معکوسکردن توپولوژیکی توی کلین
معکوسکردن تو
۹ دسامبر ۲۰۰۴
صفحه ۶
معکوسکردن غیرمعمول توی
جی.پی. پیت:
گزارشهای آکادمی علوم، جلد ۲۹۳، جلسه ۵ اکتبر ۱۹۸۱، سری ۱، صفحات ۲۶۹ تا ۲۷۲
من تنها کافی است که دنبالهٔ نقاشیها را ارائه دهم، بدون توضیح.
معکوسکردن غیرمعمول توی. بخش اول تبدیل
معکوسکردن غیرمعمول توی. بخش دوم تبدیل
وقتی به شکل v میرسیم، متوجه میشویم که اکنون ساختار خاکستری و ساختار صورتی را میتوان به هم منطبق کرد و این شیء را به یک پوشش دو لایهای بطری کلین به تبدیل کرد.
در این مرحله، معکوسکردن با تعویض لایههای مقابل انجام میشود. در زیر، همان نقاشی با کد رنگی.
پوشش دو لایهای بطری کلین با کد رنگی
(این نقاشی بخشی از گزارش سالانه من به سازمان ملی تحقیقات علمی (CNRS) نیست. آن را در کتاب "توپولوژیکون" پیدا خواهید کرد)
خانوادههای مختلف تویها
آنچه استیون اسمال در سال ۱۹۵۷ ثابت کرد این بود که تنها یک خانواده از فرآیندهای جایگزینی کروی وجود دارد و تمام این فرآیندها میتوانند از طریق یک هموتوپی به هم متصل شوند. این فرآیندها یک گروه را تشکیل میدادند که عضو خنثی آن، نگه داشتن شیء در حالت اصلی بود. سؤالی که مطرح شد این بود که آیا میتواند برای توی نیز صدق کند؟ ریاضیدانان ایوان جیمز و امیری توماس نشان دادند که جایگزینیهای توی در چهار قاره تقسیم میشوند که بین آنها با استفاده از یک هموتوپی منظم نمیتوان پیمود.
چهار خانواده توی
"توی استاندارد"، که در وسط صفحه رسم شده، به همان خانوادهای تعلق دارد که شیء نمایش داده شده در b دارد. این را در نسخهٔ معکوسکردن توی که در سال ۱۹۸۰ اختراع کرده بودم، به طور عابری نشان دادم. خانواده مورد اشاره در a نشاندهندهٔ یک توی است که یک پیچش ۳۶۰ درجه داشته است. این توی شبیه به توی استاندارد است، اما دو شیء از طریق سیستم نقشهبرداری خود، با استفاده از دو خانواده از منحنیها تعریف میشوند. در توی استاندارد، دو مجموعه از دایرهها که به ترتیب به عنوان خطوط نصفالنهار و خطوط عرضی در نظر گرفته میشوند، استفاده میشود. در توی a باید خانوادهٔ دوم دایرهها را که در جهت مخالف پیچیده شدهاند، به آن اضافه کرد. آنچه قابل نشان دادن است این است که با استفاده از هموتوپی منظم، نمیتوان ماهیچهٔ این توی a را با ماهیچهٔ توی استاندارد (دایرههای نصفالنهار به همراه دایرههای عرضی) همپوشانی کرد. به همین دلیل است که این دو شیء متفاوت هستند. همهٔ این شیءها به طور واضح میتوانند به شکل یک پوشش دو لایهای بطری کلین تنظیم شوند.
قدرت ابزارهای هندسهدان این است که بتواند پیشبینی کند که چه چیزی ممکن است و چه چیزی غیرممکن است. تبدیل توی استاندارد به توی شکل b: بله. انتقال از c به d: خیر.
این کار زمان بیفایده را از بین میبرد و به ویژه تشویق میکند تا چیزهایی که به طور آشکار نیستند، مانند معکوسکردن یک کره، جستجو شوند. این مسئله در تمام علوم صادق است. گاهی اوقات مردم سالها یا حتی قرنها از راهحلهای مثمر میگذرند، فقط به این دلیل که فکر میکردند انجام آنها غیرممکن است. من چند سال از زندگیام را صرف ساختن یک نظریهٔ حذف موجهای شوک در اطراف یک شیء که با سرعت فراتر از صوت در یک گاز حرکت میکند، با استفاده از یک میدان نیروی لاپلاس، در "MHD" کردهام. یک دانشجو حتی در زیر نظر من رسالهای در این زمینه نوشت و ما این کارها را در مجلات داوری شده و کنفرانسهای علمی منتشر کردیم. این موضوع تنها در سی سال بعد از آن شروع به ظهور کرد. اکنون احتمال داده میشود که آمریکاییها دارای هواپیماهای فوقصوتی هستند که میتوانند با سرعت مک ۱۰ بدون ایجاد موج شوک حرکت کنند (و به ویژه بدون مواجهه با بارهای حرارتی عظیم ناشی از بازفشردگی هوا پشت این "ضربهها"). این امر به معروف "میث آورورا" اشاره دارد، یک هواپیمایی که در ارتفاعی که گرماهای قطبی رخ میدهند، بین ۸۰ تا ۱۵۰ کیلومتر بالای سطح زمین پرواز میکند. آورورا همچنین پیشبینیکنندهٔ موشکهای فضایی آینده است که با استفاده از هوا عمل میکنند و بسیار اقتصادیتر از موشکهای CNES خواهند بود. در فرانسه، انجام چنین تحقیقاتی غیرممکن بود (ایدههایم را در سال ۱۹۷۵ داشتم)، زیرا مردم، به ویژه در CNRS، آن را کاملاً بیمنطق میدانستند. نتیجه این است که سی سال تأخیر نسبت به ایالات متحده وجود دارد که به نظر من کاملاً غیرقابل جبران است.
شوخی سیگار
برای کامل بودن، باید نسخههای معکوسکردن کرهای که در آن شیء مرکزی یک "شکری سیگار" است، معرفی شود. این شیء در جوانی من رایج بود، اما امروزه به ندرت دیده میشود. اولین کسی که این دنبالههای نقاشی را کشید، جورج فرانسیس بود. در سالهای اخیر، روی یک نسخهٔ چندوجهی از این نسخهها کار میکنم که در حال حاضر یک مدل مرکزی خوششکل ایجاد کرده است. اما برای نشان دادن آن به شما، باید بتوانم دوباره به آن دست یابم. به زودی، امیدوارم، زیرا این یکی از جذابترین شیءهایی است که تاکنون ساختهام.
صفحه قبلی صفحه بعدی
بازگشت به راهنمای بازگشت به صفحه اصلی
تعداد بازدیدهای این صفحه از تاریخ ۸ دسامبر ۲۰۰۴: