گروه‌ها و عملیات هم‌هم‌بندی تکانه فیزیک

6

ما اجزای لحظه گروه بارگمن را نخواهیم نوشت. به صورت ساده، لحظه گروه بارگمن را به این صورت می‌نویسیم:

JB = { یک اسکالر m، به علاوه سایر اجزای لحظه }

اقدام هم‌نوع

نشان می‌دهد که چگونه اجزای مختلف لحظه تبدیل می‌شوند. اما این اقدام هم‌نوع با رابطه ساده زیر شروع می‌شود:

(63)

m' = m

اقدام هم‌نوع گروه بارگمن بر لحظه‌اش با حفظ جرم شروع می‌شود که به این ترتیب با یک وضعیت کاملاً هندسی ظاهر می‌شود.

ساخت اقدام هم‌نوع گروه پوانکاره بر فضای لحظه‌های آن Jp.

اگر کاملاً گیج شده‌اید، از اینجا بگذرید. این طبیعی است و با پیش رفتن صفحات سخت‌تر خواهد شد. در این مرحله دیگر نمی‌دانم این مطلب به چه کسی مربوط می‌شود. احتمالاً به فیزیک‌دانان نظری یا ریاضیدانان، اما احتمالاً نه به کارگران ساختمانی. اما یک دانشجوی دانشکده بزرگ یا کارشناسی فیزیک که پایدار بماند، می‌تواند دنبال کند. اینها فقط ماتریس‌ها هستند.

همه چیز از یک گروه ماتریس‌های ۴×۴ شروع می‌شود که گروه لورنتس را تشکیل می‌دهند، که عنصر آن L است.

این ماتریس‌ها به صورت اکسیوماتیک از طریق ماتریس G تعریف می‌شوند:

(64)

بر اساس:

(65)

t L G L = G

که در آن t L نماینده ترانهاده ماتریس L است.

ماتریس‌های L یک گروه را تشکیل می‌دهند.

اثبات.

عنصر خنثی L = 1 است:

فرض کنید L1 و L2 دو عنصر از مجموعه باشند. بررسی می‌کنیم که آیا حاصلضرب L1 L2 به گروه تعلق دارد یا خیر. اگر اینطور باشد:

t (L1 L2) G L1 L2 = G

اما:

t (A B) = t B t A

بنابراین:

t (L1 L2) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2

حال معکوس ماتریس L را محاسبه می‌کنیم. از تعریف اکسیوماتیک عناصر L شروع می‌کنیم:

t L G L = G

از سمت راست در L-1 ضرب می‌کنیم:

t L G L L-1 = G L-1 → t L G = G L-1

از سمت چپ در G ضرب می‌کنیم:

G t L G = G G L-1 → G t L G = L-1

بنابراین معکوس ماتریس L به صورت زیر است:

L-1 = G t L G

پس:

(66)

بردار فضازمان. ماتریس G از متریک مینکوفسکی به دست می‌آید که می‌توان آن را به صورت زیر (با c = 1) نوشت:

(67)

تمرین: نشان دهید که ماتریس معکوس این شرط را دارد:

(68)

سپس یک بردار انتقال فضازمانی را معرفی می‌کنیم:

(69)

از این بردار، عنصر gp گروه پوانکاره ساخته می‌شود:

(70)

تمرین: نشان دهید که این مجموعه یک گروه تشکیل می‌دهد و معکوس ماتریس را محاسبه کنید:

(71)

در ادامه، بردار مماس بر گروه، یعنی عنصر "جبر لی" آن:

(72)

از این مبنایی، اقدام معکوس را محاسبه می‌کنیم:

(73)

dgp' = gp-1 × dgp × gp

به منظور سهولت محاسبه، متوجه می‌شویم که:

(74)

G dL یک ماتریس متقارن نیست. آن را به این صورت نام‌گذاری می‌کنیم:

(75)

بنابراین:

(76)

فرض کنیم:

(77)

از این مواد، اقدام معکوس را تشکیل می‌دهیم:

(78)

dgp' = gp-1 × dgp × gp

پس از تمام محاسبات، به کاربرد زیر خواهیم رسید:

(79)

اگر می‌خواهید این بخش محاسبات ماتریسی ساده را رد کنید، به معادله (80) در پایین صفحه مراجعه کنید.

(79a)

(79b)

بنابراین عناصر اقدام معکوس به صورت زیر هستند:

(79c)

اما:

(79d)

بنابراین:

(79e)

اما GG = 1، پس:

(79f)

از اینجا کاربرد زیر به دست می‌آید:

(79g)

که اقدام معکوس مورد نظر را تشکیل می‌دهد، کاربرد:

(80)

بازگشت به زیربخش "گروه‌ها و فیزیک"