عنوانی ندارد
آیا میتوانیم مانند یک کرکس فکر کنیم؟
۲۷ فوریه ۲۰۰۹
ما بهویژه با استفاده از زبان، بیان میکنیم و این زبان باید منعکسکننده ساختار منطقی ما باشد. در زبان ما، ساختار دوقدرم (دودویی) ایجاد کردهایم، با «بله» و «خیر»، «درست» و «نادرست»، که منجر به «فکر ارسطویی» میشود، طبق که هر جمله (یک منطقدان از «گزاره» صحبت میکند) تنها میتواند «درست» یا «نادرست» باشد. این را میگویند اصل سوم مستثنی.
متأسفانه، تجربه با نظریه همخوانی ندارد و فریزولوژی ما پر از گزارههای نامشخص است که هم درست نیستند و هم نادرست، مانند:
من دروغ میگویم
از حدود یک قرن گذشته، منطقدانان تلاشهای بیشماری برای ساخت منطقهای غیردوقدرمی داشتهاند. یک مثال از منطق سهقدرمی، منطق گنگ است، که مقادیر درستی آن عبارتند از:
درست — نامشخص — نادرست
منطقی که در سیستمهای خودکار و کنترل فرآیندها (در مهندسی) اثبات عملکرد کرده است.
تلاشهایی برای ساخت منطق چهارقدرمی نیز صورت گرفته است، که معروفترین آن با مقادیر درستی زیر است:
| درست | نادرست | درست و نادرست | نه درست و نه نادرست |
|---|
تلاشی که نتیجهبخش نبود.
در کتابش:
برای تماس مستقیم با نویسنده:
اصلاح اشتباه نویسنده به ما اطلاع داد که در یکی از جداول ارائهشده در کتابش، اشتباهی وجود دارد. این جدول صفحه ۲۹ است که نسخه رنگی آن صفحه ۱۳۵ است. ابتدا از علاقهای که به این کار نشان دادید و انتخاب خرید کتاب، سپاسگزاریم.
چیزهایی که اتفاق میافتد... یک اشتباه بزرگ وجود دارد! در سطر سوم و ستون سوم به جای عدد ۱، به اشتباه عدد ۰ قرار داده شده است. این اصلاح در چند روز آینده به همه ارسال خواهد شد.
از سوی دیگر، علامتهای = و \ \ در قطرها قرار دارند: این دو خط، از طریق یک قطر، علامت = و از طریق قطر دیگر، علامت \ \ را میدهند که باید به عنوان «متفاوت» در محل قرارگیری آنها تفسیر شود.
امیدواریم این اصلاح به شما امکان دهد خواندن کتاب را به درستی ادامه دهید. دوباره از شما بسیار سپاسگزاریم (و عذرخواهیم نیز!) و در صورتی که دوباره با شک یا یک اشتباه جدید مواجه شدید، در خدمت شما هستیم.
شکل ۲.۲، باید با جدول بالا جایگزین شود
دنیس سکو دو لوسِنا ما را به یک کاوش عجیب دعوت میکند که خواننده احتمالاً از آن بیزیان نخواهد بود. از بررسی زبان شروع کنیم، که روش هر منطقدانی است. نویسنده پیشنهاد میکند که مفهومی به نام ترانسورسالیته را معرفی کند. از این دیدگاه، هر گزارهای، چه به چه شکلی باشد، قابل تبدیل به چهار شکل متقارن دو به دو است که از «دو جفت متقارن» تشکیل شدهاند. مثالهای بسیاری در زبان وجود دارند، اما «گزاره چهارم» گاهی به سختی قابل بیان است یا هیچ کدام از صفات موجود در زبان را نمیتواند پوشش دهد.
اولین مثالها را که این «ترانسورسالیته» به شکل واضحی بیان میشود، ارائه میدهیم. به عنوان مثال، مفهوم حرکت را در نظر بگیرید. چهار روش برای «حرکت کردن» وجود دارد:
| پیش رفتن | عقبرفتن | ساکن بودن | حرکت کردن |
|---|
بلافاصله دو جفت متقارن دیده میشود. عقبرفتن معکوس پیش رفتن است و بالعکس. حرکت کردن معکوس ساکن بودن است و بالعکس.
اگر به توپولوژی مراجعه کنیم، چهار قید یا عبارت قیدی را معرفی میکنیم:
| بیرون | درون | در مرز | جای دیگر |
|---|
۲۹ فوریه ۲۰۱۰: دوست من جاکس لگالاند پیشنهاد میکند که گزاره چهارم بهتر با نوشتن این صورت بیان شود:
| بیرون | درون | در مرز | هیچ جایی |
|---|
اگر به رنگها مراجعه کنیم:
| سفید | سیاه | خاکستری | رنگی |
|---|
۲۷ فوریه ۲۰۱۰: جیه پیشنهاد میکند:
| سفید | سیاه | خاکستری | شفاف |
|---|
با بازی روی زمان:
| قبل | بعد | حال | هرگز |
|---|
قید «هرگز» معادل زمانی عبارت قیدی «هیچ جایی» است (به بخش بالا مراجعه کنید)
این دیدگاه به من یاد یک متن امیت درباره منطق میاندازد که اگر خاطرم درست باشد، چهار مقدار درستی را معرفی میکرد:
| درست | نادرست | درست و نادرست | ترجمهناپذیر |
|---|
اگر مقادیر درستی منطق چهارقدرمی کلاسیک را دوباره بررسی کنیم:
| درست | نادرست | درست و نادرست | نه درست و نه نادرست |
|---|
۲۷ فوریه ۲۰۱۰: باید مقدار چهارم را به این صورت تفسیر کرد: «به این نوع طبقهبندی منطبق نیست»:
| درست | نادرست | درست و نادرست | به این نوع طبقهبندی منطبق نیست |
|---|
حال اعداد حقیقی را در نظر بگیرید. ما داریم:
| مثبت | منفی | صفر (به معنای هم مثبت و هم منفی) |
|---|
گزاره چهارم میتواند این باشد:
| مثبت | منفی | صفر (به معنای هم مثبت و هم منفی) | موهومی |
|---|
با عبور به علتپذیری:
| شامل میشود | شامل میشود | بسته به | بدون رابطه با |
|---|
میبینیم که چهار روش مختلف برای «گفتن» شکل میگیرد که متفاوت از منطق چهارقدرمی «کلاسیک» است که در بالا مطرح شد. تقارن دو گزاره آخر متفاوت است. نویسنده پیشنهاد میکند که این جفتهای گزارهها یا صفات را «ترانسورسال» بنامیم.
شیوهای که ما چیزها را ارائه میکنیم، با شیوهای که نویسنده در کتابش استفاده کرده است، متفاوت است که خواندن آن را توصیه میکنم. اما فوراً به خودتان میگویید: «چه چیزی در زیر این میپنهان است؟» این سوال شما را بسیار دور خواهد برد. نویسنده، که دانشمند است، نقطه شروع را در نامهای یافت که در سال ۱۹۹۲ از طرف مکاتبات مرموز به نام «امیت» از ریاض، عربستان سعودی دریافت کرده بود. برای کسانی که این داستان را نمیشناسند، خوب است که زمینه آن را مرور کنیم. در مجموعهای از مدارکی که از اسپانیا از میانه دهه ۱۹۷۰ به دست آمده بود، نویسندگان این متنها بارها بر لزوم رها کردن منطق ارسطویی و عبور به یک منطق چهارقدرمی تأکید میکردند.
سالها، من تلاشهای مختلفی کردم. در سال ۱۹۹۲، دستگاهی از نوع Mac Intosh نسل اول با فرکانس ۲ مگاهرتز داشتم و البته بدون هیچ گونه مودم یا وسیله ارتباطی با دنیای خارج. در این کامپیوتر، نوشتههایی را ثبت میکردم که تنها من آنها را میدانستم. با توجه به قضیه گودل، به یاد آوردم که این قضیه بر پایه حساب (عملیات روی اعداد طبیعی) استوار است که در پایان قرن نوزدهم توسط ریاضیدان پئانو اکسیومبندی شد. ریاضیدان گاوس در زمان خود چیزی را که امروز به آن «اعداد گاوسی» میگوییم، ابداع کرد، یعنی اعداد مختلط با مقادیر صحیح.
متوجه شدم که این اعداد گاوسی به طور سنتی به عنوان جفتهایی از اعداد طبیعی (a, b) در نظر گرفته میشوند و هیچ اکسیومبندی برای ساخت آنها به غیر از تصمیم به دادن «دو عدد صحیح» انجام نشده است.
چند روز پس از ثبت این نکات در دیسک سختم، شگفتزده شدم که نامهای از عربستان سعودی دریافت کردم که همین نکات را ذکر میکرد.
این اتفاق اینگونه بود که دنیس، که دانشمند است، در این نامه عجیب نقطه شروع یک مسیر دهساله را یافت که در کتابی که اخیراً منتشر کرده است، گزارش کرده است. با توجه به ماهیت بیرویه و به همین علت گاهی بیرویه این منبع، میتوان فهمید چرا تصمیم گرفت آن را تحت نام مستعار منتشر کند.
آیا به یاد دارید کتاب جولز ورن: سفر به مرکز زمین، که در آن قهرمانان با پیام مرموزی که توسط آارن ساکنودسن گذاشته شده بود، بازی میکردند؟ با ترکیب عناصر آن، به نهایت مسیری را کشف کردند که به مرکز زمین منتهی میشد. پس از این، در کتاب دنیس، چیزی شبیه به آن را انتظار داشته باشید.
او اولین کسی نیست که این ماجراجویی را تجربه کرده است، اما تاکنون تمام تلاشها بیثمر بودهاند، هرچند گاهی ظاهری جذاب داشتهاند. به مثال کانادایی نورمن موهلان در سایت ummo.science فکر میکنم. یک ریاضیدان میگوید: «میتوانیم جبرهای به بینهایت بسازیم و با آنها بازی کنیم، مانند بازی با لگو». ساختن عناصر جدیدی از لگو چیز دیگری است.
اما «چیز بیشتر» در کار دنیس کجاست؟
او با بازگشت به مسیری که در نامه ریاض مشخص شده بود، مسیری را پیدا میکند که به اشیاء ریاضی کشفشده در سال ۱۸۴۳ توسط ریاضیدان ایرلندی همیلتون، یعنی کواترنیونها منجر میشود. اینها معمولاً در کتابها به صورت یک گسترشی از اعداد مختلط دیده میشوند:
Q = a + b i + c j + d k
با
i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k
i j² = k j
i j = - j i
(غیرجایگشتی)
j k = i
j k = - k j
k i = j
k i = - i k
ضربها غیرجایگشتی هستند.
وقتی همیلتون این کواترنیونها را ابداع کرد و عظمت ویژگیهای آنها را کشف کرد، به قدری تحت تأثیر قرار گرفت که خودش گفت:
- این همه باید حتماً کاربردی در فیزیک داشته باشد، اما چه کاربردی؟
بهطور قطع نمیتوانست تصور کند که این ارتباط با ظهور مکانیک کوانتومی برقرار خواهد شد. به عنوان مثال، ماتریسهای پائولی، کواترنیونهایی هستند.
نویسنده نشان میدهد که چگونه تفکرات خالص هندسی، از محتوای نامه، به سمت ساختار هندسی کواترنیونها (از طریق یک «صفحه مختلط دووجهی عمود بر هم») همگرا میشوند. کتاب با عنوان «راز نامه ریاض» نامگذاری شده است. این راز در اینجا مطرح شده است. در این نامه به قضیه معروف فرما اشاره شده است که میگوید معادله با مقادیر صحیح
an = bn + cn
تنها برای n کوچکتر یا مساوی ۲ جواب دارد.
ریاضیدان لاگرانژ نیز یک قضیه مشابه ارائه داد که فرما قبلاً به عنوان حدس ارائه کرده بود، به این صورت که هر عدد صحیح میتواند مجموع چهار مربع باشد.
N (عدد صحیح دلخواه) = a² + b² + c² + d²
باید صفر را در این اعداد شامل کرد، به طوری که:
3 = 1² + 1² + 1² + 0²
اثباتی که پس از لاگرانژ ارائه شد، از کواترنیونها استفاده کرد و با استقرای ریاضی اثبات شد.
من دوست دارم دنیس اثبات قضیه لاگرانژ را با استفاده از کواترنیونها پیدا کند و آن را روی سایتش قرار دهد.
فرض کنید یک کواترنیون داریم:
Q = (a, b, c, d)
مزدوج آن به صورت زیر تعریف میشود:
مزدوج Q =