برگرداندن کره و غوطه وری بطری کلین

برگرداندن کره

۷ دسامبر ۲۰۰۴

صفحه ۱

مقدمه

در موردی که در ادامه مطرح می‌شود، سطوح بسته مانند کره، تور و چند سطح دیگر را در نظر می‌گیریم. این سطوح به معنایی که مردم عادی از آن استفاده می‌کنند، یعنی اشیاء دو بعدی هستند که در فضای اقلیدسی سه بعدی R3 که فضای ذهنی ما برای نمایش است، نمایش داده می‌شوند. این سطوح می‌توانند به چند نوع نمایش مورد استفاده قرار گیرند. اگر سطح خودش را قطع نکند، آن را «غوطه ور» (در R3) می‌نامیم. اگر خودش را قطع کند، به آن «غوطه وری» می‌گوییم و این تقاطع به معنای وجود یک «مجموعه تقاطع خودی» (self-intersection) خواهد بود.

در غوطه وری‌های ما، فرض می‌کنیم که صفحه مماس به صورت پیوسته تغییر می‌کند و سطح هیچ گونه ناهمواری مانند راس یک مخروط ندارد. این سطوح «منظم» خواهند بود.

در مورد غوطه وری‌ها، شرط می‌گذاریم که در طول خطوط تقاطع خودی، دو صفحه مماس سطوحی که به هم برخورد می‌کنند، متمایز باشند.

جهان هندسه، به چشم ریاضیدان، کاملاً متفاوت از جهان فیزیکی است. اینکه سطوح بتوانند خودشان را قطع کنند، برای او هیچ مشکلی ندارد. اما در جهان فیزیکی این امکان وجود ندارد. اما در جهان فلسفی ممکن است. به عنوان مثال، در کتاب مقدس آمده است که وقتی مردگان زنده خواهند شد، به شکل «بدن‌های شکوهمند» خواهند بود. آن‌ها می‌توانند از هر چیزی عبور کنند و به طور اصلی قادر خواهند بود خودشان را قطع کنند. بنابراین، وقتی زمان داوری آخرین روز فراخواهد رسید، اگر شما به شکل بدن شکوهمند در رم از میان بگردید و گم شده باشید و به دنبال پلازا ناوانا بگردید، ممکن است از یک دیگری که زنده شده و به شکل شماست، جهت را بپرسید. فرض کنید که فردی که از آن پرسیده‌اید، در جهت مخالف از آن مکان حرکت می‌کند. در فضای فیزیکی معمولی، برای اینکه جهت صحیح را نشان دهد، باید خودش را بچرخاند تا انگشتش را به آن جهت نشان دهد. اما اگر به شکل بدن شکوهمند حرکت کند، چرخش لازم نخواهد بود. می‌تواند انگشت خود را به شکم خود بگذارد و خودش را قطع کند. وقتی دستش از پشت بدنش بیرون بیاید، فقط کافی است به شما بگوید: «اینجا است». با فرو بردن دستش در شکمش، در پوشش بدنی خود یک مجموعه تقاطع خودی تشکیل داده که از دو دایره تشکیل شده است و این مجموعه هنگامی که دوباره به حالت عادی بازگردد، ناپدید خواهد شد.

اگر یک انسان دهانش را ببندد، یک گیره لیمو به بینی‌هایش بگذارد تا آن‌ها را ببندد و سایر بازوهای طبیعی خود را نادیده بگیریم، پوسته بدنی او به توپولوژی کره S2 تبدیل می‌شود. فرض کنید یک موجود زنده شده به شکل بدن شکوهمند وجود داشته باشد که بازوهای طبیعی‌اش به همین شکل بسته شده باشند. می‌دانیم که می‌تواند خودش را قطع کند، یعنی پوسته بدنی او می‌تواند از حالت غوطه وری به حالت غوطه وری تبدیل شود. یکی از مسائل فلسفی که پیش آمد، این بود که آیا یک موجود زنده شده به شکل بدن شکوهمند می‌تواند بدون ایجاد چین‌هایی، خودش را برگرداند.

یک نکته کوچک: جادوگران از «حلقه‌های جادویی» استفاده می‌کنند که می‌توانند به صورت جادویی در هم قرار بگیرند. می‌توانیم تصور کنیم که سطوح را با نوعی «شبکه جادویی» نمایش دهیم که دو سطح، که در اینجا یکی سیاه و دیگری صورتی نمایش داده شده‌اند، به راحتی در هم قرار بگیرند.

شبکه جادویی

در هر صورت، باید قبول کنیم که بین ریاضیات و جادو اغلب تفاوت زیادی وجود ندارد. بیست سال پیش یک کتاب کاریکاتور طراحی کرده‌ام: تاپولوژیکون. این کتاب اکنون تمام شده و یافت نمی‌شود، مگر به صورت یک شیء جمع‌آوری. در یکی از صفحات آن این تصویر دیده می‌شود:

این بسیار متأسف است که انتشارات بلین تصمیم گرفتند این مجموعه را رها کنند. باید بگوییم که با هزینه تولید کمتر از یک یورو، فروش کتاب‌ها به قیمت ۱۳ یورو (به علاوه هزینه ارسال) به صورت اینترنتی، علاوه بر اینکه سود ۱۲ یورو را به دست می‌آورد، یعنی سود بیش از ۹۲ درصد قیمت فروش، استراتژی تجاری بسیار واضحی نیست، به خصوص برای کتاب‌های سیاه و سفید.

فرض کنید یک کره S2 در R3 غوطه ور شده باشد. فرض می‌کنیم سطح بیرونی آن خاکستری و داخلی آن صورتی باشد. می‌توانیم دو نقطه متقابل (که به طور دلخواه «قطب شمال» و «قطب جنوب» نامیده می‌شوند) را فشار دهیم تا به یک نقطه برسند. این کار را می‌توانیم مثلاً با یک بیکر انجام دهیم. وقتی این کار را با یک بیکر ریاضی (که نمی‌دانیم آیا بیکرها زنده می‌شوند یا نه به شکل بدن شکوهمند) انجام دهیم، دو ناحیه قطبی، پس از تماس در یک نقطه، می‌توانند به صورت منحنی تقاطع خودی که به شکل دایره است، خودشان را قطع کنند. به طور پیش‌بینی، می‌گوییم که این سطح یک فاجعه از نوع Do را تجربه کرده است.

سپس ممکن است بخواهیم بیکر یا کره را برگردانیم و این عملیات را ادامه دهیم. اما در این صورت یک چین بوجود می‌آید که به صورت یک چین ناگوار یا دقیق‌تر یک سطح برگشتی (شکل d) تبدیل می‌شود.

در اواخر دهه پنجاه، سؤال مهم این بود که آیا می‌توان بیکر فلسفی را بدون ایجاد چین برگرداند، هنوز حل نشده بود. در واقع، همه فکر می‌کردند که این کار کاملاً غیرممکن است. اما در سال ۱۹۵۷، یک ریاضیدان به نام استیون اسمال (که جایزه فیلدز را برای کار دیگری دریافت کرد) ثابت کرد که تمام غوطه وری‌های کره S2 در R3 یک مجموعه یکتایی را تشکیل می‌دهند و همیشه می‌توان یک دنباله از تغییرات پیوسته غوطه وری (که به آن هم‌توبی منظم هم گفته می‌شود) پیدا کرد که بتواند از یک حالت به حالت دیگر برسد. نتیجه این بود که باید بتوانیم با یک دنباله پیوسته غوطه وری، از غوطه وری استاندارد کره S2 به غوطه وری قطبی برگردیم. به زبان ساده‌تر: باید بتوانیم یک کره را بدون ایجاد چین برگردانیم، به شرطی که به آن اجازه دهیم خودش را برگرداند.

استاد اسمال، راول بوت بود. او از دانشجویش پرسید که چگونه باید این کار را انجام داد. اسمال پاسخ داد که هیچ ایده‌ای ندارد، اما قضیه‌اش کاملاً غیرقابل تکان دادن است. اسمال به طور کلی در فضا نمی‌بیند، اما این موضوع برایش مهم نبود (همانطور که در بسیاری از هندسه‌دانان دیده می‌شود). و اگر صادق باشیم، پس از اثبات قضیه‌اش، به شدت از روشی که ممکن است برای اجرا کردن این کار وجود داشته باشد، بی‌تفاوت بود و سریع به موضوع دیگری پرداخت و همکاران ریاضی خود را در بزرگترین گیجی ماند. من فکر می‌کنم که این کار خیلی دوست‌داشتنی نیست که چنین مسئله‌ای را ایجاد کنی و سپس مردم را به مدت ده سال به دنبال راه حل بگذاری.

باید بگوییم که تصور غوطه وری‌ها در ذهن بسیار دشوار است. با این حال، ما سطوحی را می‌شناسیم که تنها به این شکل در R3 قابل نمایش هستند. به عنوان مثال، بطری کلین.

بطری کلین

این را در اینجا با یک سیستم شبکه-سیستم مختصات که از دو مجموعه منحنی بسته تشکیل شده است، مانند تور، نمایش داده‌ایم. بنابراین می‌توانیم یک بطری کلین را بدون ایجاد ناهمواری شبکه‌ای بسازیم. اما همانطور که می‌بینید، این سطح به طور ضروری به صورت منحنی بسته، یعنی دایره، خودش را قطع می‌کند. بنابراین نمی‌توانیم یک بطری کلین را در R3 غوطه ور کنیم. من امتحان کرده‌ام، نمی‌شود. تنها می‌توانیم آن را غوطه ور کنیم. با استعداد نقاشی من، شما تقریباً قادر خواهید بود این شیء را در ذهن خود ببینید. اما وقتی باید یک کره را برگرداندیم، باید پیکربندی‌های بسیار پیچیده‌تری را در نظر گرفت. روش نمایش آن‌ها کمتر راحت بود. برخی از آن‌ها از خمیر مدل سازی استفاده می‌کردند. وقتی آن‌ها را در کنفرانس‌ها می‌دیدیم، معمولاً در گوشه‌ای می‌نشستند و جعبه‌های کفش یا جعبه‌های کلاه‌هایی باز می‌کردند که حاوی اشیاء بیشتر یا کمتر وحشتناک بودند. نقاشی بالا، روش راحت‌تری برای ساخت و کار با این اشیاء را نشان می‌دهد: با چیزی که به آن «سیم مسی» می‌گوییم، یک آلیاژی که به اندازه کافی انعطاف‌پذیر است تا بدون مشکل خم شود، اما همچنان انعطاف خود را حفظ می‌کند. بهترین روش این است که نقاط برخورد خطوط را (توصیه می‌شود از میله‌های ۲ میلی‌متری استفاده کنید) با کمک بند سیم فیکس کنید. مزیت این کار این است که می‌توانید آن‌ها را به هر جایی که فکر می‌کنید شکل نهایی داشته باشد، لغزش دهید. سپس می‌توانید با یک نقطه چسب تمام لغزش‌ها را حذف کنید.

در عمل، کمتر است که نیاز به استفاده از بطری کلین داشته باشیم. در ادامه، عکسی از یک بطری کلین که من برای نیازهای شخصی خودم استفاده می‌کنم آورده شده است.

این اشیاء، اگر کمی حس زیبایی داشته باشید، خیلی زیبا هستند. وقتی معلم مجسمه‌سازی در مدرسه هنرهای زیبا در آکس-آن-پروونس بودم، چند تا از آن‌ها را ساختم. اما قبل از اینکه به این تکنیک بپردازم، چند بار تجربه‌های بی‌نتیجه داشتیم که سیم نرم و کاغذ را مخلوط می‌کردیم که نتایج آن زیبایی کمی داشت. یادم می‌آید که یک روز باید از مارسی به پاریس قطار بگیرم تا چند سطح را به دوستم گمنام ریاضیدان، آندرو لیکنروویچ، ببرم که من توانسته بودم نمایش‌های کافی از آن‌ها بسازم. به ویژه سطح بوی که من یک نقشه جغرافیایی که روی یک قطب متمرکز بود را روی آن قرار داده بودم. در نهایت یک شیء فوق‌العاده زیبا به دست آمد که بیست سال در سال پی دو موزه کشف در پاریس نمایش داده شد. اما یک سال پیش مدیریت موزه تصمیم گرفت که این سطح از مد خارج شده و اکنون در یک انبار یا زیرزمین است. امیدوارم در حین حمل و نقل فشرده نشده باشد. همه این‌ها را گفتم تا بگویم که اکنون نمی‌توانید هیچ‌جا سطح بوی را ببینید، مگر در کتاب‌ها یا در یک CD-ROM که من ۱۸ کارتون علمی خودم را به فرمت PDF ثبت کرده‌ام، از جمله تاپولوژیکون. چگونه این CD-ROM را تهیه کنید.

اما بیایید به سفری که از مارسی به پاریس انجام دادم بازگردیم. من از دو کیف پر شده بودم و تصمیم گرفتم سه مدل را همراه خود ببرم. تنها راه حل این بود که آن‌ها را دور گردنم بگذارم. اما وقتی از فضای ایستگ