معکوسکردن تور کلاین
معکوسکردن تور
۵ دسامبر ۲۰۰۴
صفحه ۶
معکوسکردن غیرمعمول تور
جی.پی. پتی:
گزارشهای مختصر آکادمی علوم، جلد ۲۹۳، جلسه ۵ اکتبر ۱۹۸۱، سری ۱، صفحات ۲۶۹ تا ۲۷۲
من تنها کافی خواهم بود که دنبالهی طرحها را ارائه دهم و بدون توضیح بیان کنم.
معکوسکردن غیرمعمول تور. بخش اول تبدیل
معکوسکردن غیرمعمول تور. بخش دوم تبدیل
وقتی به شکل v میرسیم، متوجه میشویم که اکنون ساختار خاکستری و ساختار صورتی را به هم میتوان همراستا کرد تا این شیء به یک پوشش دو لایهای بطری کلاین تبدیل شود.
در این مرحله، معکوسکردن با جابجایی لایههای مقابل انجام میشود. در زیر، همان طرح با کد رنگی.
پوشش دو لایهای بطری کلاین با کد رنگی
(این طرح بخشی از گزارش سالانه من به سازمان ملی تحقیقات علمی (CNRS) نیست. این طرح در کتاب «توپولوژیکون» یافت خواهد شد.)
خانوادههای مختلف تورها
آنچه استیون اسمال در سال ۱۹۵۷ ثابت کرد این بود که تنها یک خانواده از فرآیندهای فرود (ایمیژن) برای کره وجود دارد و تمام این فرآیندها میتوانند با یک هموتوپی به هم متصل شوند. این فرآیندها یک گروه تشکیل میدادند که عضو خنثی آن، نگه داشتن شیء در حالت فعلی آن بود. این سؤال مطرح شد که آیا برای تور نیز همینطور خواهد بود؟ ریاضیدانان ایوان جیمز و امری توماس نشان دادند که فرآیندهای فرود تورها در چهار قاره تقسیم میشوند که با استفاده از هموتوپی منظم نمیتوان از یکی به دیگری سفر کرد.
چهار خانواده تور
«تور استاندارد»، که در وسط صفحه رسم شده است، به همان خانوادهای تعلق دارد که شیء نمایش داده شده در b نیز متعلق به آن است. این موضوع را در نسخهای از معکوسکردن تور که در سال ۱۹۸۰ اختراع کرده بودم، به طور عابری نشان داده بودم. خانواده معرفی شده در a نشاندهندهی یک تور است که ۳۶۰ درجه پیچ خورده است. اگرچه شبیه تور استاندارد به نظر میرسد، اما این دو شیء از طریق سیستم نقشهبرداری خود، با استفاده از دو خانواده از منحنیها تعریف میشوند. در تور استاندارد از دو مجموعه دایرهها استفاده میشود که به ترتیب به عنوان خطوط نصفالنهار و خطوط عرضی در نظر گرفته میشوند. در تور a باید خانواده دوم دایرهها را به صورت معکوس به دایرههای اولیه متصل کرد. آنچه قابل نشان دادن است این است که با استفاده از یک هموتوپی منظم، نمیتوان مدل شبکهای تور a را با مدل شبکهای تور استاندارد (دایرههای نصفالنهار به همراه دایرههای عرضی) همراستا کرد. این همان دلیلی است که این دو شیء متفاوت هستند. البته تمام این شیء میتوانند به صورت یک پوشش دو لایهای بطری کلاین تنظیم شوند.
قدرت ابزارهای هندسهدان این است که بتواند پیشبینی کند که چه کارهایی ممکن و چه کارهایی غیرممکن هستند. تبدیل تور استاندارد به تور شکل b: بله. انتقال از c به d: خیر.
این امر از اتلاف زمان به شکل بیفایده جلوگیری میکند و به ویژه مایهی تشویق به جستجوی چیزهایی است که به هیچ وجه آشکار نیستند، مانند معکوسکردن یک کره. این امر در تمام علوم رخ میدهد. گاهی اوقات افراد به مسیرهای بسیار مفید میپردازند، سالها یا حتی قرنها، فقط به دلیل اینکه فکر میکردند این کار غیرممکن است. من چند سال از زندگیام را صرف ساختن یک نظریه برای حذف موجهای شوک اطراف یک جسم که با سرعت فراتر از صوت در یک گاز حرکت میکند، با استفاده از یک میدان نیروی لاپلاس، یعنی «MHD» کردهام. یک دانشجو حتی در زیر نظارت من رسالهای در این زمینه نوشت و ما این کارها را در مجلات و کنفرانسهای علمی با داوری منتشر کردیم. این موضوع تنها در سی سال بعد از آن شروع به ظهور کرد. اکنون حدس زده میشود که آمریکاییها دارای هواپیماهای فوقصوتی هستند که میتوانند با سرعت مک ۱۰ حرکت کنند بدون ایجاد موج شوک (و به ویژه بدون مواجهه با بارهای حرارتی عظیم ناشی از بازفشری هوا پس از این «پاپها»). این موضوع معروف به «آورورا» است، دستگاهی که در ارتفاعی که گرماهای قطبی رخ میدهند، بین ۸۰ تا ۱۵۰ کیلومتر بالای سطح زمین حرکت میکند. آورورا همچنین پیشبینیکنندهی فضاییهای آینده است که با استفاده از هوا، بسیار مقرون به صرفهتر از موشکهای سازمان فضایی فرانسه (CNES) خواهند بود. در فرانسه، انجام چنین تحقیقاتی غیرممکن بود (ایdeen را در سال ۱۹۷۵ داشتم)، زیرا مردم، به ویژه در CNRS، آن را کاملاً بیمنطق میدانستند. نتیجه این است که به نظر من، سی سال تأخیر نسبت به ایالات متحده وجود دارد که به نظر من غیرقابل جبران است.
شوخی سیگار
برای کامل بودن باید نسخههای معکوسکردن کره که در آن شیء مرکزی یک «شکری سیگار» است، معرفی شود. این شیء در جوانی من رایج بود، اما امروزه احتمالاً کمتر دیده میشود. نخستین کسی که این دنبالهها را رسم کرد، جورج فرانسیس بود. سالهاست که روی یک نسخه چندوجهی از این نسخهها کار میکنم که تاکنون یک مدل مرکزی خوب ایجاد کرده است. اما برای نشان دادن آن به شما، باید بتوانم دوباره به آن دست پیدا کنم. امیدوارم به زودی این کار انجام شود، چرا که این یکی از جذابترین اشیاءی است که تاکنون ساختهام.
صفحه قبلی صفحه بعدی
بازگشت به راهنما بازگشت به صفحه اصلی
تعداد بازدیدهای این صفحه از تاریخ ۸ دسامبر ۲۰۰۴: