گروه‌ها و عملیات هم‌هم‌گرد مومنتوم فیزیک

8

(91)

این عملیات مزدوج می‌تواند به صورت ماتریسی نوشته شود.

ماتریس گروه پوانکاره به صورت زیر است:

(92)

Transpose آن به صورت زیر است:

(93)

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

(94)

یعنی ما می‌خواهیم تکانه زاویه‌ای

(95)

Jp = { M, P }

را به صورت ماتریسی بنویسیم و حاصلضرب زیر را تشکیل دهیم:

(96)

(97)

(98)

که می‌توانم آن را به ماتریس زیر شناسایی کنم:

(99)

بنابراین Jp تکانه گروه پوانکاره به صورت ماتریسی است. و عملیات مزدوج به صورت زیر نوشته می‌شود:

(100)

به عنوان تمرین، خواننده می‌تواند با استناد به اصول، بررسی کند که این واقعاً یک عملیات است.

تکانه گروه پوانکاره می‌تواند به صورت زیر به صورت صریح بیان شود:

(101)

این ماتریس ضد متقارن است (که به این معناست که قطر اصلی آن از صفر تشکیل شده است).

ماتریس M به صورت زیر است:

(102)

آن را به صورت زیر توضیح می‌دهیم:

(103)

این واقعاً یک ماتریس ضد متقارن است، فرضیه‌ای که از ابتدا مطرح شده بود و به شش پارامتر وابسته است:

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

سه پارامتر آخر ( fx , fy , fz ) مؤلفه‌های یک بردار، بردار-جابجایی f هستند:

(105)

سه پارامتر اول ( lx , ly , lz ) مؤلفه‌های مستقل یک ماتریس ضد متقارن (3,3)، چرخش l هستند:

(106)

بنابراین:

(107)

بردار P چهار بردار تکانه-انرژی است:

(108)

در این صورت می‌توان تکانه گروه پوانکاره را به صورت کلی و صریح بیان کرد:

(109)

می‌توان بررسی کرد که این واقعاً یک شیء ده مؤلفه‌ای است (تعدادی که با تعداد ابعاد گروه برابر است).

(110)

Jp = { E , p_x , p_y , p_z , f_x , f_y , f_z , l_x , l_y , l_z } = { E , p , f , l }

بازگشت به زیربخش "گروه‌ها و فیزیک"