معکوس کردن کرو و نمایش بطری کلین
معکوس کردن کرو
۷ دسامبر ۲۰۰۴
صفحه ۱
مقدمه
در ادامه، سطوح بستهای مانند کرو، تور و چند سطح دیگر را در نظر خواهیم گرفت. این سطوح به معنایی که مردم عادی از آن میدانند، یعنی اشیاء دو بعدی هستند که در فضای اقلیدسی سهبعدی R3 که فضای ذهنی ما برای نمایش است، نمایش داده میشوند. این سطوح میتوانند به چند نوع نمایش مورد استفاده قرار گیرند. اگر سطح خود را قطع نکند، گوییم آن را غوطهور کردهایم (در R3). اگر سطح خود را قطع کند، آن را نمایش دادهایم و این تقاطع به معنای وجود یک مجموعه تقاطع خودی (self-intersection) خواهد بود.
در غوطهوریهای ما، فرض میکنیم که صفحه مماس به صورت پیوسته تغییر میکند و سطح بدون تکینگی مانند رأس یک مخروط است. این سطوح منظم خواهند بود.
در مورد نمایشها، میخواهیم که در طول خطوط تقاطع خودی، دو صفحه مماس سطوحی که همدیگر را قطع میکنند، متمایز باشند.
جهان هندسه، به گونهای که ریاضیدان آن را میبیند، تا حد زیادی با جهان فیزیکی متفاوت است. اینکه سطوح بتوانند خود را عبور دهند، برایشان مشکلی نیست. اما در جهان فیزیکی، چنین چیزی ممکن نیست. اما در جهان فراطبیعی این امکان وجود دارد. به عنوان مثال، در کتاب مقدس آمده است که وقتی مردگان زنده خواهند شد، به صورت "بدنهای شکوهمند" خواهند بود. در این حالت، میتوانند از هر چیزی عبور کنند و به طور اصلی قادر به عبور از خودشان خواهند بود. بنابراین، وقتی زمان داوری آخر به نزدیکی خواهد رسید و شما به صورت بدن شکوهمند در رم از میان میگذارید و گم شدهاید و دنبال پلازا ناوانا میگردید، ممکن است تمایل داشته باشید که از یک مرد دیگر زنده شده که ظاهری شبیه به شما دارد، جهت را بپرسید. فرض کنید که شخصی که از آن پرسیدهاید، در جهت مخالف این مکان حرکت میکند. در فضای فیزیکی معمولی، برای نشان دادن جهت صحیح، باید خودش را بچرخاند تا انگشتش را به آن جهت نشان دهد. اما اگر به صورت بدن شکوهمند حرکت کند، چرخش لازم نخواهد بود. میتواند انگشت خود را به شکم خود نشان دهد و خودش را عبور دهد. وقتی دستش از پشت بدن خود بیرون میآید، فقط کافی است که به شما بگوید "از این طرف". با فرو بردن دستش در شکمش، در پوشش بدنی خود یک مجموعه تقاطع خودی تشکیل داده که از دو دایره تشکیل شده است که هنگام بازگشت به حالت عادی ناپدید خواهد شد.
اگر یک انسان دهان خود را ببندد، یک گیره لیمویی را روی بینیهایش بگذارد تا آنها را ببندد و سایر سوراخهای طبیعی خود را نادیده بگیریم، پوست بدن او به توپولوژی کرو S2 تبدیل میشود. فرض کنید یک موجود زنده شده به صورت بدن شکوهمند باشد که سوراخهای طبیعی او مسدود شده باشد. ما میدانیم که میتواند خودش را عبور دهد، یعنی پوست بدن او میتواند از حالت غوطهوری به حالت نمایش برسد. یکی از مسائل فلسفی که پیش روی این موجود قرار گرفت، این بود که آیا یک انسان زنده شده به صورت بدن شکوهمند میتواند بدون ایجاد چین، خودش را معکوس کند.
یک نکته کوچک در مسیر. جادوگران میدانند که از "حلقههای جادویی" استفاده کنند که میتوانند به صورت جادویی یکدیگر را عبور دهند. میتوانیم تصور کنیم که سطوح را با نوعی "شبکه جادویی" نمایش دهیم که دو سطح، که در اینجا یکی مشکی و دیگری صورتی نشان داده شدهاند، بدون مشکل یکدیگر را عبور دهند.
شبکه جادویی
هر چند، باید بپذیریم که اغلب تفاوت زیادی بین ریاضیات و جادو وجود ندارد. بیست سال پیش یک کتاب طنز طراحی کردم: تاپولوژیکون. این کتاب اکنون تمام شده و یافت نمیشود، مگر به صورت یک شیء جمعآوریشده. در یکی از صفحات آن این تصویر را میتوان دید:
این بسیار ناامیدکننده است که انتشارات بلین تصمیم گرفتهاند این مجموعه را رها کنند. باید بگوییم که با هزینه تولید کمتر از یک یورو، فروش کتابها به قیمت ۱۳ یورو (به علاوه هزینه پست) به صورت اینترنتی، علاوه بر اینکه سود خالص ۱۲ یورو داشت، یعنی سود بیش از ۹۲ درصد قیمت فروش، استراتژی تجاری بسیار واضحی نبود، به ویژه برای کتابهای سیاه و سفید.
فرض کنید کروی S2 در R3 غوطهور شده باشد. فرض میکنیم سطح بیرونی آن خاکستری و سطح داخلی آن صورتی قدیمی باشد. میتوانیم دو نقطه متقابل (که به صورت دلخواه "قطب شمال" و "قطب جنوب" نامیده میشوند) را فشار دهیم تا به یک نقطه برسند. میتوانیم این کار را به صورت مثال با یک بیگانه انجام دهیم. وقتی از یک بیگانه ریاضی (که نمیدانیم آیا بیگانهها زنده میشوند یا نه به صورت بدن شکوهمند) صحبت میکنیم، دو منطقه قطبی، پس از تماس در یک نقطه، میتوانند به صورت منحنی تقاطع خودی که به شکل دایره است، یکدیگر را عبور دهند. به طور پیشبینی، میگوییم این سطح یک فاجعه از نوع Do را تجربه کرده است.
سپس ممکن است تمایل داشته باشیم که بیگانه، کرو را معکوس کنیم و این عمل را ادامه دهیم. اما در این حالت یک لبه برجای میماند که به صورت یک چین ناگوار تبدیل میشود یا دقیقتر، یک سطح بازگشتی (شکل d).
در پایان دهه ۱۹۵۰، سوال جدی این بود که آیا میتوان بیگانههای فلسفی را بدون ایجاد چین معکوس کرد که هنوز حل نشده بود. در واقع، همه فکر میکردند که این کار کاملاً غیرممکن است. اما در سال ۱۹۵۷، یک ریاضیدان به نام استیوین اسمال (که جایزه فیلدز را برای کار دیگری دریافت کرد) ثابت کرد که تمام نمایشهای مختلف کرو S2 در R3 یک مجموعه منحصر به فرد را تشکیل میدهند و همیشه میتوان یک دنباله از تغییرات پیوسته نمایش (که به آن همتایی منظم نیز گفته میشود) پیدا کرد که بتواند از یک حالت به حالت دیگر برسد. نتیجه این بود که باید بتوان با یک دنباله پیوسته از نمایشها از غوطهوری استاندارد کرو S2 به غوطهوری متقابل آن برسیم. به زبان سادهتر: باید بتوانیم بدون ایجاد چین، کرو را معکوس کنیم، به شرطی که به آن اجازه دهیم خودش را معکوس کند.
استاد اسمال، رائول بوت بود. او از دانشجویش پرسید که چگونه باید این کار را انجام داد. اسمال پاسخ داد که هیچ ایدهای ندارد، اما قضیهاش کاملاً غیرقابل تکرار است. اسمال هیچگاه در فضا نمیبیند، اما این برایش مهم نیست (همانطور که در بسیاری از هندسهدانان دیده میشود). و اگر صادق باشیم، پس از اثبات قضیهاش، به شکلی بیتفاوت به اینکه چگونه میتوان این کار را اجرا کرد، توجه نکرد و بلافاصله به موضوع دیگری علاقهمند شد و همکاران ریاضی خود را در بزرگترین گیجی ماند. من فکر میکنم که این کار بسیار بیادبی است که چنین مسئلهای ایجاد کنی و سپس مردم را برای یافتن راهحل به دههها بعد بگذاری.
باید بگوییم که تصور نمایشها در ذهن بسیار دشوار است. با این حال، ما سطوحی را میشناسیم که تنها به این شکل میتوانند در R3 نمایش داده شوند. به عنوان مثال، بطری کلین.
بطری کلین
در اینجا به کمک یک سیستم شبکهای-سیستم مختصات که از دو مجموعه منحنی بسته تشکیل شده است، مانند تور، نمایش داده شده است. بنابراین میتوانیم بطری کلین را بدون ایجاد تکینگی شبکهای شبکهبندی کنیم. اما همانطور که میبینید، این سطح به طور ضروری بر روی یک منحنی بسته، یعنی دایره، خود را عبور میدهد. بنابراین، نمیتوانیم بطری کلین را در R3 غوطهور کنیم. من سعی کردم، اما جواب نداد. تنها کاری که میتوانیم انجام دهیم، نمایش دادن آن است. با استعداد نقاشی من، شما تقریباً میتوانید این شیء را در ذهن خود ببینید. اما وقتی نیاز به معکوس کردن کرو پیدا شد، باید پیکرههای بسیار پیچیدهتری را در نظر گرفت. روش نمایش آنها کمتر راحت بود. برخی از آنها از دوغه استفاده میکردند. وقتی آنها را در سمینارها میدیدیم، معمولاً به طرفی میرفتند و جعبههای کفش یا جعبههای کلاههای خود را باز میکردند که حاوی اشیاء بیشتر یا کمتر وحشتناک بود. نقاشی بالا، روش سادهتری برای ساخت و کار با این اشیاء را نشان میدهد: با چیزی که به آن "سیم مسی" میگویند، یک آلیاژی که به اندازه کافی انعطافپذیر است تا بدون مشکل خم شود، اما همچنان الاستیسیته خود را حفظ میکند. بهترین روش این است که نقاط تقاطع خطوط را (توصیه میشود از میلههای ۲ میلیمتری استفاده کنید) با کمک بستههای سیمی ثابت کنید. مزیت این کار این است که میتوانید آنها را به هر جایی بکشید، حداقل تا زمانی که فکر کنید شیء به شکل نهایی خود رسیده است. سپس میتوانید با چسب کوچک هر گونه لغزشی را حذف کنید.
در عمل، کمتر است که نیاز به استفاده از بطری کلین داشته باشیم. در زیر، عکسی از یک بطری کلین که من برای نیازهای شخصی خودم استفاده میکنم، آورده شده است.
این اشیاء، به شرطی که کمی حس زیبایی داشته باشید، بسیار زیبا هستند. وقتی معلم مجسمهسازی در مدرسه هنرهای زیبا در آیکس-آن-پروونس بودم، چند تا از آنها را ساختم. اما قبل از اینکه به این تکنیک بپردازم، بسیاری از تجربههای ناکام داشتیم که سیم نرم و کاغذ را مخلوط میکردیم که نتایجی با زیبایی کاملاً قابل بحث به دست میآمد. یادم میآید که یک روز باید قطاری را از مارسی برای حمل چند سطح به پاریس به دوست عزیزم ریاضیدان آندرو لیکنروویچ بگیرم که موفق شده بودم نمایشهای کافی از آنها را بسازم. به ویژه سطح بوی که روی آن یک نقشه مرکزی بر روی یک قطب گذاشته بودم. در نهایت، یک شیء فوقالعاده زیبا به دست آمد که مدت بیست سال در سال پی دو موزه کشف در پاریس نمایش داده شد. اما یک سال پیش مدیریت موزه تصمیم گرفت که این سطح از مد خارج شده و اکنون در یک انبار یا زیرزمین است. امیدوارم در حمل و نقل آسیب ندیده باشد. همه اینها را گفتم تا بگویم که اکنون نمیتوانید سطح بوی را در هیچ جا ببینید، مگر در کتابها یا در یک CD-ROM که من ۱۸ بخش کتاب طنز علمی خودم را به فرمت PDF ثبت کردهام، از جمله تاپولوژیکون. چگونه این CD-ROM را تهیه کنید.
اما بیایید به سفری که از مارسی به پاریس انجام دادم بازگردیم. من از دو کیف پر بودم و تصمیم گ