معکوس‌کردن کروی، ریاضیات کاتاستروفیک

معکوس‌کردن کروی

۸ دسامبر ۲۰۰۴

صفحه ۴

نسخه بِرِنارد مورین

برای دانلود نسخه PDF مقاله ۱۹۷۹ مورین و جی.پی. پیتی که در مجله «Pour la Science» منتشر شده است:

معکوس‌کردن کروی (۲٫۸ مگابایت)

ما از یک کروی شروع می‌کنیم که سطح خاکستری‌اش به بیرون و سطح صورتی‌اش به درون دیده می‌شود. در بخش‌های ب و ج قطب‌های آن به هم می‌رسند. سپس صفحات به صورت «کاتاستروفی مچ» یکدیگر را عبور می‌دهند. یک منحنی بسته خودتقاطع ایجاد می‌شود. در پایین و سمت راست سه نیم‌برش کمک می‌کنند تا ترکیب حاصل را بهتر درک کنیم. در این مرحله کروی شبیه یک «کشتی بادی گرد» است که دارای یک «بند» و یک «کف دو لایه» است.

مرحله اول: یک «کاتاستروفی مچ». ایجاد منحنی بسته خودتقاطع

عملیات دوم: کاتاستروفی مچ دوباره، ایجاد یک منحنی بسته دوم.

ایجاد دومین منحنی بسته خودتقاطع

برای این کار، «کشتی بادی» به صورت پیچ‌خورده با حرکتی چرخشی، دو بخش مخالف از «بند» را به هم نزدیک کرده است. تصویر بعدی نتیجه دو کاتاستروفی است که منجر به ایجاد «لایه‌های پرتقال» می‌شود.

پس از ایجاد دو لایه پرتقال

در سمت چپ، برش‌هایی در مدل انجام شده است. در وسط، نحوه عبور یکدیگر دو استوانه که به طور محلی برش آن‌ها شکل حرف یونانی «گاما» را می‌دهد، نشان داده شده است. به یاد داشته باشید که کاتاستروفی ایجاد «لایه‌های پرتقال» با برش یک «تکه چوب» با دو صفحه تشکیل‌دهنده یک زاویه دووجهی انجام می‌شود. هر یک از ساختارهای استوانه‌ای که برش آن به شکل «گاما» است، هم برش گرد و هم زاویه دووجهی را دارد. به تصویر i توجه کنید. در j کل ساختار خودتقاطع رسم شده است. بزرگ‌ترین بخش منحنی بسته از کاتاستروفی اولیه مچ ناشی می‌شود که کروی را به کشتی بادی تبدیل کرده بود. پس از ایجاد دو لایه پرتقال، یک مجموعه پیچیده‌تر به دست می‌آید که j زیرمجموعه‌ای از آن است. در j' می‌بینید که این ساختار می‌تواند به عنوان اتصال دو لایه پرتقال روی دو لبه غیرمجاور یک چهاروجهی مقایسه شود.

همه این موارد در آینده به مراتب ساده‌تر قابل درک خواهد بود وقتی که بتوانم انیمیشن‌هایی تولید کنم. از نظر فنی هیچ مشکلی وجود ندارد. فقط زمان مورد نیاز است. افرادی که نه تنها می‌توانند در فضا ببینند، یعنی این کدگذاری مبتنی بر خطوط، خطچه‌ها، رنگ‌ها، سایه‌ها و بازتاب‌ها را بخوانند، بلکه بتوانند در ذهنشان تبدیل‌هایی را به صورت متحرک تصور کنند، بسیار نادر هستند. امیدوارم روزی زمانی برای انجام همه این کارها داشته باشم. در اینجا توجه داشته باشید که می‌توان از مدل‌های چندوجهی استفاده کرد، همان‌طور که من برای نشان دادن چگونگی تبدیل یک «کراس‌کپ» به سطح بوی استفاده کرده‌ام. این آینده است. اما این مدل‌ها باید اختراع شوند. در ادامه، نسخه بهینه‌شده چندوجهی مدل مرکزی این تبدیل که توسط بِرِنارد مورین (به یاد داشته باشید که او کور است!) ابداع شده است، به همراه روش ساخت خود از طریق برش آورده شده است.

چرا این کارها را به اندازه کافی پیش نبردم؟ می‌گویم: به دلیل عدم «راه‌های امیدبخش». هیچ مجله‌ای از ریاضیات این گونه کارها را قبول نمی‌کند. ما در سال‌های ۱۹۷۵ تا ۱۹۷۸ از طریق چندین یادداشت در «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris» این کار را انجام دادیم که احتمالاً توسط افراد زیادی خوانده نشده است. اما این کار به دلیل علاقه شخصی آکادمیک آندرو لیکنرویچ بود. او اکنون درگذشته است. از آنجا که این کارها از سال ۱۹۷۵ به طور کامل به پایان رسیده بود، بودن مناسب بود که از طریق طراحی‌های من، یک فیلم انیمیشن تولید شود. از آنجا که من در زمینه طراحی انیمیشن کار کرده بودم، کاملاً قادر بودم این پروژه را هماهنگ کنم. اما پیدا کردن مالیات از سوی CNRS غیرممکن بود و در نهایت ریاضیدان آمریکایی نلسون ماکس با الهام از مدل‌های ساخته شده توسط همکارش چارلز پو، و با استفاده از یک کامپیوتر قدرتمند، اولین فیلم را تولید کرد. اما این نه اولین، نه آخرین باری است که فرانسوی‌ها، که تلاش‌هایشان هیچ پاسخی نمی‌گیرند، توسط همکاران خارجی بهتر سازمان‌دهی شده و پشتیبانی شده، از پیش‌رویشان عقب می‌مانند.

حال به مرحله سوم، که سخت‌ترین بخش برای درک است، می‌پردازیم.

آماده‌سازی دو کاتاستروفی «شلوار»

در تصویر k دو انتهای «پای شلوار» به وضوح دیده می‌شوند که جزئیات آن در تصویر جلویی k' نشان داده شده است. پیکان سفید نشان‌دهنده عبور «در بین پاها» است. این تبدیل واقعاً سخت است. من تصویر m را اضافه کرده‌ام تا بهتر قابل درک باشد. در l من با خطچه‌ها منحنی خودتقاطع را نشان داده‌ام که به طور کامل در l' دیده می‌شود. یک عبور (که توسط پیکان سفید عبور می‌کند) بسته می‌شود. این حرکت بسته شدن با بالا رفتن بخشی از منحنی تقاطع در دو نقطه همراه است. این انتهای منحنی به هم می‌رسند، هر کدام روی یکی از خطوط متعلق به «لایه‌های پرتقال» قرار می‌گیرند. هنگامی که تماس برقرار شود، جراحی انجام می‌شود. مشکل اینجاست که پس از دیدن چهار کاتاستروفی اولیه در صفحه قبلی، باید بتوانید آن‌ها را از تمام زوایا، حتی با چرخش گردن خود، درک کنید. در n لحظه حیاتی که جراحی انجام می‌شود («وضعیت میانی» تبدیل) و نحوه اتصال انتهای منحنی تغییر می‌کند، نشان داده شده است. می‌دانیم که این کاتاستروفی «شلوار» یک مسیر را می‌بندد و مسیر دیگری را باز می‌کند. مسیر اولیه با پیکان سفید نشان داده شده است. اما مسیر دیگری وجود دارد که اگر مدل را ۱۸۰ درجه حول یک محور عمودی بچرخانیم، از همان زاویه دیده می‌شود. این پیکان‌ها تنها یکی را تشکیل می‌دهند. قبل از اینکه این کاتاستروفی‌ها اعمال شوند، هنوز می‌توان در این «کشتی بادی پیچیده» حرکت کرد. اما پس از اعمال این کاتاستروفی‌ها، این مسیر دیگر امکان‌پذیر نخواهد بود. در عوض دو مسیر دیگر ایجاد خواهند شد. اما کجای فضا مورد تأثیر قرار می‌گیرند؟ این مسیرها داخل لایه‌های پرتقال را با بیرون ارتباط خواهند داد. در l' این لایه‌های پرتقال را می‌بینید. به مرحله بعد برویم.

بسته شدن مسیر. به سمت یک وضعیت بحرانی دوگانه

در o دو کاتاستروفی «شلوار» در دو مرحله مختلف نشان داده شده است. یکی از مسیرها کاملاً بسته شده است. ما در وضعیت بحرانی قرار داریم، دقیقاً قبل از اینکه شکل اتصال قوس‌های منحنی تغییر کند. در سمت راست (جزئیات در تصویر o') مسیر در حال بسته شدن است. بنابراین، ظاهر منحنی خودتقاطع در o" در سمت راست و چپ متفاوت است. در تصاویر p، p' و p" بحرانیت (وضعیت «میانی» تبدیل) از هر دو طرف به دست آمده است. در صفحه بعدی جراحی‌ها اثر خود را گذاشته‌اند. لوله‌هایی که در تصویر p" شروع به تشکیل می‌شدند و لایه‌های پرتقال را با بیرون ارتباط می‌دادند، اکنون تشکیل شده‌اند:

دو کاتاستروفی شلوار اثر خود را گذاشتند. مسیرها (پیکان‌های سفید) باز شده‌اند.

حالا کار به سمت بخش پایینی مدل ادامه می‌یابد که جزئیات آن در r نشان داده شده است. این بخش سطح را با دقت نگاه کنید. دو بخش استوانه‌های سهموی که در دو جهت عمود بر هم قرار دارند، هم‌دیگر را قطع می‌کنند. در پایین r یک مسیر وجود دارد که به سمت خواننده است. ما قصد داریم این دو استوانه را نسبت به هم لغزش دهیم. این کار منجر به بسته شدن این مسیر و باز شدن یک مسیر دیگر در جهت عمود بر آن («از راست به چپ») خواهد شد. اینجا یک کاتاستروفی جدید «شلوار» را تشخیص می‌دهیم. اگر این لغزش عمودی این بخش‌های استوانه‌ای سهموی انجام شود، دوباره به یک وضعیت بحرانی خواهیم رسید، که در آن نحوه اتصال صفحات تغییر می‌کند. اما در واقع، به دلیل اقتصادی، ما فرآیند را در بحرانیت، در «وضعیت میانی» متوقف می‌کنیم، زمانی که مسیر به سمت خواننده بسته شده و مسیر در جهت عمود بر آن هنوز باز نشده است. بیایید این کار را انجام دهیم.

کاتاستروفی جدید شلوار، شروع شده به صورت L، متوقف شده در سمت راست، در بحرانیت

در L یک فشار بر استوانه‌ای که رنگ صورتی‌اش به بیرون است وارد می‌کنیم و آن را بالا می‌بریم. در c' اثر این حرکت بر کل ساختار خودتقاطع دیده می‌شود: قوس‌های منحنی شروع به نزدیک شدن می‌کنند. هنگامی که بحرانیت به دست آید، این بخش از ساختار شبیه «کمربند مخلوط‌کن» خواهد بود که در تصویر نشان داده شده است. تصاویر سمت راست، t، t'، t": بحرانیت به دست آمده است، یعنی «لحظه میانی کاتاستروفی». در t" ظاهر کل ساختار خودتقاطع به گونه‌ای است که بخش پایینی آن با کمربند مخلوط‌کن ما هم‌خوانی دارد. تصویر t' حجم کوچک چهاروجهی را نشان می‌دهد. در t''' تقاطع چهار صفحه نشان داده شده است.

بیایید یک آسپرین بخورید.

در این نسخه از معکوس‌کردن کروی، تمام تبدیل‌ها و کاتاستروفی‌ها باید به پایان برسند. اما ما کاتاستروفی که اخیراً مطرح کردیم را در حالت میانی، «بحرانی» قفل می‌کنیم. سپس یک کاتاستروفی را آغاز می‌کنیم که تاکنون استفاده نشده است: کاتاستروفی که یک چهاروجهی را معکوس می‌کند. اما دوباره ما در وضعیت «میانی» متوقف می‌شویم، زمانی که این چهاروجهی به یک نقطه کاهش یافته است. بیایید این کار را انجام دهیم!

آخرین کاتاستروفی، متوقف شده در مرحله میانی: هنگامی که چهاروجهی به یک نقطه چهارگانه Q کاهش یافته است

در t''' یک اشاره به ترکیب چهار صفحه است که ساختار خودتقاطع حجمی به شکل چهاروجهی دارد. در u" این چهاروجهی به یک نقطه (چهارگانه، چون چهار صفحه بر هم قطع می‌شوند) کاهش یافته است. در سمت چپ مدل چهار گوش مورین ساخته شده است. در جلو، ساختار خودتقاطع با «کمربند مخلوط‌کن» در پایین و چهار گوشی که شبیه گوش‌های خرگوش هستند در بالا. با کمی تغییر شکل سطح، بدون اعمال کاتاستروفی جدید، به سمت راست به مدل مرکزی چهار گوش مورین می‌رسیم. این مدل دارای تقارن مرتبه چهار است. اگر یک چرخش ۹۰ درجه حول محور تقارن عمودی انج