سوریو در یک آپارتمان قدیمی در ایکس زندگی می‌کند. دربی که به خیابان باز می‌شود، بسیار زیبا است. در ورودی یک وسیله غیرمعمول قرار دارد: یک صندلی حمل، از دوران قدیم، که متعلق به صاحب خانه، یک خانم، باستان‌شناس، به نظر می‌رسد. این صندلی کنار دیوار قرار دارد. تنها کاری که باید انجام داد این است که دو نفر حمل‌کننده پیدا کنید، دو میله چوبی بلند را در دو حلقه قرار دهید و سپس به صندلی بنشینید تا یک سرگرمی کوچک داشته باشید. درهای بازشویی شیشه‌ای هستند: شیشه‌های دو طرف را می‌توان با کشیدن بند‌های چرمی، نه با چرخاندن دسته، پایین آورد، همان‌طور که در کوچه‌های قطارهای دوران کودکی من بود.
چقدر همه این‌ها خیال‌پردازی می‌کند. متوجه می‌شوم که هرگز در یک صندلی حمل نشده‌ام. در این دوران بیکاری، مطمئن هستم که افرادی می‌توانند با راه‌اندازی اولین خط منظم صندلی‌های حمل در ایکس قدیم، زندگی خود را تأمین کنند. کافی است یک وسیله شبیه به صندلی‌های قدیمی بسازیم. این کار احتمالاً ساده است. سپس دو لباس مذهبی، دو موهای مصنوعی تهیه کنید و به سمت جلو بروید. مسیر: کورس میرابو. این کافی است. پس از آن، کافی است روی خیال بپردازید، کمی خیال‌پردازی داشته باشید.
ژان-ماری تنها با گربه‌اش، پیوم، در آپارتمان بزرگش که پر از طلا و چوب‌کاری است، زندگی می‌کند. پیوم بسیار دوست‌داشتنی است. با این حال، به طور کلی به گربه‌ها علاقه‌ای ندارم. اما این گربه بسیار مهربان و دوست‌داشتنی است.
ما معمولاً در آشپزخانه کار می‌کنیم، یک طبقه بالاتر. یک اتاق کوچک زیر سقف، که کوچکی آن در تضاد با بزرگی اتاق‌های پایین است. هر بار که ژان-ماری سعی می‌کند نوشیدنی محبوبش، فرنتر-برانکا، که بر پایه سیره است، را به من بدهد، که من آن را واقعاً ناگوار می‌یابم، اما او به آن تمام ویژگی‌های مثبت را نسبت می‌دهد.
وقتی در شهر قدم می‌زند، GPS خود را همراه می‌کند که هرگز از دستش نمی‌رود. در واقع، بسیار جذاب است که توسط ماهواره‌هایی که در فاصله چهل هزار کیلومتری خیابانی که در آن قدم می‌زنیم، هدایت شویم. برای بهتر شدن دریافت سیگنال، سوریو تمایل دارد در محور خیابان قدم بزند و چشمش را به صفحه نمایش مایع متمرکز کند. به نظر می‌رسد کارآمد باشد، اما همچنان نسبتاً خطرناک.
به نظر من ما خیلی خوشحالیم. یک شب دسامبر، به ملاقات او رفتم و این گفت‌وگو به وجود آمد.
-
می‌خواهم به تو درباره گروه‌ها بگویم. آیا یادت می‌آید اصول موضوعه؟
-
بله، شش تا هستند. این‌ها عبارتند از:
1 - عناصری مانند a، b، c، ... وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند.
2 - یک عمل داخلی وجود دارد، که با o ("دایره") نشان داده می‌شود، که دو عنصر مجموعه را ترکیب می‌کند.
a به مجموعه E تعلق دارد
b به مجموعه E تعلق دارد
a o b به مجموعه E تعلق دارد
3 - این عمل جابجایی دارد:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - عنصر خنثی e وجود دارد به طوری که:
a o e = e o a = a
5 - هر عنصر a از مجموعه، یک وارون (معکوس) دارد که با a⁻¹ نشان داده می‌شود، به طوری که:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
این پنج تا است؟
-
در نهایت، پنج، چهار یا یک. قاعده‌ای مطلق در شماره‌گذاری اصول موضوعه وجود ندارد. می‌توانیم اصول موضوعه 1 و 2 را به یک اصل موضوعه تبدیل کنیم:
-
عناصری مانند a، b، c، ... وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند، که دارای یک قانون ترکیب داخلی است که دارای شرایط زیر است:
a به مجموعه E تعلق دارد
b به مجموعه E تعلق دارد
a o b به مجموعه E تعلق دارد
این معادل است.
-
خوب، پنج، چهار، مهم نیست. به چه چیزی می‌خواهی برسی؟
-
من می‌خواهم آنچه را که به آن اصول موضوعه 4 و 5 گفته بودی، که عنصر خنثی و وارون را تعریف می‌کرد، از بین ببرم و آنها را با اصل موضوعه سندویچ جایگزین کنم. در مجموع، اصول موضوعه به این صورت هستند:
1 - عناصری مانند a، b، c، ... وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند.
2 - یک عمل داخلی وجود دارد، که با o ("دایره") نشان داده می‌شود، که دو عنصر مجموعه را ترکیب می‌کند.
a به مجموعه E تعلق دارد
b به مجموعه E تعلق دارد
a o b به مجموعه E تعلق دارد
3 - این عمل جابجایی دارد:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - سه عنصر a، b، c که به مجموعه E تعلق دارند، داده شده‌اند.
معادله زیر وجود دارد:
a o y o b = c
این معادله یک جواب منحصر به فرد دارد.
این چیزی است که من به آن اصل موضوعه سندویچ می‌گویم، جایی که "گوشت بوقلمون" y بین عناصر a و b قرار دارد، و c موجودیت سندویچ است. اصل موضوعه به این معناست:
می‌توانیم همیشه گوشت بوقلمون را از سندویچ بیرون بکشیم.
و من می‌گویم این اصول موضوعه گروه‌ها را تعریف می‌کنند، و معادل اصول قبلی هستند.
-
این جواب منحصر به فرد y عضو مجموعه E است، چون عمل داخلی و جابجایی دارد.
-
البته، این به خودی خود واضح است.
-
اما بهتر است این را بگوییم. نمی‌دانم چگونه می‌خواهی دو اصل موضوعه مربوط به عنصر خنثی و وجود وارون را بازیابی کنی، اما حداقل می‌فهمم چه چیزی باعث شده این ایده در ذهنت بوجود آید.
-
به خودم گفتم: "این چه کاربردی دارد؟"
-
دقیقاً. چه کاربردی دارد که داشتن عنصر خنثی داشته باشیم؟ به طور خالص، این به این معناست که "اگر مجموعه E و یک عنصر خنثی داشته باشیم، می‌توانیم تمام عناصر این مجموعه را با آن ترکیب کنیم و همان نتیجه را بگیریم". این برای من بی‌اهمیت است. به همین ترتیب، چه کاربردی دارد وارون به تنهایی؟ وقتی روی گروه‌ها یا هر چیز دیگری محاسبه می‌کنیم، همیشه با ضرب چپ یا راست با عناصر یا وارون آنها، عبارت‌هایی مانند a o a⁻¹ یا a⁻¹ o a را به دست می‌آوریم که با e جایگزین می‌شوند، سپس b o e یا e o b که با b جایگزین می‌شوند. اصل موضوعه سندویچ "عملکردی" است.
-
اگر بخواهی. بیایید به قضایای ناشی از اصل موضوعه سندویچ بپردازیم. اولین قضیه این است:
I - عنصر خنثی وجود دارد که وقتی با خودش ترکیب شود، خودش را تولید می‌کند:
e = e o e
II - این عنصر خنثی منحصر به فرد است.
اثبات:
از اصل موضوعه سندویچ شروع می‌کنیم. معادله a o y o b = c جواب منحصر به فرد y دارد.
این درست است اگر b = c = a باشد، بنابراین a o y o a = a جواب منحصر به فردی دارد. به راست ضرب کنید با y:
a o y o a o y = a o y
به a o y = e نام‌گذاری کنید.
این یک عنصر مجموعه است، چون a و y به مجموعه تعلق دارند و عمل داخلی است. بنابراین عنصری در مجموعه وجود دارد که:
e o e = e
قضیه I اثبات شد. به منحصر به فرد بودن، قضیه II بپردازیم. اگر منحصر به فرد نبود، عنصر دیگری در مجموعه وجود داشت، بگوییم f، که دارای خاصیت f o f = f بود.
داریم:
e o e = e
به راست ضرب کنید با f:
e o e o f = e o f
دوباره به راست ضرب کنید با e:
e o e o f o e = e o f o e
از جابجایی استفاده کنید:
e o (e o f) o e = e o f o e
این دو سندویچ هستند. به آنها p = e o (e o f) و q = e o f o e نام بدهید.
بر اساس اصل موضوعه سندویچ، می‌توانیم "گوشت بوقلمون را بیرون بکشیم"، یعنی عبارت‌های (e o f) و f را محاسبه کنیم که باید برابر باشند، چون p = q. بنابراین:
(e o f) = f
دوباره از فرضی که به عنصر دوم f داده شده بود، شروع کنید:
f o f = f
به راست ضرب کنید با e، دو بار به چپ:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
از جابجایی استفاده کنید:
e o (e o f) o f = e o e o f
با استفاده مجدد از اصل موضوعه سندویچ نتیجه می‌گیریم:
e o f = e
بنابراین:
e = f
قضیه III: اگر این عنصر e را که "با مربع خودش برابر است" در نظر بگیریم، به این نتیجه می‌رسیم که a o e = a
اثبات:
همیشه از اصل موضوعه سندویچ استفاده می‌کنیم. از تعریف e شروع می‌کنیم:
e o e = e
به ترتیب به راست با a و e ضرب کنید:
e o e o a o e = e o a o e
جابجایی را به کار ببرید.
e o (e o a) o e = e o a o e
بنابراین:
e o a = a
از e o e = e شروع کنید و به ترتیب به چپ با a و e ضرب کنید:
e o a o e o e = e o a o e
جابجایی را به کار ببرید.
e o (a o e) o e = e o a o e
در نتیجه:
a o e = a
قضیه III اثبات شد.
به قضیه IV بپردازیم (وجود وارون، که با a⁻¹ نشان داده می‌شود).
بیان: یک عنصر از مجموعه داده شده است. عنصر و تنها یک عنصر، جواب معادله زیر است:
a o y o a = a
این عنصر را a⁻¹ نامیده و به آن وارون a می‌گوییم. این عنصر دارای خواص زیر است:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
اثبات:
وجود و منحصر به فرد بودن این عنصر، نتیجه ساده‌ای از اصل موضوعه سندویچ است، وقتی به این صورت بیان می‌شود:
وقتی دو تکه نان با هم برابر و با سندویچ برابر باشند، گوشت بوقلمون، وارون تکه نان (یا سندویچ) است.
a o y o a = a
می‌توانیم جابجایی را به دو روش به کار ببریم:
(a o y) o a = a
a o (y o a) = a
اما می‌دانیم که:
e o a = a
a o e = a
بنابراین جواب y دارای خواص زیر است:
a o y = e
y o a = e
نشان می‌دهیم که این جواب منحصر به فرد است. اگر منحصر به فرد نبود، جواب دیگری مانند z وجود داشت:
a o z = e
z o a = e
معادله اول را به چپ با y ضرب کنید:
y o a o z = y o e
(y o a) o z = y
اما y o a = e
بنابراین:
z = y
این جواب را a⁻¹ نامیده و جواب معادله منحصر به فرد:
a o a⁻¹ o a = a
به این ترتیب، مجموعه جدید اصول موضوعه، خواصی را به دست می‌آورد که به طور سنتی گروه‌ها را تعریف می‌کنند.
بنابراین می‌توانیم گروه‌ها را با این مجموعه جدید اصول موضوعه تعریف کنیم:
تعریف گروه.
1 - عناصری مانند a، b، c، ... وجود دارند که به مجموعه E تعلق دارند.
2 - یک عمل داخلی وجود دارد، که با o ("دایره") نشان داده می‌شود، که دو عنصر مجموعه را ترکیب می‌کند.
a به مجموعه E تعلق دارد
b به مجموعه E تعلق دارد
a o b به مجموعه E تعلق دارد
3 - این عمل جابجایی دارد:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - سه عنصر a، b، c که به مجموعه E تعلق دارند، داده شده‌اند.
معادله زیر وجود دارد:
a o y o b = c
این معادله جواب منحصر به فردی دارد.
اگر عناصر مجموعه E، مجهز به عمل ترکیب داخلی، این چهار اصل موضوعه را برآورده کنند، می‌گویم که آنها یک گروه تشکیل می‌دهند.
قضیه: عنصر خنثی، وارون خودش است. این تعریف جدید عنصر خنثی، با استفاده از یک معادله، نوع دیگری از اثبات این ویژگی را ایجاد می‌کند.
e o e = e
این تعریف عنصر خاص e است. اما اصل موضوعه سندویچ باعث می‌شود این معادله با ویژگی (نه تعریف) وارون شناسایی شود.
قضیه دیگر: وارون وارون، برابر با خود عنصر است:
(a⁻¹)⁻¹ = a
a⁻¹ o a = e
a o a⁻¹ = e
a، وارون a⁻¹ است. بنابراین این ویژگی به دست می‌آید.
نشان می‌دهیم که:
(a o