Nous avons « nettoyé » cette figure ici pour la rendre un peu plus lisible. Une surface est un objet à 2 dimensions, ici « plongé » dans un espace tridimensionnel euclidien, R³. Nous pouvons « la voir » depuis le haut. Il se trouve que cette surface est plongeable dans l’espace R³ « de manière isométrique ». Autrement dit, si nous collons un ruban adhésif dessus, celui-ci s’inscrira effectivement sur une géodésique reliant deux points A et B de la surface. La longueur mesurée le long de l’arc géodésique est également correcte. Elle est isométrique, étymologiquement « de même longueur ». Plus bas, il y a une représentation à 2 dimensions qui n’est pas isométrique… la longueur de l’arc A'B' n’est pas égale à celle de l’arc AB. Construisez l’objet suivant à l’aide d’une feuille de papier, d’un crayon et de ciseaux :
Cette figure n’est pas isométrique. Tout d’abord, la courbe représentée n’est pas une géodésique du plan. Ensuite, la largeur de l’arc AB n’est pas la « vraie longueur » qu’on pourrait mesurer sur la « vraie surface », qui « n’a pas de trou ». La feuille de papier avec un trou n’est qu’une représentation utile, rien de plus. Il en va de même pour la technique de dessiner d’un côté de la feuille puis de l’autre, la courbe entière n’apparaissant qu’en transparence.
Dans la figure suivante, nous avons montré les géodésiques de la surface, calculées par ordinateur (ce qui figure dans l’article).
Les lignes pointillées des courbes correspondent aux branches situées « de l’autre côté » (comme si nous regardions la surface « depuis le haut »).
Maintenant une question : pouvons-nous construire une représentation plate et isométrique de ces géodésiques ? La réponse est oui. Nous avons vu qu’on peut changer la variable r en variable r. Ainsi, les géodésiques peuvent être représentées dans un plan de « coordonnées polaires » (r, j). Les géodésiques (ici une géodésique non radiale) ont alors l’aspect suivant :
Il s’agit d’une représentation isométrique. Trois points A, B et C appartiennent à la surface, situés sur la même géodésique. A', B' et C' sont les points homologues dans cette représentation [r, j]. Les points A et B sont situés sur le même hémisphère et l’arc géodésique qui les relie ne traverse pas le cercle de gorge. Mesurée dans ce plan, le long de l’image de la géodésique (qui n’est évidemment pas une géodésique de ce plan), la longueur de l’arc A'B' est égale à celle de l’arc AB, mesurée sur la surface.
L’arc BC traverse la sphère de gorge. Même chose.
Mais cette isométrie ne s’applique pas à toutes les géodésiques de la surface. Il en existe une, unique à sa manière : le cercle de gorge, réduit ici à un point. C’est la seule surface qui se referme sur elle-même.
Les géodésiques sont les seules choses que nous avons pour comprendre une surface ou, plus généralement, un espace non planaire, non euclidien. Elles sont des repères utiles (même si nous avons une vision déformée dans nos systèmes de représentation bidimensionnels et tridimensionnels – en perspective). Nous savons que ces géodésiques existent, qu’elles sont intrinsèques. Celles d’une sphère, par exemple, sont des grands cercles. Dans le cas de l’espace-temps, elles sont remplies d’une infinité de géodésiques spatio-temporelles. Les géodésiques existent de façon intrinsèque et pour les comprendre (étymologiquement : tenir, prendre dans ses bras), nous essayons de « les sentir » comme des hommes aveugles. Toutefois, les lignes de coordonnées espace-temps n’ont pas de réalité intrinsèque, ni les deux ensembles de méridiens et de parallèles ne constituent une partie intégrante d’une sphère. Elles ne sont pas « fournies à l’intérieur ». La géométrie de Schwarzschild, solution de l’équation de champ d’Einstein, est une hypersurface à 4 dimensions. Les théoriciens ont collé dessus des familles entières de courbes, « t constant », « r constant », etc.
N’oubliez jamais que ces gestes sont totalement arbitraires, bien que même les spécialistes de la cosmologie théorique aient souvent tendance à perdre de vue ce point, et qu’ils doivent de temps en temps être rappelés à l’ordre par des mathématiciens géomètres. Il était donc parfaitement licite de changer les coordonnées espace-temps.
À ce stade, vous allez dire : alors, qu’est-ce qui nous dit qu’un choix de coordonnées est meilleur qu’un autre ? Qu’est-ce qui est raisonnable ou irraisonnable ? C’est une question de goût. Choisir des coordonnées espace-temps, c’est imposer une vision physique à un objet mathématique. Dans le cas de la Terre, nous lui avons attribué des pôles lorsqu’elle tourne. Le pôle Nord est simplement la normale à la surface « Terre » qui pointe vers l’étoile Polaire, une étoile fixe dans le ciel.
En matière d’isométrie et de non-isométrie, la cartographie illustre les difficultés à représenter une sphère sur un plan. La projection de Mercator (projection de la sphère terrestre sur un cylindre tangent à l’équateur) est très agréable pour ceux qui vivent près de l’équateur. Toutefois, quelqu’un qui vit à l’un des pôles se retrouve face à une mauvaise surprise : son domaine ponctuel se transforme en une ligne droite…
Il existe des centaines de façons de projeter une sphère sur un plan. Imaginons ceci :
Imaginez que nous fabriquions des cartes à partir de ce modèle et que nous les vendions. Un succès immédiat auprès de ceux qui vivent aux deux pôles : les projections sont quasi-isométriques dans ces régions. Utiles pour se faire une idée des distances dans ces zones. Si la Terre avait été habitable aux pôles et relativement inhospitalière ailleurs, les cartes auraient probablement été faites ainsi. Toutefois, nous verrions que le cercle limite de la projection sur un plan ne correspond plus à l’équateur, mais à un parallèle (ici dans l’hémisphère nord). Près de cette région, la carte serait très éloignée de l’isométrie. En outre, sur cette carte étrange, une partie de la masse terrestre devrait être représentée par une ligne pleine normale et une autre partie par une ligne pointillée, car elle se situe au-delà du parallèle où l’objet, étrangement, semble « se replier sur lui-même ». Peut-être pourrions-nous fournir des cartes sur un disque de papier, le reste de la masse terrestre apparaissant du côté opposé de la feuille.
Essayons maintenant d’« imaginer tout cela en 3D ». Nous avons montré Lanturlu plonger son bras gauche dans la sphère de gorge à travers deux dessins séparés, ce qui pourrait sembler impliquer que le deuxième espace tridimensionnel est « ailleurs ». Pour être correct, les deux dessins en perspective devraient être superposés, la main émergeant (droite) étant représentée par une ligne pointillée.
J’ai essayé de le faire, bien que ce ne fût pas facile. J’aurais pu utiliser deux couleurs différentes, rouge pour les parties du premier côté tridimensionnel de notre espace tridimensionnel non simplement connexe, vert pour l’autre. Un Lanturlu rouge verrait alors sa main gauche, qu’il avait plongée dans la sphère, ressortir comme une main droite verte.
Évidemment, « à l’intérieur » de la sphère de gorge, il n’y a rien. L’apparence d’un intérieur, d’un contenu volumétrique, est simplement due à notre choix de cet espace de représentation tridimensionnel. Tout comme dans le trou percé dans la feuille de papier, il n’y a pas de papier non plus. C’était simplement un accident lié au choix de cet espace de représentation planaire. Si quelqu’un insistait à utiliser une représentation plane sans retirer le disque découpé dans le papier, et posait sans cesse la question « qu’y a-t-il à l’intérieur ? », il serait complètement « hors champ » (ou plutôt… dedans). Le champ n’existe pas.
Retournons à la 3D. Quand Lanturlu plonge son bras dans la sphère de gorge, celle-ci n’a pas non plus d’intérieur. L’apparence d’un intérieur est simplement due à notre choix d’espace de représentation. Nous pourrions considérer que Lanturlu et sa main émergeant ont été dessinés sur une feuille de papier à trois dimensions, dont nous avons retiré… une sphère (l’équivalent tridimensionnel du disque de la feuille de papier). Mathématiquement, un disque est une « boule b² » et un « volume sphérique » est une « boule b³ ». Par « boule », nous entendons une cellule contractile (voir le Topologicon sur le « CD-Lanturlu »), c’est-à-dire un objet pouvant se contracter par rapport à un point en passant par lui-même. Les exemples bidimensionnels et tridimensionnels visent à illustrer le plan de bataille de l’article : la sphère de Schwarzschild n’a ni « intérieur », ni « centre ». Quand on la traverse (passage hypertorique), on se retrouve du « autre côté de l’espace-temps ».
Quelle est la justification de cette nouvelle interprétation de la « géométrie de Schwarzschild » ?
Réponse : l’élimination des singularités. Kruskal, avec son « prolongement analytique », a fait tout son possible pour pénétrer cette « sphère maudite ». Il n’a réussi qu’à enfermer la singularité (rôle initialement tenu par la sphère de Schwarzschild) en un point situé « au centre de cet objet ». Les gens se sont contentés de ce tour de passe-passe. Toutefois, nous pensons qu’il vaut mieux sans singularité.
La nature proteste, quand on la regarde du mauvais côté, en produisant des singularités. C’est ainsi que nous voyons les choses. C’est une vision préconçue de ce qui est « réel ». Nous croyons que ces singularités n’existent pas dans la nature. Nous pensons aussi que l’infini n’existe pas non plus. Mais, comme disait Kipling, c’est une autre histoire. J’ai eu des discussions animées avec Souriau sur cette question l’an dernier.
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Qu’est-ce qui prouve que l’infini existe ? …
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Mais sans l’infini, il n’y a pas de mathématiques !
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Avez-vous déjà rencontré l’infini ? L’avez-vous vu, tenu dans votre main ?
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C’est une… commodité.
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Nous générons des nombres infiniment grands en supposant que nous pouvons ajouter 1 à un nombre indéfiniment. Nous utilisons une infinité séquentielle pour générer une infinité numérique. Elle se mord la queue, votre truc.
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D’accord, disons que c’est une commodité. L’homme a inventé deux choses importantes au cours de son histoire : l’infini et les toilettes…
Je ne crois pas non plus que l’infiniment petit existe, ni physiquement, ni mathématiquement. Mais ce sera l’objet d’autres articles. Laissons ces questions de côté pour l’instant. Une simple digression.
sur le site](/fr/article/f300-f301html)).
Comme l’a dit Archimède, je crois, à l’entrée d’un sanctuaire des sciences, « personne n’entre ici qui n’est géomètre ». Ces tenseurs et autres trucs, un domaine que Midy affectionne, sont aussi indigestes que la pâtisserie anglaise.
On voit donc, à travers cette discussion, que notre vision physique de ces phénomènes provient de la manière dont nous décidons de les représenter. En modifiant les coordonnées spatiales, nous avons changé la « topologie locale », un terme qui nécessite une clarification mathématique selon Souriau. En réalité, l’expression est un euphémisme doux : il a simplement commencé à s’emporter quand je l’ai prononcé, et mon chat Pioum et moi avons eu le plus grand mal à le calmer. Souriau est le Professeur Tournesol des mathématiques. Il est un praticien volontaire de l’indignation mathématique élevée. Toutefois, cette indignation ne doit pas être confondue avec la colère au sens trivial du mot. Plutôt, je joue ici le rôle de Molière dans « Monsieur Jourdain ». Les physiciens utilisent souvent les mathématiques sans le savoir (et inversement, en fait).
En admettant provisoirement l’usage de mots « non spécifiés », tout se passe comme si nous n’avions considéré que la « topologie locale » de la géométrie de Schwarzschild comme « hypersphérique » (que la sphère de Schwarzschild « contient » une « boule b³ »). Nous l’avons rendue « hypertorique ». C’est pourquoi j’ai proposé le terme « géométries hypertoriques ».
Nous avons mentionné plus haut l’inversion de l’espace. Elle est négociée avec les groupes. Peut-on la comprendre autrement ? Nous avons vu que Lanturlu plongeait sa main gauche dans la sphère de gorge et voyait une main droite en sortir. En réalité, chaque atome de sa main a suivi une géodésique « radiale », perpendiculaire à la surface.
N’oublions pas en passant que ce système de représentation n’est pas isométrique. Comme dans le papier avec un trou. Si nous mesurons la distance parcourue dans les deux demi-espaces par un atome-test appartenant à la main de Lanturlu (Archibald Higgin dans les éditions anglaises), elle ne coïnciderait pas avec la distance réelle mesurée à l’aide d’un morceau de ficelle.
Retournons à la figure montrée précédemment.
Ici, nous avons montré un arc géodésique AB traversant le cercle de gorge et son image dans l’espace de représentation planaire ci-dessous. Le caractère non isométrique de la représentation devient encore plus apparent. Les longueurs des arcs AB et A'B' sont très différentes.
Évidemment, il est assez difficile d’imaginer qu’on puisse passer une ficelle à travers la sphère de gorge d’un passage hypertorique. En serrant la ficelle, on obtiendrait une géodésique (ligne du plus court chemin). Après tout, si nous mesurions la longueur de la ficelle dans l’espace de représentation tridimensionnelle (Lanturlu poussant son bras) et que nous décidions de mesurer la longueur de la ficelle dans cet espace, nous trouverions une longueur plus courte A'B'. La longueur réelle, mesurée dans l’hypersurface tridimensionnelle, serait plus longue, comme le montre le dessin en 2D. La représentation tridimensionnelle avec Lanturlu est donc non isométrique, tout comme la représentation plane ci-dessus.
Avec l’aide de quelques dessins, ces concepts subtils, issus de la théorie des groupes, deviennent moins hermétiques, à condition de « voir dans l’espace ». C’est ce que je cherche à vous apprendre à faire, voir dans un espace tridimensionnel courbé.
Retournons à la question de l’enantiomorphie, l’inversion des objets lorsqu’ils traversent la structure de gorge bidimensionnelle ou tridimensionnelle. Imaginons des géodésiques radiales en 2D. Le mot est devenu incorrect, car en principe un rayon est une ligne droite partant d’un point. En réalité, il s’agit de géodésiques à j constant. Voyez le dessin précédent montrant cette coordonnée azimutale. Toutefois, pour plus de concision, nous continuerons à utiliser le mot « radial », entre guillemets. Notez que le mot « radial » est déjà le résultat du choix de l’espace de représentation. Imaginez qu’une lettre R (qui n’est pas identique à son image miroir, son image enantiomorphe) glisse comme un transfert mal fixé le long de notre passage torique, chaque point se déplaçant selon une géodésique. La lettre se retrouvera « de l’autre côté ». Il est intéressant d’observer le résultat de l’opération sur une projection plane dans l’espace de représentation.
Nous avons montré une sorte de ruban dont les bords sont constitués de deux géodésiques. Que remarquons-nous ? Dans l’espace de représentation, la lettre R est inversée pour devenir un « ia » russe, un R renversé, enantiomorphe. Nous commençons à comprendre pourquoi la main de Lanturlu semble inversée lorsqu’elle émerge dans l’espace de représentation tridimensionnelle, elle devient enantiomorphe.
Version originale (anglais)
We have "cleaned up" the figure here to make it a little more legible. A surface is a 2d object, here "plunged" into an otherwise Euclidean 3d space in R3. We can "see" it from above. It so happens that this surface is plungeable in the space R3 "in an isometric manner". That is to say that if we stick some tape on it, this will effectively inscribe itself on a geodesic joining two points of the surface A and B. The length measured along the geodesic arc is also correct. It is iso-metric, etymologically "the same length". Below there is a 2d representation that is not isometric ... the length of the arc A'B' is not equal to that of arc AB. Construct the following object with the aid of a sheet of paper, a pencil and a pair of scissors :
This drawing is not isometric. First of all the curve shown is not a geodesic of the plane. Secondly the width of the arc AB is not the "real length" that could be measured on the "real surface", which "has no hole". The sheet of paper with a hole is just a useful representation, nothing more. The same goes for the technique of drawing on one side of the sheet then the other, the whole curve only appearing in transparency.
In the following figure we have shown the geodesics of the surface, calculated by computer (which features in the article).
The dotted lines of the curves correspond to the branches on "the other side" (as if we were looking at the surface "from above").
Now a question : can we build a flat and isometric representation of these geodesics ? The answer is yes. We have seen that we can change the variable r into variable r. So the geodesics can be figured in a plane of "polar coordinates" ( r , j ). The geodesics (here a non-radial geodesic) look like the following :
This is an isometric representation. That is three points A, B and C belonging to the surface, situated on the same geodesic. A', B' and C' are homologous points in this representation [ r , j ]. The points A and B are situated on the same hemi-layer and the geodesic arc that joins them does not cross the gorge circle. Measured in this plane, along the image of the geodesic (which is obviously not a geodesic of this plane), the length of the arc A'B' is equal to that of the arc AB, measured in the surface.
The arc BC crosses the sphere of the gorge. Same thing.
But this isometry does not apply to all the geodesics of the surface. One exists, unique in its way : the gorge circle, reduced here to a point. It is the only surface that closes on itself.
Geodesics are the only things we have to understand a surface or, more generally, a non-planar, non-Euclidean space. They are useful markers (even if we have a distorted view in our 2d and 3d representation systems (in perspective)). We know that these geodesics exist, that they are intrinsic. Those of a sphere, for example, are large circles. In the case of space-time, they are filled with an infinity of spatio-temporal geodesics. The geodesics exist intrinsically and to understand them (etymologically : hold, take in one's arms) we try to "feel" them like blind men. However space and time coordinate lines have no intrinsic reality, nor are the two meridian and parallel ensembles an integral part of a sphere. They are not "supplied within". Schwarzschild's geometry, a solution to Einstein's field equation, is a 4d hypersurface. Theoreticians have stuck whole families of curves on it, "constant t", "constant r" etc.
Never forget that these gestures are totally arbitrary, though even specialists in theoretical cosmology often lose sight of this point and, from time to time, have to be called to order by geometry-mathematicians. It was therefore perfectly licit to change space-time coordinates.
At this point you'll be saying : so what tells us that one choice of coordinates is better than another ? What is reasonable and unreasonable ? It is a question of taste. Choosing space-time coordinates means placing a physical vision on a mathematical object. In the case of the Earth, we have given it poles when it rotates. The North Pole is simply the normal of the surface "Earth" that points towards the Pole Star, a star that remains fixed in the heavens.
In the matter of isometry and non-isometry, cartography illustrates the difficulties in trying to represent a sphere on a plane. Mercator's projection (projection of the Earth's sphere onto a cylinder tangent to the Equator) is very nice for those who live near the Equator. However someone who lives at one of the poles is in for a nasty surprise : his punctual domain turns into a straight line...
There are hundreds of ways of projecting a sphere onto a plane. Let us imagine this :
Imagine that we make maps from this model and we sell them. An instant success among those who live at the two poles : the projections are quasi-isometric in these regions. Useful for getting an idea of distances in those areas. If Earth had been habitable at the poles and relatively inhospitable elsewhere, maps would no doubt have been made like this. However we would see that the border circle of the projection on a plane no longer corresponds to the Equator but to a parallel (in the northern hemisphere here). Near this region the map will be way off isometry. As well as that, on this strange map, a part of the landmass should be shown with a normal, full line and part with a broken, dotted line because it is situated beyond the parallel where the object, oddly, seems to "fold back on itself". Perhaps we could supply maps on a paper disc with the rest of the landmass appearing on the other side of the sheet.
Let us try to "imagine all that in 3D". We showed Lanturlu plunging his left arm into the gorge sphere via two separate drawings, which could seem to imply that the second 3D space is "elsewhere". To be correct the two perspective drawings should be superposed with the emerging (right) hand represented by a dotted line.
I tried to do it though it wasn't easy. I could have used two different colours, red for the parts in the first 3D side of our non-simply connected 3D space and green for the other. A red Lanturlu would then see a red "left" hand that he had thrust into the sphere come out as a green "right" hand.
Obviously "inside" the gorge sphere there is nothing. The appearance of an interior, a volumetric content, is just due to our choice of this 3D representation space. Just as in the hole cut in the sheet of paper there is no paper either. It was just an accident linked to the choice of this planar representation space. If someone insisted on using a planar representation without removing the disc cut in the paper and who repeatedly asked "what's inside" they would be completely "off the field" (or rather ... in it). The field doesn't exist.
Let us return to 3D. When Lanturlu plunges his arm in the gorge sphere this doesn't have an interior either. The appearance of an interior is simply due to our choice of representation space. We could consider that Lanturlu and his emerging hand have been drawn on a sheet of paper having three dimensions and from which we had removed ... a sphere (the 3D equivalent of the disc of the sheet of paper). Mathematically, a disc is a "b2 ball" and a "sphere volume" is a "b3 ball. By "ball" we mean a contractile cell (see the Topologicon on the "CD-Lanturlu") that is to say an object which can contract in relation to a point by going over itself. The 2d and 3D examples are there to illustrate the article's battle plan : the Schwarzschild sphere has no "interior", no "centre" When we cross it (hypertoric passage) we find ourselves on the "other side of space-time".
What is the justification for this new interpretation of "Schwarzschild geometry" ?
Answer : the elimination of singularities. Kruskal, with his "analytic prolongation", did everything possible to penetrate this "blasted sphere". He only managed to pack the singularity (a role initially held by the Schwarzschild sphere) in a point situated "at the centre of this object". People satisfied themselves with this conjuring trick. However we think that it's better without singularity.
Nature protests, when we look at it from the wrong side, by secreting singularities. That is how we see things. It is a preconceived view of what is "real". We believe that these singularities do not exist in nature. We also think that infinity doesn't exist either. But as Kipling said, that's another story. I had animated discussions with Souriau on the question a year ago.
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What proves that infinity exists ? ....
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But, without infinity there is no mathematics ! ....
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Have you ever met infinity ? Seen it, held it in your hand ?
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It's a .... convenience.
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We generate infinitely large numbers by supposing that we can add 1 to a number indefinitely. We are using a sequential infinity to generate a numeric infinity. It eats its own tail, your thing.
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OK, let us say that it's a convenience. Man has invented two things of importance during his history : infinity and toilets ...
Nor do I believe that the infinitely small exists, either physically or mathematically. But that will be the subject of other papers. Let us leave these questions aside for the moment. A simple digression.
on the site](/fr/article/f300-f301html)).
As Archimedes said, I believe, at the entry to a sanctuary of science, " no one enters here who is not a geometrician". These tensors and stuff, a field that Midy loves, are as indigestible as English pudding.
We can see therefore, through this discussion, that our physical vision of these phenomena comes from the way we decide to represent them. In modifying spatial coordinates we have changed "local topology", a term which requires a mathematical clarification according to Souriau. In fact the phrase is a gentle euphemism : he simply began to rave when I said it and his cat Pioum and I had the greatest difficulty calming him down. Souriau is the Professor Tournesol of mathematics. He is a willing practitioner of high mathematical indignation. However this indignation should not be confused with anger in the trivial sense of the word. Rather, that I play Molière's "Monsieur Jourdain" is this area. Physicists often use mathematics without knowing it (and vice-versa in fact).
In admitting, provisionally, the use of "non specified" words, everything happens as if we had considered only that "local topology" of Schwarzschild geometry was "hyperspheric" (that the Schwarzschild sphere "contains" a "B3 ball"). We have made it "hypertoric". That's why I proposed the term "hypertoric geometries".
We mentioned earlier the inversion of space. It is negotiated with the groups. Can we understand that differently ? We saw that Lanturlu plunged his left hand into the gorge sphere and saw a right hand come out. In fact each atom of his hand followed a "radial" geodesic, perpendicular to the surface.
Let us not forget to mention in passing that this system of representation is not isometric. As with the paper with a hole. If we measure the distance covered in the two half spaces by a test atom belonging to Lanturlu's hand (Archibald Higgin's in English issues) it would not coincide with the real distance measured with a piece of string.
Let us return to the figure shown previously.
Here we have shown a geodesic arc AB that crosses the gorge circle and its image in the planar representation space below. The non-isometric character of the representation becomes even more apparent. The lengths of the arcs AB and A'B' are very different.
Obviously it is fairly difficult to imagine that we can thread a string into the gorge sphere of a hypertoric passage. In tightening the string we would obtain a geodesic (line of the shortest path). After all, if we measured the length of the string in the 3d representation space (Lanturlu pushing in his arm) and we decided to measure the length of the string in this space, we would find a shorter length A'B'. The real length, measured in the 3d hypersurface, would be longer, as shown in the 2d drawing. The 3d representation with Lanturlu is therefore non-isometric, as is the planar representation above.
With the help of a few drawings these subtle concepts, developed from group theory, become less hermetic providing one "sees into space". That's what I'm trying to teach you how to do, see into a 3d curved space.
Let us return to the question of enantiomorphy, the inversion of objects when they cross the 2d or 3d gorge structure. Let us imagine radial geodesics in 2d. The word has become incorrect because in principal a radius is a straight line going off from a point. In fact it is question of constant j geodesics. See the earlier drawing which showed this azimuthal coordinate. However, for more concision, we will continue to use the word "radial" using inverted commas. Mark you, the word "radial" is already a result of the choice of representation space. Imagine that a letter R (which is not identical to its mirror image, its enantiomorphic image) slips like a badly fixed transfer along our toric passage, each of its points moving according to a geodesic. The letter will find itself "on the other side". It is interesting to look at the result of the operation on a planar projection in the representation space.
We have shown a sort of ribbon whose edges are made of two geodesics. What do we notice ? In the representation space the letter R is inverted to become a Russian "ia", a reversed R, enantiomorphic. We are starting to understand why Lanturlu's hand seems to be inverted when it emerges in the "3d representation space", it becomes enantiomorphic.