مدل مرکزی (چندوجهی) معکوس کردن مکعب
مدل مرکزی معکوس کردن مکعب
31 دسامبر 2001
همه شما دیدهاید که یک شیء عجیب، بیوقفه، در سمت چپ صفحه اصلی وبسایت در حال چرخش است. این چیست؟
روزی که زمان کافی داشته باشم، روی سایت توضیحاتی درباره معکوس کردن کره را قرار خواهم داد، همانطور که در شماره ژانویه 1979 مجله «Pour la science» آن را نشان داده بودم، یعنی حدوداً 22 سال پیش. البته این کار نیازمند جزئیات فراوان و مقدمهای است. معکوس کردن یک کره یعنی چه؟ برای مردم عادی، کره به این صورت تعریف میشود که در فضای سهبعدی، مجموعهای از نقاطی است که فاصله آنها از یک نقطه ثابت O برابر R است. یک هندسهدان همچنان به شیءای که معادل یک «کره منحود» یا نوعی «سیب زمینی» است، «کره» میگوید. برای درک بهتر این مفاهیم، به CD Lanturlu که حاوی کمیک «Le Topologicon» است مراجعه کنید. اما ریاضیدانان از این مرحله فراتر میروند. وقتی یک سطح «منظم» باشد، در هر نقطه آن میتوان یک صفحه مماس تعریف کرد. این امر امکان بینهایت تغییر شکل «کره اولیه» به بینهایت شکل سیب زمینی را فراهم میکند، بهویژه اگر مساحت این سطح دلخواه باشد. با این حال، در یک «جهان فیزیکی»، فردی که این کره را تغییر شکل میدهد با این محدودیت مواجه میشود که نمیتواند کره را از خودش عبور دهد. اگر عبور یا حتی تماس بین بخشهای مختلف ممنوع باشد، به این حالت «غوطهوری» (plongement) کره S2 گفته میشود. اما ریاضیدانان هر گونه حق را به خود اختصاص میدهند. برای آنها، کره یک شیء «مجازی» است که در آن عبور یک سطح از خودش ممکن است. دنبالهای از نقاشیهای زیر، کرهای را نشان میدهد که «خودش را عبور داده است». به چنین نمایشی از کره، «غوطهوری» (immersion) گفته میشود.
یک غوطهوری دارای مجموعهای از تقاطعهای خودی یا self-intersection است (در اینجا یک منحنی دایرهای ساده). صفحه مماس باید به صورت پیوسته تغییر کند. با این حال، وقتی به نقاشیهای بالا نگاه میکنیم، مشاهده میشود که بخشی از داخل کره (که با رنگ سبز نشان داده شده) به بیرون میچرخد. برای تکمیل این معکوسکردن، باید این نوع «لولهای» استوایی فشرده شود. به نظر اولیه این کار مشکلبرانگیز به نظر میرسد. این فشردگی، پیوستگی صفحه مماس را مختل خواهد کرد. بنابراین این عملیات شامل یک مرحله خواهد بود که «غوطهوری نیست».
روزی ریاضیدان آمریکایی، استیوین اسمال، ثابت کرد که «کره S2 تنها یک کلاس غوطهوری دارد». نتیجهگیری از این جمله مبهم این بود که باید بتوان یک دنباله از غوطهوریهای کره را به گونهای ایجاد کرد که از «کره استاندارد» به نمایش «ضدقطبی» آن برسیم، یعنی تمام نقاط آن جایگزین نقاط مقابل آن شوند. به عبارت دیگر، یک کره معکوس شده، رو به رو. راؤل بوت، رهبر علمی اسمال بود. همانطور که اثبات اسمال کاملاً فرمی بود و بدون شکست، هیچکس نمیدانست چگونه این عملیات را انجام دهد. بوت همیشه به اسمال میگفت: «بگویید چگونه این کار را انجام میدهید؟» و اسمال با این چشمان گشاد و زبانی که به گوشهاش میریخت، پاسخ میداد: «هیچ ایدهای ندارم.» اسمال بعداً مدال فیلد، معادل جایزه نوبل در ریاضیات، را دریافت کرد. در این میان، شاید این سوال برای شما پیش بیاید که چرا نوبل هرگز جایزه ریاضیات را نساخته است. پاسخ ساده است: همسر او با یک ریاضیدان فرار کرده بود.
این وضعیت تا مدتها ادامه یافت تا اینکه ریاضیدان آمریکایی به نام آنتونی فیلیپس در سال 1967 در مجله Scientific American نسخه اولیه این معکوسکردن را منتشر کرد که بسیار پیچیده بود. نسخه دوم توسط ریاضیدان فرانسوی (کور) برنارد مورین در اوایل دهه 1970 ابداع شد. من اولین کسی بودم که این دنباله از تبدیلها را رسم کردم، همانطور که قبلاً گفتم، این موضوع در مقاله بعدی سایت، که نسبتاً طولانی است، مورد بحث قرار خواهد گرفت. با این حال، این موضوع ما را به نتیجهای جانبی میرساند. سطوح میتوانند به صورت چندوجهی نمایش داده شوند. مکعب یا چهاروجهی میتوانند به عنوان نمایشهای چندوجهی کره در نظر گرفته شوند، به شرطی که این اشیاء دارای همان توپولوژی باشند. در این زمینه، به کمیک من «Le Topologicon» مراجعه کنید. علاوه بر این، درک میشود که اگر بتوان یک کره را معکوس کرد، میتوان یک مکعب را نیز معکوس کرد. تبدیلی که برنارد مورین ابداع کرد (که من در مقاله ژانویه 1979 مجله «Pour la science» آن را تصویر کرده بودم) از یک مدل مرکزی عبور میکند. در این دنباله، تقارن وجود دارد. به این مدل، «مدل مرکزی با چهار گوش» میگویند. دوباره، من پیشبینی میکنم. اما به همانگونه که کره میتواند به نمایشهای چندوجهی تبدیل شود، این امر برای مراحل متوالی این تبدیلها نیز صدق میکند. شیءی که در صفحه اصلی من در حال چرخش است، نمایش چندوجهی مدل مرکزی معکوس کردن کره است، مدلی که حدود ده سال پیش ابداع کردهام. مزیت این مدلهای چندوجهی این است که میتوان آنها را با سطوح صاف ساخت. حتی میتوان آنها را با برشهای مناسب به هم وصل کرد. به نقاشی زیر نگاه کنید (در اینجا از دوستم کریستوف تاردو که عناصر آن را به درستی علامتگذاری کرده است، قدردانی میکنم).
این یک نقاشی است که به صورت کوچک از چاپگر شما خارج میشود و قابل استفاده نیست.
برای چاپ این شکل روی کاغذ A4 برای این کار باید چهار نسخه از این نقاشی روی کاغذ سفت A4 چاپ کنید، دو برگ با یک رنگ و دو برگ با رنگ دیگر.
این یک برش است که در اینجا به صورت کلی نشان داده شده است. اما برای چاپ کردن، بهتر است به صفحه برش بروید. آن را چاپ کنید. سپس با این نسخه چاپ شده روی کاغذ معمولی چاپگر خود، به یک دستگاه کپی بروید و چهار نسخه کامل از این نقاشی بگیرید، دو تا روی کاغذ سبز و دو تا روی کاغذ زرد. با استفاده از این برش، قادر خواهید بود مدل مرکزی معکوس کردن مکعب را بسازید.
روی این قطعات برشخورده، جفتهای حروفی مانند a, b, c, d, e, f و غیره وجود دارند. کافی است با چاپ کردن قطعات به گونهای که حروف یکسان روی هم قرار بگیرند، سپس این صفحات را با نوار چسب شفاف به هم بچسبانید. نقاشیهای بعدی نشان میدهند که چگونه یکی از چهار قطعه را باید بسازید. ابتدا باید چگونه یکی از چهار قطعه را بچینید، به این صورت شروع کنید:
این دو قطعه از چهار قطعه، از زوایای مختلف نشان داده شدهاند.
این قطعات سپس به گونهای به هم میپیوندند که شیء حاصل دارای تقارن چهارگانه باشد یا قطعات سبز و زرد به صورت متناوب قرار بگیرند. برای دیدن این موضوع در سه بعد، به نمونههای آقای تاردو در «واقعیت مجازی» نگاه کنید. مدل مرکزی کامل نیز در این بخش به صورت «vrml» تولید شده است. این شیء را از زوایای مختلف ببینید:
نمیتوان گفت که یک دیدگاه «بالا» و دیگری «پایین» است، زیرا این نامها کاملاً دلخواه خواهند بود. در دید چپ، نقطه «مرکزی» متناظر با «نقطه دوگانه» (جایی که دو سطح همپوشانی میکنند) از مدل مرکزی مورین است، در حالی که نقطه مرکزی در سمت راست متناظر با «نقطه چهارگانه» این مدل است (جایی که چهار سطح همپوشانی میکنند). من به دقت شیء را جهتدهی کردهام تا دید چپ به شکل یک علامت گامایی (که به آن چرخهای یا علامت نازی میگویند) نشان داده نشود. در غیر این صورت، از نظر معماری، این نمایش چندوجهی مدل مرکزی مورین میتوانست یک پروژه بسیار خوب برای یک «خانه فرهنگ ملی سوسیالیستی» باشد.
آخرین دیدگاه:
نکته آخر: هیچ نمایش چندوجهی مناسبی برای معکوس کردن کره (یا معکوس کردن مکعب) وجود ندارد. با «مناسب» منظور این است که دنبالهای از مدلها وجود داشته باشد که به اندازه کافی واضح باشد و بتوان آنها را به صورت برشهای ساده و نسبتاً آسان ساخت، مانند مدل بالا. جستجویی در این زمینه لازم است که به هر کسی، حتی به غیرریاضیدان یا هنرمند، مانند یک مجسمهساز، قابل دسترس است. بیش از بیست سال پیش، من در دانشکده هنرهای زیبا آکس-آن-پروونس به عنوان معلم مجسمهسازی مشغول به کار بودم، زمانی که این دانشکده هنوز توسط دوست عزیزم جاکس بولیه رهبری میشد. در این فضای کاری، اولین نمایش مرکزی سطح بوی با استفاده از بیضیها به وجود آمد که کلید ساخت اولین معادله ضمنی توسط آپری بود. باید بگویم که در آن زمان همیشه با خلاقیت هندسی دانشجویان هنر شگفتزده میشدم، که بسیاری از بارها خلاقیت هندسهدانان را از خود فراتر میرفت.