرور به وضعیت من، که به عنوان شخص ممنوع شده شناخته می‌شوم، عادت می‌کنم.

به عنوان یک داستان کوچک، یک "جایزه آلمبرت" وجود دارد که به نویسندگان کتاب‌های آموزش ریاضیات تقدیم می‌شود. این داستان را از یکی از اعضای کمیته‌ای که مسئول تصمیم‌گیری درباره اعطای جایزه بود، شنیدم (البته پیش‌زمینه مالی وجود دارد). مکالمه:

• در نهایت، چرا جایزه را به پیت ندهیم؟ او آثار قابل توجهی مانند "Géométricon"، "Trou Noir" و "Topologicon" نوشته است.

• بله، اما فقط این کار را نکرده است.

• به چه چیزی اشاره می‌کنید؟

• او "Mur du Silence" را هم نوشته است.

• آه، خب، در این صورت...

درست است، "Mur du Silence" که در سال 1983 منتشر شد، یک آلبوم اختصاص یافته به MHD است. و همانطور که هر کسی می‌داند، این علم خورنده به دلیل این ویژگی یا عیب، به دیسک‌های پرنده اجازه می‌دهد بدون "بام" با سرعت فراتر از صوت حرکت کنند.

« پنهان کن این علم، که من نتوانم ببینم »

در جعبه‌هایم یک نسخه فوق‌العاده از "بازگرداندن مکعب" وجود دارد که نسخه چندضلعی نسخه مورین نیست. همه آن از سر من است. یکی از این روزها...

22 اکتبر 2003: اگر باید به شمارنده اعتماد کنم، این صفحات را کمتر دچار تلاش کرده‌ایم. دوشنبه 13 اکتبر 2003 یک سمینار در CMI (مرکز ریاضیات و اطلاعات در چاتو گومبرت-مارسیل) برای دعوت از تروتمان برگزار کردم. در آن موقع می‌توانستم یک مجموعه از حدود سی مدل کاغذی را که یک روز به صورت اولین نمونه برای شما خواهند بود، به نمایش بگذارم، زیرا توسط کریستوف تاردو عکس‌برداری شده بودند.

هنگامی که یک سمینار برگزار می‌شود، فضایی خاص ایجاد می‌شود. در عکس زیر، یک هندسه‌دان را می‌بینید که نگرانی خود را نشان می‌دهد.

در پس‌زمینه، بخشی از مدل‌های نمایش داده شده با کمک همکار بلندمدت من، بوریس کولِو، عضو دپارتمان و همچنین هندسه‌دان. در یک لحظه، سوالی مطرح کردم:

• چند نفر از شما قبلاً سطح استاینر رومی را دیده‌اند؟ دست خود را بلند کنید.

هیچ‌کس آن را قبلاً ندیده بود. بنابراین به نظرم مفید بود که این شیء را با یک برنامه واقعیت مجازی، روی لپ‌تاپی که همراه خود داشتم، معرفی کنم، برنامه‌ای که با کمک کریستوف تاردو، مهندس، و فردریک دسکام، از موسسه لاو لانگوین گرناول (ILL)، ساخته شده بود. به وضوح این ارائه به مخاطب سردرگمی می‌آورد، که کمتر عادت دارد سطوح ریاضی را به صورت دلخواه چرخاندن را ببیند.

دو جدول کاغذی که در جلوی عکس دیده می‌شوند، به ارائه تمام دنباله مدل‌ها به ترتیب منطقی کمک کردند. مدل‌های سبز و زرد، به شکل چندضلعی، ابزار اساسی برای ایجاد و حل جفت نقاط گوشه‌ای را نشان می‌دهند. شیء سفید فاصله‌دار نسخه چندضلعی سطح کروی است که ابتدا به نسخه چندضلعی سطح استاینر رومی تبدیل می‌شود، سپس یک متر جلوتر، به دلخواه، به سطح بوی "راست" یا "چپ".

تحلیل مدل‌ها باعث بروز مشاهدات مختلف در مخاطب می‌شود. یکی از هندسه‌دانان سوال کرد:

*- اگر درست باشد که با دنبال کردن مدل‌ها به این ترتیب، می‌توانیم از سطح کروی به سطح بوی برویم، به نظر می‌رسد که با دنبال کردن روش معکوس، می‌توانیم سطح بوی را به سطح کروی تبدیل کنیم. *

به طور مثبت پاسخ دادم. شجاعت گرفته، همکار من افزود:

*- پس اگر در مرحله سطح استاینر رومی متوقف شویم، باید بتوانیم به سطح بوی بازگردیم، اما بازتاب شده نسبت به سطح اولیه. *

دوباره موافقت کردم. اما متاسفانه هیچ‌کس برای توضیح این دنیای عجیبی که در آن امروزه امکان دارد امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد که امروزه امکان داشته باشد