مدل مرکزی (چندوجهی) برگرداندن مکعب
مدل مرکزی برگرداندن مکعب
۳۱ دسامبر ۲۰۰۱
همه شما شاید دیدهاید که یک شیء عجیب و غریب، به طور بیپایان، در سمت چپ صفحه اصلی وبسایت در حال چرخیدن است. این چیست؟
روزی که وقت داشته باشم، روی سایت توضیحی درباره برگرداندن کره را قرار خواهم داد، همانطور که در شماره ژانویه ۱۹۷۹ مجله «Pour la science» آورده بودم، یعنی حدود... ۲۲ سال پیش. البته این کار نیاز به جزئیات فراوان و مقدمه دارد. برگرداندن کره یعنی چه؟ برای مردم عادی، کره به عنوان مجموعه نقاطی تعریف میشود که در فضای سهبعدی، فاصلهاش از یک نقطه ثابت O برابر R است. یک هندسهدان همچنان این مفهوم را به شیءی که میتواند به شکل «کره مخدوششده» یا به نوعی «سیبزمینی» باشد، میگوید. برای درک دقیقتر این مفاهیم، CD Lanturlu را که حاوی کتاب کار «Le Topologicon» است، خریداری کنید. اما ریاضیدانان از این مرحله فراتر میروند. هنگامی که یک سطح «منظم» است، در هر نقطه آن میتوان یک صفحه مماس تعریف کرد. این امر امکان ایجاد تعداد نامحدودی تغییرشکل از «کره اولیه» به تعداد نامحدودی سیبزمینی را فراهم میکند، بهویژه اگر مساحت این سطح دلخواه باشد. با این حال، در یک «جهان فیزیکی»، فردی که کره را میخواهد تغییرشکل دهد، با امکان عبور کره از خودش مواجه خواهد شد. اگر عبور یا حتی تماس بین بخشهای مختلف ممنوع باشد، به آن «غوطهوری» (plongement) کره S2 میگویند. اما ریاضیدانان تمام حقوق را دارند. برای آنها، کره یک شیء «مجازی» است که در آن عبور از سطوح ممکن است. دنبالهای از نقاشیها در ادامه، نشاندهندهی یک کره است که «خودش را عبور داده» است. به چنین نمایشی از کره، «غوطهوری» (immersion) میگویند.
یک غوطهوری دارای مجموعهای از نقاط عبور خود (self-intersection) است (در اینجا یک منحنی دایرهای ساده). صفحه مماس باید به صورت پیوسته تغییر کند. با این حال، وقتی به نقاشیهای بالا نگاه میکنیم، متوجه میشویم که عملیات به خوبی بخشی (نمایش داده شده با رنگ سبز) از داخل کره را به بیرون میبرد. برای کامل کردن چنین برگردانی، باید این نوع «لولهای» در منطقه استوا اسکندری فشرده شود. به نظر اولیه این کار مشکلآفرین به نظر میرسد. این فشردگی، پیوستگی صفحه مماس را مختل خواهد کرد. بنابراین، این عملیات شامل یک مرحله خواهد بود که «غوطهوری نیست».
روزی، ریاضیدان آمریکایی، استیوین اسمال، ثابت کرد که «کره S2 تنها یک کلاس غوطهوری دارد». نتیجهگیری از این جمله مبهم این بود که باید بتوان یک دنباله از غوطهوریهای کره را به گونهای ایجاد کرد که از «کره استاندارد» به نمایش «ضدقطبی» آن برسیم، یعنی جایی که تمام نقاط با نقاط ضدقطبیشان جایگزین شدهاند. به عبارت دیگر... یک کره برگردانده شده، رو به پشت. رول بات، رهبر علمی اسمال بود. همانطور که اثبات اسمال، کاملاً فرمی و بدون هیچ شکی به نظر میرسید، هیچ کسی نمیدانست چگونه این عملیات را انجام دهد. بات همیشه به اسمال میگفت: «به من نشان بده که چگونه این کار را انجام میدهی»، و اسمال با این چهره معروفش پاسخ میداد: «هیچ ایدهای ندارم». اسمال بعداً جایزه فیلد، معادل نوبل در ریاضیات، را دریافت کرد. در این میان، شاید این سوال برایتان پیش بیاید که چرا نوبل هرگز جایزه ریاضیات را ایجاد نکرده است. پاسخ ساده است: همسر او با یک ریاضیدان فرار کرده بود.
این موضوع برای مدتها به همین شکل باقی ماند تا اینکه ریاضیدان آمریکایی، آنتونی فیلیپس، در سال ۱۹۶۷ در مجله «Scientific American» نسخه اولیه این برگردانی را منتشر کرد که بسیار پیچیده بود. نسخه دوم توسط ریاضیدان فرانسوی (کور) برنارد مورین در اوایل دهه ۱۹۷۰ ابداع شد. من اولین کسی بودم که این دنباله از تبدیلها را رسم کردم، همانطور که قبلاً گفتم، این موضوع در یک مقاله آینده در سایت مورد بحث قرار خواهد گرفت، که به همین دلیل نسبتاً طولانی است. با این حال، این موضوع ما را به یک نتیجه فرعی میرساند. سطوح میتوانند به شکلهای چندوجهی نمایش داده شوند. مکعب یا چهاروجهی میتوانند به عنوان نمایشهای چندوجهی کره در نظر گرفته شوند، به شرطی که این اشیاء دارای همان توپولوژی باشند. در این زمینه، به کتاب کار «Le Topologicon» من مراجعه کنید. علاوه بر این، متوجه میشویم که اگر بتوان کره را برگرداند، میتوان مکعب را نیز برگرداند. تبدیلی که برنارد مورین ابداع کرد (که من در مقاله ژانویه ۱۹۷۹ مجله «Pour la science» آن را ترسیم کرده بودم) از یک مدل مرکزی عبور میکند. این دنباله دارای تقارن است. به این مدل، «مدل مرکزی با چهار گوش» میگویند. دوباره، من از پیش این مطلب را بیان کردهام. اما همانطور که کره میتواند به شکل چندوجهی نمایش داده شود، این امر برای مراحل متوالی این تبدیلها نیز صادق است. شیءی که در صفحه اصلی من در حال چرخیدن است، نمایش چندوجهی مدل مرکزی برگرداندن کره است، مدلی که حدود ده سال پیش ابداع کردهام. مزیت این مدلهای چندوجهی این است که میتوان آنها را با سطوح صاف ساخت. حتی میتوان آنها را به صورت برشهایی ترتیب داد. به نقاشی زیر نگاه کنید (در اینجا از دوستم کریستوف تاردو که عناصر آن را به درستی مشخص کرده است، قدردانی میکنم).
این یک نقاشی است که اگر از چاپگر شما خارج شود، به صورت کوچک و غیرقابل استفاده خواهد بود.
برای چاپ این شکل روی کاغذ A4 برای این کار، چهار نسخه از این نقاشی روی کاغذ A4 با ضخامت بالا چاپ کنید، دو برگ از یک رنگ و دو برگ از رنگ دیگر.
این یک برش است که در اینجا دید کلی از آن دارید. اما برای چاپ کردن، بهتر است به صفحه برش بروید. آن را چاپ کنید. سپس، با استفاده از نسخه چاپ شده روی کاغذ معمولی چاپگر خود، به یک دستگاه کپی بروید و چهار نسخه کامل از این نقاشی تهیه کنید، دو نسخه روی کاغذ سبز و دو نسخه روی کاغذ زرد. با استفاده از این برش، قادر خواهید بود مدل مرکزی برگرداندن مکعب را بسازید.
روی این اجزای برشخورده، جفتهای حروفی وجود دارد: a, b, c, d, e, f و غیره. کافی است با چاپ دادن این حروف بر روی هم، و سپس اتصال این سطوح با چسب شفاف، این اجزا را به هم ببندید. نقاشیهای بعدی نشان میدهند که یکی از چهار جزء چگونه باید ساخته شود. ابتدا نحوه چاپ یکی از چهار جزء را ببینید:
این دو جزء از چهار جزء، از زوایای مختلف دیده میشوند.
این اجزا سپس به گونهای با هم ترکیب میشوند که شیء حاصل دارای تقارن چهارگانه باشد یا جزئیات سبز و زرد به صورت متناوب قرار بگیرند. برای دیدن این مدل در سه بعد، به نمایشهای آقای تاردو در «واقعیت مجازی» نگاه کنید. مدل مرکزی کامل نیز در این بخش به صورت «vrml» تولید شده است. این شیء را از زوایای مختلف ببینید:
نمیتوان گفت که یک دید «بالا» و دید دیگر «پایین» است، زیرا این نامگذاری کاملاً دلخواه خواهد بود. در دید سمت چپ، نقطه «مرکزی» متناظر با «نقطه دوگانه» (جایی که دو سطح همپوشانی میکنند) از مدل مرکزی مورین است، در حالی که نقطه مرکزی سمت راست متناظر با «نقطه چهارگانه» این مدل است (جایی که چهار سطح همپوشانی میکنند). من با دقت شیء را جهتدهی کردهام تا دید سمت چپ به شکل یک علامت گامای مربعی (کراس) نباشد. در غیر این صورت، از نظر معماری، این نمایش چندوجهی از مدل مرکزی مورین میتوانست یک پروژه بسیار خوب برای یک «خانه فرهنگ ملی سوسیالیستی» باشد.
آخرین دید:
یک نکته آخر: هیچ نمایش چندوجهی مناسبی برای برگرداندن کره (یا به عبارت دیگر برگرداندن مکعب) وجود ندارد. با «مناسب» منظور این است که دنبالهای از مدلها وجود داشته باشد که به اندازه کافی واضح باشد و بتوان آنها را به راحتی با برشهایی ساخت، مانند مدل بالا. یک تحقیق در این زمینه انجام پذیر است که به هر کسی، حتی به غیرریاضیدان یا هنرمند، میتواند دسترسی داشته باشد. بیش از بیست سال پیش، من در دانشکده هنر زیبا آکس در پروونس به عنوان معلم مجسمهسازی فعالیت میکردم، زمانی که این دانشکده هنوز تحت رهبری دوست عزیزم جاکس بولیه بود. در این مکان، اولین نمایش میانی سطح بوی با استفاده از بیضیها به وجود آمد، که کلید ساخت اولین معادله ضمنی توسط آپری بود. باید بگویم که در آن زمان، همیشه با توانایی هندسی دانشجویان هنرمند شگفتزده میشدم، که بسیار بیشتر از توانایی... هندسهدانان بود.