تبدیل کروسکپ به سطح بوی، از طریق سطح استاینر رومی
چگونه یک کروسکپ را به سطح بوی (راست یا چپ، به دلخواه) تبدیل کنیم، با گذر از سطح استاینر رومی.
27 سپتامبر 2003
صفحه 4
حالا مدل را از زاویه دیگری نشان میدهیم:
برگه 14: همان عمل را تکرار میکنیم و "گوش" سوم منحنی خودقطعی را ایجاد میکنیم. در حالت چندضلعی، این گوش شکل سه مربع دارد که یک رأس مشترک دارند: نقطه سهگانه T.
برگه 15: با چرخاندن شیء، نسخه چندضلعی سطح بوی را که قبلاً معرفی و ارائه کرده بودم در توپولوژیکون (که یک برش برای ساخت آن وجود دارد) میبینید.
آخرین برگه: سعی کردم سطح استاینر (از درجه چهارم، در حالی که سطح بوی از درجه ششمیباشد) را در حال پیچ و تاب و تبدیل به سطح بوی نشان دهم.
میبینید که برای درک این شیء، به یک تجربه خاص نیاز داریم. چشم ما بسیار ناراحت است وقتی باید یک شیء را درک کند که در یک خط دید، بیش از دو لایه روی هم قرار دارند. به همین دلیل، چندضلعی بسیار مفید است، زیرا به هر کسی که بخواهد مدل را خودش بسازد، امکان درک تبدیلهایی را میدهد که در هندسه به عنوان پیچیده محسوب میشوند. در این مسیر متوجه میشویم که بسته به انتخاب جفت نقاط سیمدار، سطح بوی "راست" یا "چپ" به دست میآید (کلماتی کاملاً دلخواه). صفحه پروژکتیو به دو شکل "انانتیومورف" (متناظر با آینه) نمایش داده میشود. میبینیم که میتوان از سطح بوی راست به سطح بوی چپ با استفاده از یک مدل "مرکزی" که سطح استاینر رومی است، رسید.
احتمالاً خوب خواهد بود اگر چنین نقاشیهایی در مجلاتی مانند Pour la Science یا La Recherche منتشر شوند. اما از دو دهه پیش، به دلیل "تندیسی گرایی" مرتبط با اشیاء فضایی، من از انتشار در این مجلات محروم شدهام. ممنونم، آقایان هروله تیس و فلیپ بولانژر. دیگر تعداد مقالاتی که به این مجلات فرستادهام و به طور مودبانه برگرداندهاند، نمیشمارم. در نهایت به وضعیت خود به عنوان یک ممنوعه عادت کردهام.
به عنوان یک داستان جالب، در فرانسه یک "جایزه آلیمبر" وجود دارد که به نویسندگان کتابهای توضیحی در ریاضیات اعطا میشود. داستان را یکی از اعضای کمیته تعیینکننده دریافت کرده بود (چون هنوز چند سکه در کیف هست). گفتوگو:
-
اما آیا نمیتوانیم جایزه را به پیت بدهیم؟ کتابهای بسیار خوبی مثل ژئومتریکون، سیاهچاله و توپولوژیکون نوشته است.
-
بله، اما فقط اینها را ننوشته است.
-
به چه چیزی اشاره میکنید؟
-
همچنین کتاب دیوار سکوت را نوشته است.
-
آه، در این صورت...
بله، دیوار سکوت که در سال 83 منتشر شد، کتابی درباره MHD است. و همانطور که همه میدانند، این علم سوزان، ویژگی یا شوخیاش این است که به سکویهای پرنده اجازه میدهد با سرعت فراتر از صوت حرکت کنند بدون ایجاد صدای "بام".
این علم را پنهان کن، که من نباید ببینم
در کارنامهام یک نسخه فوقالعاده از "بازگرداندن مکعب" وجود دارد که مدل مرکزی آن بسیار زیبا است و نسخه چندضلعی از نسخه مورین نیست. همه چیز از ساخته دست من است. یکی از این روزها...
22 اکتبر 2003: این صفحات را کسی به سرعت نمیبیند، اگر به عدد شمارنده توجه کنم. روز دوشنبه 13 اکتبر 2003، یک سمینار در CMI (مرکز ریاضیات و کامپیوتر چاتو گومبرت مارسی) با دعوت از تروتمان برگزار کردم. در این موقعیت، تقریباً سی مدل کاغذی را که عکسبرداریشان توسط کریستوف تاردو انجام شده بود، نمایش دادم.
وقتی یک سمینار برگزار میکنیم، فضای خاصی ایجاد میشود. در عکس زیر، یک هندسهدان که نگرانی خود را بیان میکند.
در پسزمینه، بخشی از مدلهای نمایش داده شده. در یک لحظه، سوالی پرسیدم:
*- کسی که قبلاً سطح استاینر رومی را دیده است، دستش را بردارید. *
هیچکس هرگز آن را ندیده بود. بنابراین تصمیم گرفتم که این شیء را به صورت مجازی، با استفاده از لپتاپی که همراه خود آورده بودم، معرفی کنم، که با همکاری کریستوف تاردو، مهندس، و فردریک دسکام، از موسسه لاو-لانگوین گرنبول (ILL)، ساخته شده بود. به وضوح این ارائه به حاضران گیجکننده بود، چون بیشتر آنها عادت نداشتند که سطوح ریاضی را به صورت آزادانه در حال چرخش ببینند.
دو برد کاغذی که در جلوی عکس دیده میشوند، به نمایش ترتیب منطقی مدلها کمک کردند. مدلهای "سبز و زرد" به صورت چندضلعی، ابزار اصلی ایجاد و نابودی جفت نقاط سیمدار را نشان میدهند. شیء سفید که در فاصله بیشتری قرار دارد، نسخه چندضلعی کروسکپ است که ابتدا به نسخه چندضلعی سطح استاینر رومی تبدیل میشود، یک متر فاصله بیشتر، و سپس به صورت دلخواه به سطح بوی "راست" یا "چپ".
تحلیل مدلها باعث شد تعدادی نکته در حاضران مطرح شود. یکی از هندسهدانان پرسید:
*- اگر با دنبال کردن مدلها در این جهت بتوانیم از کروسکپ به بوی برسیم، به نظر میرسد که با انجام معکوس، باید بتوانیم یک سطح بوی را به کروسکپ تبدیل کنیم. *
من به طور مثبت پاسخ دادم. شجاعتر شده، همصحبتم افزود:
*- اگر در مرحله سطح استاینر رومی متوقف شویم، میتوانیم دوباره به سطح بوی آینهای برویم. *
من دوباره موافقت کردم. اما متأسفانه هیچکس برای توضیح این دنیای عجیبی که در آن سطوح بسته با نقاط سیمدار (ایجاد یا نابود شده به جفت) مجهز میشوند، و مجموعهای از این نقاط یک گسترشی از دنیای ایمersionها را تشکیل میدهد، پیشنهاد نکرد. کلمه "submersions" به نظر من مناسب است. اگر خواننده اطلاعاتی در این زمینه پیدا کند، خوشحال خواهیم شد.
منحنی متمرکز در یک نقطه سیمدار
آن را با جمع زدن زوایای رأس و مقایسه با مجموع اقلیدسی 2π محاسبه میکنیم:
در بالا و چپ، یکی از نمایشهای چندضلعی متعدد نقطه سیمدار نشان داده شده است. "拆" شدن شیء (در سمت راست) منجر به مجموعی میشود که مجموع اقلیدسی 2π را از آن فراتر میبرد و مقدار 2α را اضافه میکند. بنابراین میتوانیم نتیجه بگیریم که منحنی زاویهای متمرکز در اطراف این نقطه C برابر با -2α است. اگر زاویه α برابر با π/2 باشد، منحنی منفی برابر با c خواهد بود (شکل در پایین و چپ). در واقع، منحنی متمرکز در یک نقطه سیمدار میتواند بینهایت مقدار داشته باشد. در پایین و راست، مجموع زوایا را بیشتر میکنیم و منحنی را کمتر از 2α میکنیم. منحنی منفی را بیشتر میکنیم.
با انجام عمل معکوس، میتوانیم به یک موقعیت کاملاً شگفتانگیز برسیم: به این صورت که منحنی (زاویهای) متمرکز در C ... صفر شود:
اکنون میتوانیم از یک نمایش چندضلعی از کروسکپ شروع کنیم که دو نقطه سیمدار دارد که هر کدام منحنی منفی برابر با -π دارند:
هشت "پوزیکوین" با مقدار +π/2 وجود دارد. چهار "پوزیکوین" دیگر با منحنی +π/4 و چهار "نگاتیکوین" با منحنی -π/4 اضافه میکنیم.
به علاوه دو نقطه سیمدار با منحنی -π.
جمع کل: 2π
اگر این منحنی کل را بر 2π تقسیم کنیم، به ویژگی اولر-پوانکاره همه نمایشهای صفحه پروژکتیو (مثل سطح بوی) میرسیم.
در سمینارم، هنر و روش تبادل دو نقطه سیمدار در یک کروسکپ با استفاده از بازگرداندن کره را مطرح کردم. نمیدانم آیا این مطلب را در سایتم گذاشتهام. اینجا یک آشوب است. باید جستجو کنم، در غیر این صورت آن را کجایی قرار خواهم داد. خیلی جالب است. با این حال، این ارائه به یکی از حاضران در سمینار خوش نیامد.
- نمیفهمم چرا پیت از چنین ابزاری استفاده میکند تا همسانی بین دو نقطه سیمدار یک کروسکپ را نشان دهد. راه سادهتری وجود دارد.
و او روی تخته سیاه یک کره فشرده شده توسط دو میله که به هم متصل شدهاند را رسم کرد و در واقع یک مجموعه خودقطعی به شکل یک پارهخط با دو نقطه سیمدار در دو انتها به دست آمد، همانند کروسکپ. متأسفانه، و او متوجه شد، این کروسکپ نیست.
- اوه! پس چه چیزی است؟ پرسیده شد.
به سادگی، یک کره با دو نقطه سیمدار. اگر آنها را به هم نزدیک کنیم، خط خودقطعی به یک دایره ساده تبدیل میشود. و در پایین و چپ (در برش)، یک ایمersion از کره به دست میآید که تنها کارمان این است که آن را به یک اینجکشن تبدیل کنیم. میتوانیم به یک نمایش چندضلعی از این سطح برسیم:
این سطح دو جهته است و منحنی آن 2π است.
بنابراین میتوانیم با این "submersions" بسیار سرگرم شویم. فرض کنید یک ایمersion از تور (حلقه) که با چرخاندن علامت "بینهایت" یا یک "هشت" حول یک محور ایجاد شده است:
تکنیک ادغام نقاط سیمدار به ما امکان میدهد تا به سرعت به اینجکشن استاندارد تور برسیم، همانطور که در تصاویر بعدی نشان داده شده است.
اما گاهی اوقات این کار آنقدر آسان و واضح نیست. مثلاً یک کره را فرض کنید که بین دو پارهخط فشرده شده است که این بار طولشان کمتر از قطر است. همچنان دو نقطه سیمدار به دست میآوریم.
از آنجا که میتوانیم یک نوار موبیوس در آن قرار دهیم، این سطح یکجانبه است. نمایش چندضلعی آن نشان داده شده است که به ما امکان محاسبه منحنی کلی را میدهد. جواب صفر میشود. اگر اشتباه نکنم، این احتمالاً یک بطری کلین است. به طور معمول فقط ایمersion کلاسیکی میشناخته میشود که خط خودقطعی یک دایره ساده است. اما نسخههای دیگری هم وجود دارند، مانند این. اعتراف میکنم که هنوز نمیدانم چگونه این شیء را به یک ایمersion بطری کلین تبدیل کنم. همچنین نمیدانم آیا ایمersionهای مختلف به یک گروه همتوپی متعلق هستند (کره فقط یک گروه دارد). به نظر میرسد که نه، زیرا تور میتواند به چهار شکل مختلف ایمersion داشته باشد که با هیچ همتوپی منظمی به هم متصل نمیشوند. در این مدت، خودم با ایجاد دو نقطه سیمدار اضافی از این سطح لذت برد و دو کروسکپ که با یک لوله به هم متصل شدهاند به دست