تبدیل کراسکپ به سطح بوی، از طریق سطح استاینر رومی
چگونه یک کراسکپ را به سطح بوی (راست یا چپ، به دلخواه) تبدیل کنیم، با گذر از سطح استاینر رومی.
27 سپتامبر 2003
صفحه 4
حالا مدل را از زاویه دیگری نمایش میدهیم:
برگه 14: همان عمل را تکرار میکنیم و سومین "گوش" منحنی خودقطعی را ایجاد میکنیم. در حالت چندضلعی، این گوش به شکل سه مربع با یک راس مشترک است: نقطه سهگانه T.
برگه 15: با چرخاندن شیء، نسخه چندضلعی سطح بوی را که قبلاً در تاپولوژیکون معرفی کرده بودم (که در آن یک برش برای ساخت آن وجود دارد) بازیابی میکنیم.
آخرین برگه: سعی کردهام سطح استاینر (از درجه چهار، در حالی که سطح بوی از درجه شش است) را در حال خمیدگی و تبدیل به سطح بوی نمایش دهم.
مشاهده میشود که برای درک این شیء، نیاز به تجربه خاصی است. چشم ما بسیار ناراحت است وقتی باید یک شیء را درک کند که در یک خط دید، بیش از دو لایه روی هم قرار دارند. به همین دلیل، مزیت چندضلعی این است که این تبدیلهای پیچیده هندسی را به گونهای میسازد که برای هر کسی قابل دسترس باشد، به شرطی که فرد خودش تلاش کند مدلها را بسازد. در همین مسیر، متوجه میشویم که با انتخاب جفت نقاط گوشهای متفاوت، میتوانیم یک سطح بوی "راست" یا "چپ" (کلماتی کاملاً دلخواه) به دست آوریم. صفحه پروژکتیو به دو شکل "انانتیومورف" (متناظر با آینه) نمایش داده میشود. مشاهده میشود که میتوانیم از یک سطح بوی راست به سطح بوی چپ برسیم، از طریق یک مدل "مرکزی" که سطح استاینر رومی است.
احتمالاً بسیار خوب خواهد بود اگر چنین نقاشیهایی در مجلاتی مانند "Pour la Science" یا "La Recherche" منتشر شوند. اما از دو دهه پیش، به دلیل "تندروی افکار غیرمتعارف درباره سیاههای فضایی"، از انتشار در این مجلات محروم شدهام. ممنونم آقایان هروره تیس و فلیپ بولانژر. دیگر تعداد مقالاتی که به این مجلات فرستادهام و به صورت مودبانه برگرداندهاند را نمیشمارم. به مرور به وضعیت خود به عنوان یک ممنوعالاعمال عادت کردهام.
به عنوان یک اتفاق جالب، در فرانسه یک "جایزه آلمبرت" وجود دارد که به نویسندگان کتابهای ترویج ریاضیات داده میشود. داستان را یکی از اعضای کمیته تعیین کننده دریافت کرده بود (چون هنوز چند سکه هم وجود دارد). گفتگو:
-
اما آیا ممکن نیست جایزه را به پیت دهیم؟ او آثار برجستهای مانند ژئومتریکون، سیاهه و تاپولوژیکون ساخته است.
-
بله، اما او فقط این کتابها را ننوشته است.
-
به چه چیزی اشاره میکنید؟
-
او همچنین کتاب دیوار سکوت را نوشته است.
-
آه، در این صورت...
بله، دیوار سکوت که در سال ۸۳ منتشر شد، به مطالعه MHD اختصاص داده شده است. و همانطور که همه میدانند، این علم مهیج، ویژگی یا شوخیاش این است که به سکویهای پرنده اجازه میدهد با سرعت فراتر از صوت حرکت کنند بدون ایجاد "پاپ".
این علم را پنهان کن، که من نباید ببینم
در کارگاههای من یک نسخه بسیار زیبا از "بازگرداندن مکعب" وجود دارد که شامل یک مدل مرکزی بسیار زیبا است که نسخه چندضلعی گونهی مورین نیست. همه چیز از ساخته دست من است. یکی از این روزها...
22 اکتبر 2003: این صفحات هیچ کس را جذب نکرده است، اگر از عدد شمارنده بگویم. روز دوشنبه 13 اکتبر 2003، یک سمینار در CMI (مرکز ریاضیات و رایانش، چاتو گومبر، مارسی) به دعوت تروتمان دادم. در این موقعیت، تعدادی مدل چندضلعی حدود سی عدد را که در آنها تصویربرداری توسط کریستوف تاردو انجام شده است، نمایش دادم.
وقتی یک سمینار برگزار میکنید، فضای خاصی ایجاد میشود. در عکس بعدی، یک هندسهدان که ناراحتی خود را نشان میدهد.
در پسزمینه، بخشی از مدلهای نمایش داده شده. در یک لحظه، سوالی پرسیدم:
*- کسانی که قبلاً سطح استاینر رومی را دیدهاند، دست خود را بلند کنند. *
هیچ کسی هرگز آن را ندیده بود. بنابراین تصمیم گرفتم که این شیء را به صورت مجازی، با کمک لپتاپی که همراه خود آورده بودم، معرفی کنم، شیءای که با همکاری کریستوف تاردو، مهندس، و فردریک دسکام، از مرکز لائو لانگوین گرناو (ILL)، ساخته شده بود. به نظر میرسد این ارائه میان حاضران گیج کننده بود، چرا که آنها عادت ندارند سطوح ریاضی را به صورت آزادانه در حال چرخش ببینند.
دو برد چندضلعی که در جلوی تصویر دیده میشوند، به نمایش ترتیب منطقی مدلها کمک کردند. مدلهای "سبز و زرد" به صورت چندضلعی، ابزار اصلی ساخت و نابودی یک جفت نقطه گوشهای را نشان میدهند. شیء سفید فاصلهدارتر، نسخه چندضلعی کراسکپ است که ابتدا به نسخه چندضلعی سطح استاینر رومی تبدیل میشود، یک متر فاصلهتر، و سپس به صورت دلخواه به سطح بوی "راست" یا "چپ".
تحلیل مدلها باعث شد نظرات مختلفی در میان حاضران ظاهر شود. یکی از هندسهدانها پرسید:
*- اگر با دنبال کردن مدلها در این جهت، بتوانیم از کراسکپ به بوی برسیم، به نظر میرسد که با معکوس کردن این کار، باید بتوانیم یک سطح بوی را به کراسکپ تبدیل کنیم. *
پاسخ من مثبت بود. شجاعت بیشتری گرفت، و گفت:
*- اگر در مرحله سطح استاینر رومی متوقف شویم، میتوانیم دوباره به سطح بوی بازگردیم که آینهای است. *
من دوباره موافقت کردم. اما متأسفانه هیچ کس این جهان عجیب را که در آن سطوح بسته با نقاط گوشهای، که به صورت جفتها ایجاد یا نابود میشوند، مجهز میشوند، توضیح نداد. این مجموعه به نوعی گسترشی از دنیای ایمersion است. کلمه "submersions" به نظر من مناسب است. اگر خواننده اطلاعات بیشتری پیدا کند، خوشحال خواهیم شد.
منحنی متمرکز در یک نقطه گوشهای
این منحنی را با جمع زدن زوایای راس و مقایسه آن با مجموع اقلیدسی 2p محاسبه میکنیم:
در بالا و چپ، یکی از نمایشهای چندضلعی متعدد نقطه گوشهای نشان داده شده است. "拆" شدن این شیء (در سمت راست) منجر به جمعی میشود که از مجموع اقلیدسی 2p بیشتر است و مقدار 2a بیشتر است. بنابراین میتوانیم نتیجه بگیریم که منحنی زاویهای متمرکز در این نقطه C برابر است با -2a. اگر زاویه a برابر با p/2 باشد، منحنی منفی برابر با c خواهد بود (در پایین و چپ). در واقع، منحنی متمرکز در یک نقطه گوشهای میتواند مقادیر بینهایتی داشته باشد. در پایین و راست، مجموع زوایا را افزایش دادهایم و منحنی در نتیجه کمتر از 2a میشود. منحنی منفی بیشتر میشود.
با انجام عمل معکوس، میتوانیم به وضعیتی کاملاً شگفتانگیز برسیم: تضمین کنیم که منحنی (زاویهای) متمرکز در C ... صفر باشد:
حالا میتوانیم از یک نمایش چندضلعی کراسکپ شروع کنیم که دو نقطه گوشهای دارد که هر کدام منحنی منفی برابر با -p دارند:
هشت "پوزیکوین" با مقدار +p/2 وجود دارد. چهار "پوزیکوین" دیگر با منحنی +p/4 و چهار "نگاتیکوین" با منحنی -p/4 اضافه میکنیم.
علاوه بر دو نقطه گوشهای با منحنی -p.
جمع کل: 2p
اگر این منحنی کل را بر 2p تقسیم کنیم، ویژگی اولر-پوانکاره همه نمایشهای صفحه پروژکتیو (مانند سطح بوی) به دست میآید.
در سمینارم، هنر و روش جابجایی دو نقطه گوشهای یک کراسکپ را با استفاده از معکوس کردن کره توضیح دادم. نمیدانم آیا این مطلب را در سایتم گذاشتهام. اینجا یک آشوب است. باید جستجو کنم، در غیر این صورت یک جا قرار خواهم داد. خیلی جالب است. با این حال، این ارائه به یکی از حاضران در سمینار خوش نیامد.
- نمیفهمم چرا پیت برای نشان دادن تقارن بین دو نقطه گوشهای یک کراسکپ از چنین وسایلی استفاده میکند. راه سادهتری وجود دارد.
و او روی تخته، تصویری از یک کره فشرده شده توسط دو میله نشان داد که به هم متصل میشوند و در واقع یک مجموعه خودقطعی به شکل یک پارهخط با دو نقطه گوشهای در دو انتهای آن ایجاد میکنند، مانند کراسکپ. البته، و او متوجه شد، این کراسکپ نیست.
- چه میشود؟ پرسیده شد.
به سادگی، یک کره با دو نقطه گوشهای است. اگر آنها را به هم نزدیک کنیم، خط خودقطعی به یک دایره ساده تبدیل میشود. و در پایین و چپ (در برش)، یک ایمersion کره به دست میآید که تنها کارمان این است که آن را به یک اینجکشن تبدیل کنیم. علاوه بر این، میتوانیم به یک نمایش چندضلعی این سطح برسیم:
این سطح دو طرفه است و منحنی آن 2p است.
بنابراین میتوانیم با این "submersions" خیلی بازی کنیم. یک ایمersion تور را در نظر بگیرید که شامل چرخاندن علامت "بینهایت" یا یک "هشت" حول یک محور است.
تکنیک ادغام نقاط گوشهای به ما اجازه میدهد تا به سرعت به اینجکشن استاندارد تور برسیم، همانطور که در تصاویر بعدی نشان داده شده است.
اما گاهی اوقات امور به این سادگی و روشنی نیست. مثلاً یک کره را در نظر بگیرید که بین دو پارهخط فشرده شده است که این بار طول کمتر از قطر دارند. باز هم دو نقطه گوشهای به دست میآوریم.
از آنجا که میتوانیم یک نوار موبیوس در آن جای دهیم، این سطح یکطرفه است. نمایش چندضلعی آن نشان داده شده است که به ما اجازه میدهد منحنی کل را محاسبه کنیم. نتیجه صفر میشود. اگر دلیل من درست باشد، این سطح باید یک بطری کلین است. به طور معمول فقط ایمersion کلاسیک آن را میشناسیم که خط خودقطعی یک دایره ساده است. اما روشهای دیگری نیز وجود دارد، مانند این. اعتراف میکنم که هنوز نمیدانم چگونه