7
یک عنصر
g
p از گروه پوانکاره Gp با دنباله‌ای از پارامترهای {
p
i} تعریف می‌شود که، همان‌طور که قبلاً گفته شد، تعداد آن‌ها برابر با
بعد گروه
است. ماتریس
d g
(g = e)
از کمیت‌های {
dp
i} تشکیل شده است. بنابراین، کاربرد فوق از نوع زیر است:
(81)
به عبارت دیگر، به یک مجموعه از اسکالرها
dp
i، یک تعداد برابر از اسکالرها
dp
i
' نظیر می‌شود.
دوقطبی بودن به این معناست که یک اسکالر ثابت باقی می‌ماند، طبق:
(82)
که در آن n بعد گروه است (ده برای گروه پوانکاره). اسکالرهای Ji نماینده مؤلفه‌های تکانه هستند که تعداد آن‌ها نیز یکسان است.
ما تصمیم می‌گیریم تکانه
J را به دو جزء تقسیم کنیم. اولی یک ماتریس
M نامتقارن با ابعاد (4,4) است که دارای شش مؤلفه است، و دومی یک "چهاربردار" (quadrivector)
P، ماتریس با ابعاد (4,1) است:
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
ضرب داخلی را به صورت زیر می‌نویسیم:
(85)
Tr به معنای "ترایس" است، و داریم:
(86)
این یک تابع خطی است که نگهداری آن، دوقطبی بودن را تضمین می‌کند.
با توجه به:
(87)
(87b)
(87c)
اما
GG
= 1
بنابراین این برابر است با:
(88)
جملات مربوط به
y را شناسایی می‌کنیم (89)
یعنی:
(90)
----> در اینجا دوباره جزئیات محاسبات ماتریسی آمده است. اگر تمایل دارید،
با کلیک کردن روی اینجا
می‌توانید مستقیماً به نتیجه برسید.
در ترایس می‌توانیم جایگشت چرخشی انجام دهیم.
(90a)
(90b)
(90c)
جمله دوم سمت راست برابر با حاصلضرب یک ماتریس سطری در یک ماتریس ستونی است.
این برابر است با ترایس حاصلضرب معکوس (در ادامه به صورت شماتیک، حاصلضرب یک ماتریس سطری در یک ماتریس ستونی آورده شده است):
(90d)
در این ترایس، می‌توانم یک جایگشت چرخشی انجام دهم:
(90e)
بنابراین:
(90f)
(90g)
در اینجا دوباره از قضیه ترایس ماتریس‌ها که حاصلضرب یک ماتریس در یک ماتریس متقارن است، استفاده می‌کنیم.
هر ماتریسی می‌تواند متقارن یا نامتقارن شود. همچنین، ترایس حاصلضرب یک ماتریس در یک ماتریس متقارن صفر است.
(90h)
این را می‌توانم به ماتریس (90i) اعمال کنم،
چون ترایس گرفته می‌شود
(90j)
(90k) = متقارن ( ) + نامتقارن ( )
اما:
(90l)
بنابراین:
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
و:
(90q)
در نهایت:
(90r)
با جمع‌بندی و جابجایی علامت اُمَلِ (prime) به سمت دیگر، عمل گروه را به دست می‌آوریم:
تصاویر
بازگشت به زیربخش "گروه‌ها و فیزیک"