معکوس‌کردن کروی به عنوان یک معضل ریاضی

معکوس‌کردن کروی

۸ دسامبر ۲۰۰۴

صفحه ۴

نسخه بِرنارد مورین

برای دانلود نسخه PDF مقاله ۱۹۷۹ بِرنارد مورین و جی.پی. پتی که در مجله «Pour la Science» منتشر شده است:

معکوس‌کردن کروی (۲٫۸ مگابایت)

ما از یک کروی شروع می‌کنیم که سطح خاکستری خود را به بیرون و سطح صورتی را به درون دارد. در بخش‌های b و c قطب‌های آن به هم می‌رسند. سپس صفحات به صورت یک «فاجعه مفصلی» یکدیگر را عبور می‌دهند. یک منحنی بسته خودتقاطع ایجاد می‌شود. در پایین و سمت راست سه نیم‌برش به بهتر درک کردن پیکربندی حاصل کمک می‌کنند. در این مرحله کروی شبیه یک «قایق هوازی» گردان به نظر می‌رسد که دارای یک «بند» و یک «کف دو لایه» است.

مرحله اول: یک «فاجعه مفصلی». ایجاد یک منحنی بسته خودتقاطع

عملیات دوم: فاجعه مفصلی دیگر، ایجاد یک منحنی بسته دیگر.

ایجاد دومین منحنی بسته خودتقاطع

برای این کار، «قایق هوازی» به صورت چرخشی خم شده است که دو بخش مخالف «بند» را به هم نزدیک کرده است. تصویر بعدی نتیجه دو فاجعه است که منجر به ایجاد «لایه‌های گردو» شده است.

پس از ایجاد دو «لایه گردو»

در سمت چپ، برش‌هایی در مدل انجام شده است. در مرکز، نحوه عبور یکدیگر دو استوانه که به صورت محلی برش آن‌ها شکل حرف یونانی «گاما» را می‌دهد، نشان داده شده است. به یاد داشته باشید که فاجعه ایجاد «لایه‌های گردو» با برش یک «چوب» با دو صفحه که یک زاویه دووجهی تشکیل می‌دهند، انجام می‌شود. هر یک از ساختارهای استوانه‌ای که برش آن به شکل «گاما» است، هم بخش دایره‌ای و هم زاویه دووجهی را دارد. به دقت به شکل i نگاه کنید. در j کل ساختار خودتقاطع رسم شده است. بزرگ‌ترین بخش منحنی بسته از فاجعه مفصلی اولیه ناشی می‌شود که کروی را به «قایق هوازی» تبدیل کرده است. پس از ایجاد دو لایه گردو، یک مجموعه پیچیده‌تر به دست می‌آید که j زیرمجموعه‌ای از آن است. در j' می‌بینید که این ساختار می‌تواند به صورت اتصال دو «لایه گردو» روی دو لبه غیرمجاور یک چهاروجهی مقایسه شود.

همه این موارد روزی به سادگی بیشتر قابل درک خواهند بود که من بتوانم انیمیشن‌هایی تولید کنم. از نظر فنی هیچ مشکلی ندارم. فقط زمان مورد نیاز است. افراد کمی هستند که نه تنها بتوانند فضای سه‌بعدی را ببینند، یعنی این کدگذاری را که از خطوط، نقطه‌چین‌ها، رنگ‌ها، سایه‌ها و بازتاب‌ها استفاده می‌کند، بخوانند، بلکه بتوانند در ذهن خود تبدیل‌هایی را به صورت متحرک تجسم کنند. امیدوارم روزی زمان کافی برای انجام همه این کارها پیدا کنم. به طور عابری توجه داشته باشید که می‌توان از مدل‌های چندوجهی استفاده کرد، همان‌طور که من برای نشان دادن اینکه چگونه می‌توان یک «کروس‌کپ» را به «سطح بوی» تبدیل کرد، از آن استفاده کرده‌ام. این آینده است. اما این مدل‌ها باید اختراع شوند. در ادامه، نسخه بهینه‌شده چندوجهی مدل مرکزی این تبدیل که توسط بِرنارد مورین (به یاد داشته باشید که او کور است!) ابداع شده است، و نحوه ساخت خودشان از طریق برش دادن، ارائه شده است.

چرا من این کارها را به این حد پیش نبردم؟ می‌گویم: به دلیل «عدم امکان انتشار». هیچ مجله‌ای از ریاضیات این گونه کارها را پذیرفته است. ما در سال‌های ۱۹۷۵ تا ۱۹۷۸ از طریق چندین یادداشت در «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris» موفق شدیم، که احتمالاً توسط افراد زیادی خوانده نشده‌اند. اما این به دلیل علاقه شخصی آکادمیک «آندره لیکنروویچ» به این کارها بود. او اکنون درگذشته است. از آنجا که این کارها از سال ۱۹۷۵ به طور کامل به پایان رسیده بود، بودن مناسب بود که یک فیلم انیمیشن از طریق طرح‌های من تولید شود. از آنجا که من در طراحی انیمیشن کار کرده بودم، کاملاً قادر بودم چنین پروژه‌ای را هماهنگ کنم. اما پیدا کردن بودجه از سوی CNRS ممکن نبود و در نهایت ریاضیدان آمریکایی نلسون ماکس با الهام از مدل‌های ساخته شده توسط همکارش چارلز پو، و با استفاده از یک کامپیوتر قدرتمند، اولین فیلم را تولید کرد. اما این نه اولین، نه آخرین باری است که فرانسوی‌ها، که هیچ پاسخی از تلاش‌هایشان دریافت نمی‌کنند، به این شکل توسط همکاران خارجی بهتر سازمان‌دهی شده و حمایت شده جلویشان گرفته می‌شوند.

حال به مرحله سوم، سخت‌ترین مرحله برای درک، بپردازیم.

آماده‌سازی دو فاجعه «شلوار»

در شکل k دو انتهای «پایه شلوار» به وضوح دیده می‌شود که جزئیات آن در بخش جلویی k' نشان داده شده است. پیکان سفید جهت عبور «در بین پاها» را نشان می‌دهد. این تبدیل واقعاً سخت برای درک است. من شکل m را اضافه کرده‌ام تا بهتر درک شود. در l من با خط‌چین‌ها منحنی خودتقاطع را نشان داده‌ام که در کل در l' دیده می‌شود. یک عبور (که توسط پیکان سفید طی می‌شود) بسته می‌شود. این حرکت بسته شدن همراه با بالا رفتن بخشی از منحنی تقاطع در دو نقطه است. این انتهای منحنی به هم می‌رسند، هر کدام روی یکی از خطوط مربوط به «لایه‌های گردو». هنگامی که تماس برقرار می‌شود، جراحی انجام می‌شود. مشکل اینجاست که پس از دیدن چهار فاجعه اولیه در صفحه قبلی، باید بتوانید آن‌ها را از تمام زوایا، حتی با چرخاندن مهره‌های گردن، درک کنید. در n لحظه حیاتی که جراحی انجام می‌شود («وضعیت میانی» تبدیل) و نحوه اتصال انتهای منحنی تغییر می‌کند، نشان داده شده است. می‌دانیم که این فاجعه «شلوار» یک عبور را می‌بندد و یک عبور دیگر را باز می‌کند. عبور اولیه توسط پیکان سفید نشان داده شده است. اما یک عبور دیگر وجود دارد که اگر مدل را ۱۸۰ درجه حول یک محور عمودی بچرخانیم، از همان زاویه دیده می‌شود. این پیکان‌ها تنها یکی را تشکیل می‌دهند. قبل از اینکه این فاجعه اتفاق بیفتد، هنوز می‌توان در این «قایق هوازی خم‌شده» حرکت کرد. اما پس از اینکه این فاجعه اثر خود را بگذارد، این عبور دیگر امکان‌پذیر نخواهد بود. در عوض، دو عبور دیگر ایجاد می‌شوند. اما کجای فضا مورد تأثیر قرار می‌گیرند؟ این عبورها داخل «لایه‌های گردو» را با بیرون ارتباط می‌دهند. در l' این لایه‌های گردو را می‌بینید. به مرحله بعد برویم.

بسته شدن عبور. به سمت وضعیت بحرانی دوگانه

در o دو فاجعه «شلوار» در دو مرحله مختلف نشان داده شده است. یکی از عبورها کاملاً بسته شده است. ما در وضعیت بحرانی هستیم، دقیقاً قبل از اینکه شکل اتصال قوس‌های منحنی تغییر کند. در سمت راست (جزئیات در شکل o') عبور در حال بسته شدن است. بنابراین، شکل منحنی خودتقاطع در o" در سمت راست و چپ متفاوت است. در شکل‌های p، p' و p" بحرانیت (وضعیت «میانی» تبدیل) از دو طرف به دست آمده است. در صفحه بعدی، جراحی‌ها اثر خود را گذاشته‌اند. لوله‌هایی که در شکل p" دیده می‌شدند و ارتباط بین «لایه‌های گردو» و بیرون را برقرار می‌کردند، اکنون تشکیل شده‌اند:

دو فاجعه «شلوار» اثر خود را گذاشته‌اند. عبورها (پیکان‌های سفید) باز شده‌اند.

حالا کار به سمت بخش پایینی مدل ادامه می‌یابد که جزئیات آن در r نشان داده شده است. به این بخش سطح با دقت نگاه کنید. دو بخش استوانه‌های سهموی دیده می‌شوند که در دو جهت عمود بر هم قطع می‌شوند. در پایین r یک عبور وجود دارد که به سمت خواننده است. ما قصد داریم این دو استوانه را نسبت به هم لغزش دهیم. این کار منجر به بسته شدن این عبور و باز شدن یک عبور دیگر در جهت عمود بر آن («از راست به چپ») خواهد شد. اینجا یک فاجعه «شلوار» دیگر را می‌شناسیم. اگر این لغزش عمودی این بخش‌های استوانه‌ای سهموی انجام شود، دوباره به یک وضعیت بحرانی خواهیم رسید، که در آن نحوه اتصال صفحات تغییر می‌کند. اما در واقع، به دلیل اقتصادی، ما فرآیند را در بحرانیت، در «وضعیت میانی» متوقف می‌کنیم، زمانی که عبور به سمت خواننده بسته شده و عبور در جهت عمودی هنوز باز نشده است. بیایید این کار را انجام دهیم.

فاجعه جدید شلوار، آغاز شده به صورت L، متوقف شده در سمت راست، در بحرانیت

در L یک فشار به استوانه‌ای که رنگ صورتی خود را به بیرون نشان می‌دهد و آن را بالا می‌بریم. در c' اثر این حرکت بر روی کل ساختار خودتقاطع دیده می‌شود: قوس‌های منحنی شروع به نزدیک شدن می‌کنند. هنگامی که بحرانیت به دست آید، این بخش از ساختار شبیه یک «کوسه برای مخلوط کردن تخم‌مرغ» خواهد بود که در شکل نشان داده شده است. در سمت راست، شکل‌های t، t'، t": بحرانیت به دست آمده است، یعنی «لحظه میانی فاجعه». در t" شکل کل ساختار خودتقاطع که بخش پایینی آن با کوسه مخلوط کردن تخم‌مرغ ما هم‌خوانی دارد. شکل t' حجم کوچک چهاروجهی را نشان می‌دهد. در t''' تقاطع چهار صفحه نشان داده شده است.

یک داروی ضد سردرد بخورید.

در این نسخه از معکوس‌کردن کروی، تمام تبدیل‌ها و فاجعه‌ها باید به پایان برسند. اما ما فاجعه‌ای که اخیراً مطرح کردیم را در حالت میانی خود، «بحرانی» متوقف می‌کنیم. سپس یک فاجعه را که هنوز استفاده نکرده‌ایم، آغاز می‌کنیم: فاجعه معکوس کردن یک چهاروجهی. اما اینجا نیز ما در وضعیت «میانی» متوقف می‌شویم، زمانی که این چهاروجهی به یک نقطه کاهش یافته است. بیایید این کار را انجام دهیم!

آخرین فاجعه، متوقف شده در مرحله میانی: هنگامی که چهاروجهی به یک نقطه چهارگانه Q کاهش یافته است

در t''' یک اشاره به پیکربندی چهار صفحه که ساختار خودتقاطع آن حجمی به شکل چهاروجهی دارد، نشان داده شده است. در u" این چهاروجهی به یک نقطه (چهارگانه، چون چهار صفحه بر هم تقاطع دارند) کاهش یافته است. در سمت چپ مدل «چهار گوش مورین» تشکیل شده است. در جلوی تصویر، ساختار خودتقاطع با «کوسه مخلوط کردن تخم‌مرغ» در پایین و چهار گوش که شبیه «گوش‌های خرگوش» هستند، در بالا نشان داده شده است. با کمی تغییر شکل سطح، بدون ایجاد فاجعه جد