Le modèle Central du Retournement
du Cube
31 déc 2001
Vous avez tous vu tourner, inlassablement, un objet bizarre
sur la partie gauche de la page d'accueil du site. De quoi s'agit-il ?
Un jour, quand j'aurai du temps, j'installerai sur le
site une description du retournement de la sphère, tel que je l'avais
illustré dans le numéro de janvier 1979 de Pour la science, c'est
à dire il y a ... 22 ans de cela. Tout cela demanderait évidemment
force détails et introduction. Retourner une sphère, qu'est-ce
que cela veut dire ? Une sphère n'a pas la même signification pour
l'homme de la rue et le mathématicien-géomètre. Pour l'homme
de la rue, celle-ci se définit comme étant, dans un espace à
trois dimensions, comme le lieu des points situés à une distance
Rd'un point fixe O de celui-ci. Un géomètre continuera à
appeler "sphère" un objet qui correspondrait à une "sphère
déformée", une sorte de "patate". Pour appréhender
tous ces concepts avec plus de précision, procurez vous le CD Lanturlu
porteur de la bande dessinée "Le Topologicon". Mais le mathématicien
va même plus loin. Quand une surface est dite "régulière"
on peut en chacun de ses points définir un plan tangent. Cela permet
déjà d'envisager une infinité de déformation de
la "sphère de départ" en une infinité de patates,
quand de plus l'aire de la dite surface peut être quelconque. Ceci étant,
dans une "univers physique" la personne qui déforme cette sphère
se heurtera à l'impossibilité de la faire se traverser elle-même.
Si ces traversements ou même ces contacts sont interdit, on parlera alors
de plongements de la sphère S2. Mais un
mathématicien se donne tous les droits. Une sphère est, pour lui,
un objet "virtuel" où les traversements de nappes deviennent
possibles. La suite de dessins ci-après montre une sphère qui
s'est "auto-traversée". On appelle alors cette représentation
de la sphère une immersion.
Une immersion possède un ensemble
d'auto-intersection ou de self-intersection
(ici une simple courbe circulaire). Le plan tangent doit varier continument.
Ceci étant, quand on regarde les dessins ci-dessus, on voit que l'opération
tourne bien une partie (représentée par la couleur verte) de l'intérieur
de la sphère vers l'extérieur. Pour achever un tel retournement
il faudrait écraser cette sorte de boudin équatorial. La chose
semble a priori problématique. Cet écrasement romprait la continuité
du plan tangentl L'opération comprendrait donc une étape qui
ne serait pas une immersion.
Un jour un mathématicien américain, Stephen
Smale, démontra que "La sphère S2 ne possédait qu'une
seule classe d'immersion". Le corollaire de cette phrase sybilline était
qu'on devait pouvoir enchaîner une séquence d'immersions de la
sphère permettant de passer de la "sphère standard"
à sa représentation "antipodale", c'est à dire
dont tous les points auraient été remplacés par leur antipode.
Bref ... une sphère retournée, recto-verso. Raoul Bott était
le patron de Smale. Autant la démonstration de ce dernier, purement formelle,
semblait sans faille, autant personne ne voyait comment s'y prendre pour réaliser
l'opération. Bott disait sans cesse à Smale "montrez-moi
comme vous envisageriez de procéder", ce à quoi Smale, avec
son célèbre cheveu sur la langue répondait "je n'en
ai pas la moindre idée". Smale eût par la suite la médaille
Field, équivalant au prix Nobel,mais pour les maths. Au passage, vous
vous demanderez peut-être pourquoi Nobel n'avait jamais voulu créer
de prix Nobel des mathématiques. La réponse est simple : sa femme
est partie avec un mathématicien.
Les choses restèrent en l'état pendant
pas mal d'années jusqu'à ce qu'un mathématicien américain
nommé Anthony Phillips ne publie en 1967 dans Scientific American une
première version de ce retournement, atrocement compliquée. La
seconde fut inventée au début des années soixante-dix par
le mathématicien français (aveugle) Bernard Morin. Je fus le premier
à dessiner cette suite de transformations qui fera, je l'ai déjà
dit, l'objet d'un prochain papier dans le site, assez copieux d'ailleurs. Toujours
est-il que ceci nous amène à une conclusion annexe. Les surfaces
peuvent faire l'objet de représentations polyédriques.
Un cube ou un tétraèdre peuvent être considérés
comme des représentations polyédriques de la sphère, dans
la mesure où ces objets ont la même topologie. Sur ce point,
consulter ma BD le Topologicon. En outre, on comprendra que s'il est possible
de retourner une sphère, il est également possible de retourner
un cube. La transformation inventée par Bernard Morin (que j'ai illustrée
dans l'article de janvier 1979 de Pour la Science) passe par un modèle
central. Il existe une symétrie dans cette séquence. C'est
ce qu'on appelle "le modèle central à quatre oreilles".
Là encore, j'anticipe. Mais de même que la sphère peut se
préter à des représentations polyédriques, il en
est de même pour les étapes successives de ces transformations.
L'objet que vous voyez tourner sur ma page d'accueil est ainsi la version polyédrique
du modèle central du retournement de la sphère, un modèle
que j'ai inventé il y a une dizaine d'années. L'intérêt
de ces modèles polyédrique est qu'on peut les construire avec
des surfaces planes. On peut même les agencer selon des découpages.
Jetez un oeil au dessin ci-après (je remercie au passage mon ami Christophe
Tardy, qui en a produit les éléments correctement cotés).
Ceci est un dessin qui sortirait sur votre imprimante
en petit format, inexploitable.
Pour imprimer cette figure sur
une feuille A4
Il faut alors en faire quatre photocopies sur du papier
fort A4, deux feuilles d'une couleur, deux feuilles d'une autrte
C'est un découpage dont vous avez ici une vue
générale. Mais pour l'imprimer il est préférable
que vous passiez à la page découpage.
Imprimez-là. Puis, muni de cet exemplaire imprimé sur le papier
normal de votre imprimante, allez chez un photocopieur et réalisez quatre
copies à l'identique de ce dessin, deux sur deux
feuilles de bristol vert et deux sur des
jaunes. Vous allez être en mesure, à l'aide de ce découpage,
de construire le modèle central du retournement du cube.
Vous avez, sur ces éléments découpés,
des paires de lettres : a , b c , d , e , f etc.... Il vous suffit
d'opérer les pliages en amenant les mêmes lettres en coincidence,
puis en assemblant ces facettes avec du ruban adhésif transparent. Les
dessins qui suivent montrent la façon de monter l'un des quatre éléments.
Voici d'abord comment il faut débuter le pliage d'un des quatre éléments
:
Voici deux de ces quatre éléments, vus
sous des angles différents.
Ceux-ci s'agencent ensuite pour donner un objet ayant
une symétrie d'ordre quatre ou alternent des éléments verts
et des éléments jaunes. Pour voir ceci en 3d, allez jeter un oeil
aux réalisation du sieur Tardy, en "virtual reality". Le modèle
central totalement assemblé est aussi produit en "vrml" dans
cette section. Voici cet objet, vu sous différents angles :
On ne peut pas dire qu'une vue correspond au "dessus"
et l'autre au "dessous" puisque ces dénominations seraient
totalement arbitraires. Sur la vue de gauche le point "central" correspond
au "point double" (où deux nappes se croisent) du modèle
central de Morin, tandis que le point central de droite équivaut au "point
quadruple" de ce même modèle (où quatre nappes se croisent).
J'ai du soigneusement orienter l'objet, pour que la figure de gauche n'évoque
pas une croix gammée. Sinon, architecturalement parlant, cette représentation
polyédrique du modèle central de Morin aurait pu constituer un
très bon projet de maison de la culture Nationale Socialiste.
Dernière vue :
Une dernière remarque : il n'existe pas de bonne
représentation polyédrique du retournement de la sphère
(alias le retournement du cube). Par "bonne" il faut entendre une
suite de modèles suffisamment explicites qui peuvent être montés
sous forme de découpages de manière relativement facile, comme
le modèle ci-dessus. Une recherche serait à faire en ce sens,
qui est à la portée de n'importe qui, éventuellement d'un
non-mathématicien, d'un plasticien, par exemple. Il y a plus de vingt
ans j'ai été enseignant en sculpture à l'Ecole des Beaux-Arts
d'Aix en Provence, du temps où celle-ci était encore dirigée
par mon excellent ami Jacques Boullier. C'est dans ces locaux que naquit la
première représentation méridienne de la surface de Boy
à l'aide d'ellipses, clef de la construction de la première équation
implicite par Apéry. je dois dire qu'à l'époque j'ai toujours
été surpris par l'imagination géométrique des étudiants
en art, qui surpassait très souvent celle... des géomètres.
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