ایتالیایی: آندره سامبوسکی، دانشگاه رم
اینجا کلیک کنید
تا نقشه مدل به مقیاس ۱:۱ نمایش داده شود که می‌توانید چاپ کرده و برش دهید.
با چاپ چهار نمونه از این نقشه روی کاغذ برشبری دو رنگ مختلف، می‌توانید خودتان مدل را بسازید،
با دنبال کردن دستورالعمل‌های نصب آن.
شاید قبلاً یک شیء عجیب را دیده باشید که بدون توقف در سمت چپ صفحه اول این وب‌سایت می‌چرخد. این چیست؟
یک روز، وقتی زمان پیدا کنم، روی این وب‌سایت توضیحی درباره معکوس کردن کره را قرار خواهم داد، همان‌طور که در شماره ژانویه ۱۹۷۹ مجله Pour la Science آورده بودم، یعنی... ۲۲ سال پیش! این کار نیازمند جزئیات فراوان و مقدمه‌ای است. "معکوس کردن یک کره" به چه معناست؟ برای فرد معمولی، کره تنها مجموعه‌ای از نقاط فضایی است که در فاصله R از یک نقطه ثابت O قرار دارند. اما یک هندسه‌دان همچنان به یک شیء که مانند یک کره منبسط شده است، مانند یک سیب زمینی مثلاً، "کره" می‌گوید. برای درک دقیق‌تر این مفاهیم، CD لانتورلو را که شامل کمیک "توپولوژیکون" است، تهیه کنید. با این حال، ریاضیدانان از این مفهوم فراتر می‌روند. یک سطح زمانی که در هر نقطه‌اش بتوان یک صفحه مماس تعریف کرد، "منظم" نامیده می‌شود. این امر امکان بی‌نهایت تغییر شکل منظم کره را فراهم می‌کند، در بی‌نهایت شکل‌های مختلف یک سیب زمینی، و همچنین با تغییر دلخواه مساحت این سطح. با این حال، در جهان فیزیکی، یک فرد که سعی کند کره را معکوس کند (یعنی سطح داخلی را به بیرون ببرد)، با امکان نداشتن عبور خود سطح از روی خودش مواجه می‌شود. وقتی این فرضیه را می‌پذیریم، یعنی ممنوعیت عبور سطح از روی خودش یا حتی لمس کردن آن، ریاضیدان از "جایگذاری" کره S2 صحبت می‌کند. اما ریاضیدانان همیشه تمام چیزهایی را می‌توانند انجام دهند. برای آنها، کره یک شیء "مجازی" و غیرمادی است، که در آن عبور از روی یک سطح مجاز است. دنباله‌ای از نقاشی‌های زیر نشان می‌دهد که یک کره از روی خودش عبور می‌کند. یک نمایش چنین نوعی که اجازه عبور خود را داشته باشد، "غوطه‌وری" نامیده می‌شود.
غوطه‌وری دارای مجموعه‌ای از عبورهای خودی است (در اینجا یک منحنی دایره‌ای ساده). با این حال، صفحه مماس باید به صورت پیوسته تغییر کند. با این فرض، وقتی به نقاشی بالایی نگاه می‌کنید، به وضوح می‌بینید که این عمل بخشی از سطح داخلی (که به رنگ سبز نشان داده شده) را به بیرون می‌برد. برای کامل کردن معکوس کردن، باید این نوع لوله استوایی را فشرده کرد. در اینجا به نظر می‌رسد مشکلی وجود دارد: این فشردگی پیوستگی صفحه مماس را نابود می‌کند، و بنابراین این تبدیل شامل یک مرحله است که خود یک غوطه‌وری نیست.
روزی، یک ریاضیدان آمریکایی به نام استیوین اسمال ثابت کرد که "کره S2 فقط یک کلاس غوطه‌وری دارد". این جمله مبهم نتیجه‌ای داشت که می‌توانست با یک تبدیل که فقط شامل غوطه‌وری‌های واقعی باشد، از کره "معمولی" به نمایش "ضد قطبی" آن برسیم، یعنی در آن هر نقطه با نقطه ضد قطبی‌اش جایگزین شده است: به زبان ساده... یک کره معکوس. رائول بوت رئیس اسمال بود. هرچند اثبات ریاضی این مسئله به نظر صحیح می‌آمد، هیچ کسی نتوانست این عمل معکوس کردن را به صورت عملی انجام دهد. بوت همیشه از اسمال می‌پرسید: "ببین، چطور فکر می‌کنی این کار را انجام دهی؟" و اسمال، که به طور مشهود بی‌پرده بود، پاسخ می‌داد: "هیچ ایده‌ای ندارم." بعداً اسمال جایزه فیلد، معادل نوبل در ریاضیات، را دریافت کرد. به عنوان یادداشت، شاید بپرسید چرا جایزه نوبل برای ریاضیات وجود ندارد. پاسخ ساده است: همسرش با یک ریاضیدان فرار کرده بود.
این وضعیت برای مدت طولانی ادامه داشت، تا اینکه یک ریاضیدان آمریکایی به نام آنتونی فیلیپس در سال ۱۹۶۷ در مجله Scientific American نسخه اولیه این معکوس کردن را منتشر کرد که بسیار پیچیده بود. نسخه دوم توسط ریاضیدان فرانسوی نابینا به نام برنار مورین در اوایل دهه ۱۹۷۰ ابداع شد. من اولین کسی بودم که دنباله تبدیل‌ها را رسم کردم، که همان‌طور که اعلام کردم، موضوع مقاله‌ای خواهد بود که در این وب‌سایت به زودی منتشر خواهد شد، و به طور کامل. با این حال، همه این‌ها ما را به یک نکته مهم می‌رساند. سطوح می‌توانند به شکل چندوجهی نمایش داده شوند. مکعب یا چهاروجهی می‌توانند به عنوان نمایش‌های چندوجهی کره در نظر گرفته شوند، به این معنی که این اشیاء هم‌توپولوژیک هستند. در این زمینه، به کتاب "توپولوژیکون" من مراجعه کنید. همچنین درک می‌شود که اگر بتوان کره را معکوس کرد، به همان اندازه می‌توان مکعب را نیز معکوس کرد. تبدیلی که برنار مورین ابداع کرد (که در مقاله ژانویه ۱۹۷۹ مجله Pour la Science نشان داده شده است) از یک مدل مرکزی عبور می‌کند. در این دنباله، یک تقارن وجود دارد. آن را "مدل مرکزی با چهار گوش" می‌نامم. من قبلاً چیزهایی را اشاره کردم. با این حال، همان‌طور که کره می‌تواند به شکل چندوجهی نمایش داده شود، همینطور مراحل بعدی این تبدیل نیز می‌توانند به شکل چندوجهی نمایش داده شوند. آنچه در صفحه اول من می‌چرخد، نسخه چندوجهی مدل مرکزی معکوس کردن کره است که ده سال پیش ابداع کرده‌ام. جذابیت این مدل‌های چندوجهی این است که می‌توانند با سطوح صاف ساخته شوند. همچنین می‌توانند با کاغذ و قیچی ساخته شوند. نگاهی به نقشه زیر بندازید (از طرفی از دوستم کریستوف تاردو تشکر می‌کنم که عناصر به اندازه مناسب را تولید کرده است).
بزرگ
این یک نقشه نصب است که در اینجا یک دید کلی از آن ارائه شده است. اما برای چاپ کردن، بهتر است به صفحه "دکوپاژ" بروید. آن را چاپ کنید. سپس، با این نمونه چاپ شده روی کاغذ معمولی چاپگر خود، چهار نسخه یکسان چاپ کنید، دو تا روی کاغذ برشبری سبز و دو تا روی زرد. با استفاده از این برگ‌های برش داده شده، قادر خواهید بود مدل مرکزی معکوس کردن مکعب را بسازید.
روی قطعات برش داده شده جفت‌های حروف وجود دارد: a, b, c, d, e, f و غیره... کافی است کاغذ را طوری dobr کنید که حروف یکسان هم‌پوشانی کنند، سپس صفحات را با نوار چسب شفاف ثابت کنید. نقشه‌های بعدی نشان می‌دهند که چگونه یکی از چهار قطعه را نصب کنید. اولین مرحله چگونگی dobr کردن یکی از چهار عنصر را نشان می‌دهد:
اینجا دو تا از چهار عنصر به زوایای مختلف نشان داده شده‌اند.
سپس به گونه‌ای قرار می‌دهیم که یک شیء با تقارن مرتبه چهاری به وجود آید که در آن قطعات سبز و زرد به صورت متناوب قرار می‌گیرند. برای دیدن آن به صورت سه‌بعدی، به نمونه تولید شده توسط تاردو در بخش "واقعیت مجازی" نگاه کنید. مدل مرکزی در این بخش نصب شده و همچنین به صورت "vrml" ساخته شده است. این مدل از چند دید مختلف نشان داده شده است:
نمی‌توان گفت که یک دید مربوط به "بالا" و دیگری به "پایین" است، زیرا این نام‌گذاری‌ها کاملاً دلخواه هستند. در تصویر سمت چپ، نقطه "مرکزی" مربوط به "نقطه دوگانه" (جایی که دو سطح هم‌پوشانی می‌کنند) مدل مرکزی مورین است، در حالی که نقطه مرکزی تصویر سمت راست مربوط به "نقطه چهارگانه" همان مدل است (جایی که چهار سطح هم‌پوشانی می‌کنند). من باید شیء را با دقت زیادی جهت‌دهی کردم تا تصویر سمت چپ به شکل یک سیم‌باز نشان داده نشود. به غیر از این، از نظر معماری، این نمایش چندوجهی مدل مرکزی مورین می‌توانست یک پروژه جالب برای "خانه فرهنگ ملی سوسیالیست" باشد.
یک نکته آخر: هیچ نمایش چندوجهی مناسبی برای معکوس کردن کره (یا مکعب) وجود ندارد. به "مناسب" منظورم این است که دنباله‌ای از مدل‌های کافی واضح وجود داشته باشد که بتوانند به صورت نمونه‌هایی که به راحتی قابل برش هستند، توصیف شوند، مانند مدل بالا. باید یک مطالعه در این جهت انجام شود، که در دسترس هر کسی است، حتی یک غیرریاضیدان، مثلاً یک مجسمه‌ساز. بیش از بیست سال پیش، معلم مجسمه‌سازی در Ecole des Beaux-Arts در Aix en Provence بودم، زمانی که رئیس آن، دوست نزدیک من، جاکس بولیه بود. در آن فضای مدرسه، اولین نمایش نیم‌روزی سطح بوی با استفاده از بیضی‌ها، کلید ساخت معادله ضمنی اولیه توسط آپری، به وجود آمد. باید بگویم که در آن زمان، توانایی تخیل هندسی دانشجویان هنر، اغلب از توانایی هندسه‌دانان بیشتر بود.
شمارنده در تاریخ ۳۱ دسامبر ۲۰۰۱ نصب شد. تعداد اتصالات:
بازگشت به صفحه اخبار
صفحه اصلی
تصاویر
